ベクトルの一次独立性を判定する練習

ベクトルの組が一次独立かどうかは、それらを列に並べた行列のランクで判定できる。ランクがベクトルの個数に等しければ一次独立である。

問題1

次のベクトルが一次独立かどうか判定せよ。

$v_{1} = 123, v_{2} = 456, v_{3} = 789$

解答

$v_{1}, v_{2}, v_{3}$ を列に並べた行列の行列式を計算する。

$det 123456789 = 1 (45 - 48) - 4 (18 - 24) + 7 (12 - 15) = - 3 + 24 - 21 = 0$

行列式が 0 なのでランクは 3 未満であり、一次従属である。実際 $v_{3} = 2 v_{2} - v_{1}$ が成り立つ。

次のベクトルが一次独立かどうか判定せよ。

$v_{1} = 101, v_{2} = 110, v_{3} = 011$

解答

行列式を計算する。

$det 101110011 = 1 (1 - 0) - 1 (0 - 1) + 0 = 1 + 1 = 2 \neq = 0$

よって一次独立である。

次のベクトルが一次独立かどうか判定せよ。

$v_{1} = (12), v_{2} = (24)$

解答

$v_{2} = 2 v_{1}$ なので明らかに一次従属である。または

$det (1224) = 4 - 4 = 0$

からも分かる。

次のベクトルが一次独立かどうか判定せよ。

$v_{1} = 1111, v_{2} = 1234, v_{3} = 1010$

解答

3 つのベクトルを列に並べた $4 \times 3$ 行列のランクを調べる。

$111112341010 R_{2} - R_{1}, R_{3} - R_{1}, R_{4} - R_{1} 10001123 1 - 1 0 - 1$

さらに変形するとランク 3 が確認できるので、一次独立である。

$R^{2}$ において、3 つのベクトル $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ は一次独立になりうるか。

解答

$R^{2}$ の次元は 2 なので、3 つ以上のベクトルは必ず一次従属になる。一般に、 $n$ 次元空間で $n + 1$ 個以上のベクトルは一次従属である。よってなりえない。