正規直交基底を用いると、座標は内積で直接計算できる。連立方程式を解く必要がない。
問題1
R2 の正規直交基底 {e1,e2} を次のように定める。
e1=21(11),e2=21(1−1)
ベクトル v=(3,1)T のこの基底に関する座標を求めよ。
c1=⟨v,e1⟩=21(3+1)=24=22。
c2=⟨v,e2⟩=21(3−1)=22=2。
問題2
R3 の正規直交基底 {e1,e2,e3} を標準基底とする。v=(2,−1,3)T の座標を求めよ。
標準基底は正規直交基底なので、座標は成分そのものである。
c1=⟨v,e1⟩=2、c2=⟨v,e2⟩=−1、c3=⟨v,e3⟩=3。
問題3
R3 の正規直交基底を次のように定める。
e1=31111,e2=211−10,e3=6111−2
v=(1,0,0)T のこの基底に関する座標を求めよ。
c1=⟨v,e1⟩=31⋅1=31。
c2=⟨v,e2⟩=21⋅1=21。
c3=⟨v,e3⟩=61⋅1=61。
問題4
問題3の正規直交基底に関して、w=(1,1,1)T の座標を求めよ。
c1=⟨w,e1⟩=31(1+1+1)=3。
c2=⟨w,e2⟩=21(1−1+0)=0。
c3=⟨w,e3⟩=61(1+1−2)=0。
w は e1 方向のベクトルなので、e2,e3 成分は 0 になる。
問題5
正規直交基底 {e1,e2} に関する座標が (3,4)T のベクトル v のノルムを求めよ。
正規直交基底ではパーセバルの等式 ∥v∥2=∑∣ci∣2 が成り立つ。
∥v∥2=32+42=9+16=25。
