正規直交基底による座標表示の練習

正規直交基底を用いると、座標は内積で直接計算できる。連立方程式を解く必要がない。

問題1

$R^{2}$ の正規直交基底 ${e_{1}, e_{2}}$ を次のように定める。

$e_{1} = \frac{1}{2} (11), e_{2} = \frac{1}{2} (1 - 1)$

ベクトル $v = (3, 1)^{T}$ のこの基底に関する座標を求めよ。

解答

$c_{1} = ⟨ v, e_{1} ⟩ = \frac{1}{2} (3 + 1) = \frac{4}{2} = 22$ 。

$c_{2} = ⟨ v, e_{2} ⟩ = \frac{1}{2} (3 - 1) = \frac{2}{2} = 2$ 。

答え

$[v] = (22, 2)^{T}$

$R^{3}$ の正規直交基底 ${e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ を標準基底とする。 $v = (2, - 1, 3)^{T}$ の座標を求めよ。

解答

標準基底は正規直交基底なので、座標は成分そのものである。

$c_{1} = ⟨ v, e_{1} ⟩ = 2$ 、 $c_{2} = ⟨ v, e_{2} ⟩ = - 1$ 、 $c_{3} = ⟨ v, e_{3} ⟩ = 3$ 。

答え

$[v] = (2, - 1, 3)^{T}$

$R^{3}$ の正規直交基底を次のように定める。

$e_{1} = \frac{1}{3} 111, e_{2} = \frac{1}{2} 1 - 1 0, e_{3} = \frac{1}{6} 11 - 2$

$v = (1, 0, 0)^{T}$ のこの基底に関する座標を求めよ。

解答

$c_{1} = ⟨ v, e_{1} ⟩ = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$ 。

$c_{2} = ⟨ v, e_{2} ⟩ = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$ 。

$c_{3} = ⟨ v, e_{3} ⟩ = \frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6}$ 。

答え

$[v] = (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{6})^{T}$

問題3の正規直交基底に関して、 $w = (1, 1, 1)^{T}$ の座標を求めよ。

解答

$c_{1} = ⟨ w, e_{1} ⟩ = \frac{1}{3} (1 + 1 + 1) = 3$ 。

$c_{2} = ⟨ w, e_{2} ⟩ = \frac{1}{2} (1 - 1 + 0) = 0$ 。

$c_{3} = ⟨ w, e_{3} ⟩ = \frac{1}{6} (1 + 1 - 2) = 0$ 。

答え

$[w] = (3, 0, 0)^{T}$

$w$ は $e_{1}$ 方向のベクトルなので、 $e_{2}, e_{3}$ 成分は 0 になる。

正規直交基底 ${e_{1}, e_{2}}$ に関する座標が $(3, 4)^{T}$ のベクトル $v$ のノルムを求めよ。

解答

正規直交基底ではパーセバルの等式 $∥ v ∥^{2} = \sum ∣ c_{i} ∣^{2}$ が成り立つ。

$∥ v ∥^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25$ 。

答え

$∥ v ∥ = 5$