一次独立かどうかを見分ける（行列式・階数・定義から）

本数と次元が同じなら、列に並べた行列の行列式を見る。 $0$ でなければ一次独立である^[1]。

本数と次元が違うときは行列式が作れないので、階数を数える。階数が本数に届けば一次独立になる。

定義に戻る道もある。 $c_{1} v_{1} + \dots + c_{k} v_{k} = 0$ の解が $c_{i} = 0$ だけかを直接調べる方法で、関数のように成分がない相手にはこれを使う^[3]。

以下 12 問。3 つの道具を場面ごとに使い分ける。

問題 1

$v_{1} = 123, v_{2} = 456, v_{3} = 789$

$3$ 次元に $3$ 本なので、列に並べて行列式をとる。

$det 123456789 = 1 (45 - 48) - 4 (18 - 24) + 7 (12 - 15) = - 3 + 24 - 21 = 0$

$0$ なので一次従属である。実際 $2 v_{2} - v_{1} = (8 - 1, 10 - 2, 12 - 3) = (7, 8, 9) = v_{3}$ と書ける。

問題 2

$v_{1} = 101, v_{2} = 110, v_{3} = 011$

行列式を計算する。

$det 101110011 = 1 (1 - 0) - 1 (0 - 1) + 0 = 2$

$0$ でないので一次独立。 $3$ 本が空間を張る。

問題 3

$v_{1} = (12), v_{2} = (24)$

$v_{2} = 2 v_{1}$ なので一次従属である。行列式でも $4 - 4 = 0$ になる。

$2$ 本の場合は、一方が他方の定数倍かどうかを見れば足りる。計算する前に気づくことが多い。

問題 4

$R^{3}$ の中の $4$ 本のベクトルについて、一次独立になりうるかを答えよ。

なりえない。 $n$ 次元空間で $n$ 本より多くとると、必ず一次従属になる。

列に並べると $3 \times 4$ 行列で、階数は $3$ 以下。本数の $4$ に届かないためである。

連立方程式の側から見ても同じ。未知数 $4$ 、式 $3$ の同次方程式は、自明でない解を必ず持つ。

問題 5

零ベクトルを含む組が一次従属であることを示せ。

$v_{1} = 0$ とする。 $1 \cdot v_{1} + 0 \cdot v_{2} + \dots + 0 \cdot v_{k} = 0$ が成り立つ。

係数のうち $1$ 個が $0$ でないので、定義から一次従属である^[3]。

他のベクトルがどれだけ「独立らしく」ても、零ベクトルが 1 本混じるだけで従属になる。

問題 6

次の $2$ 組を判定せよ。

$組 A: 123, 246 組 B: 123, 101$

どちらも $3$ 次元に $2$ 本なので、正方行列にならず行列式が使えない。階数で判定する。

組 A は $2$ 本目が $1$ 本目の $2$ 倍。階数は $1$ で、本数の $2$ に届かないので一次従属。

組 B は比例していない。掃き出すと段が $2$ つでき、階数 $2$ 。本数と一致するので一次独立である。

問題 7

$v_{1} = 1001, v_{2} = 0101, v_{3} = 0011$

$4$ 次元に $3$ 本。列に並べた $4 \times 3$ 行列を掃き出す。

上から $3$ 行が単位行列の形なので、それだけで段が $3$ つできる。第 $4$ 行は掃き出すと $0$ になる。

階数は $3$ で本数と一致するので、一次独立である^[2]。

問題 8

多項式 $1$ 、 $x$ 、 $x^{2}$ が一次独立であることを示せ。

成分がないので、定義に戻る。 $a + b x + c x^{2} = 0$ がすべての $x$ で成り立つとする。

$x = 0$ を入れると $a = 0$ 。 $x = 1$ と $x = - 1$ を入れると $b + c = 0$ と $- b + c = 0$ で、 $b = c = 0$ 。

係数がすべて $0$ になったので一次独立である。

$0$ でない多項式は根が有限個しかない、という事実を使ってもよい。恒等的に $0$ なら係数がすべて $0$ になる。

問題 9

関数 $sin x$ と $cos x$ が一次独立であることを示せ。

$a sin x + b cos x = 0$ がすべての $x$ で成り立つとする。

$x = 0$ を入れると $b = 0$ 。 $x = \frac{π}{2}$ を入れると $a = 0$ 。

適当な点を代入するだけで係数が落ちる。関数の一次独立は、この形で示すことが多い。

問題 10

次が一次従属になる $k$ を求めよ。

$v_{1} = 110, v_{2} = 011, v_{3} = 10 k$

列に並べて行列式をとる。

$det 110011 10 k = 1 (k - 0) - 0 + 1 (1 - 0) = k + 1$

$k = - 1$ のとき $0$ になる。このとき $v_{3} = v_{1} - v_{2} = (1, 0, - 1)$ で、確かに従属である。

問題 11

定義から $(1, 1)$ と $(1, - 1)$ の一次独立を示せ。

$a (1, 1) + b (1, - 1) = (0, 0)$ とおく。成分ごとに書くと $a + b = 0$ と $a - b = 0$ 。

足すと $2 a = 0$ で $a = 0$ 、引くと $2 b = 0$ で $b = 0$ 。自明な解しかない。

行列式でも $1 \cdot (- 1) - 1 \cdot 1 = - 2 \neq = 0$ で同じ結論になる。

問題 12

一次独立なら直交する、という主張の反例を挙げよ。

$(1, 0)$ と $(1, 1)$ をとる。行列式は $1 \neq = 0$ なので一次独立である。

ところが内積は $1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1 \neq = 0$ 。直交していない。

逆向きは成り立つ。 $0$ でないベクトルが互いに直交していれば、必ず一次独立になる。

一次独立

原点以外で重ならない方向をもつ。角度は関係しない

直交

内積が $0$ 。一次独立より強い条件で、逆は成り立たない

本数と次元が同じなら行列式

違うなら階数

成分がなければ定義に戻る

整理

判定法は 3 つある。行列式は正方のときだけ、階数はいつでも、定義は成分がない相手にも使える。

$n$ 次元で $n$ 本より多ければ、計算する前に従属だと決まる。零ベクトルが混じっている場合も同じ。

$2$ 本なら比例しているかを見るだけで済む。本数が少ないうちは、行列式より目で見たほうが速い。

一次独立は方向の重なりを見る条件で、角度は問わない。直交と混ぜないことが要点である。

参考

Sergei Treil. *Linear Algebra Done Wrong*, Chapter 2. Brown University.

Andreas Gathmann. *Das Gauß-Verfahren*. Grundlagen der Mathematik, RPTU Kaiserslautern.

Linear independence. StatLect.

本数と次元が同じなら行列式、違うなら階数、成分がなければ定義に戻る。3 つの道具を場面ごとに使い分けます。12 問で、$3$ 次元の $3$ 本を行列式で判定する形から、$3$ 次元の $2$ 本や $4$ 次元の $3$ 本を階数で見る形、多項式 $1, x, x^2$ や $\sin x$ と $\cos x$ を定義から示す形まで扱いました。$n$ 次元で $n$ 本より多ければ計算する前に従属だと決まること、零ベクトルが 1 本混じるだけで従属になること、$k$ の値で結論が変わる問題も入れています。一次独立と直交を混同しやすい点は、$(1,0)$ と $(1,1)$ の反例で分けました。