直交射影の計算練習

$w$ 方向への正射影は ${\mathrm{proj}}_{w}v=\frac{⟨v,w⟩}{\Vert w{\Vert }^2}w=\frac{3\cdot 1+4\cdot 0}{1}(1,0{)}^T=3(1,0{)}^T$。

$(3,0{)}^T$

$⟨v,w⟩=1+2+3=6$、$\Vert w{\Vert }^2=3$。

${\mathrm{proj}}_{w}v=\frac{6}{3}(1,1,1{)}^T=2(1,1,1{)}^T=(2,2,2{)}^T$。

$(2,2,2{)}^T$

$W$ の法線ベクトルは $n=(1,1,1{)}^T$。$v$ の $n$ 方向成分を引けば $W$ への射影が得られる。

${\mathrm{proj}}_{n}v=(2,2,2{)}^T$（問題2より）。

${\mathrm{proj}}_{W}v=v-{\mathrm{proj}}_{n}v=(1,2,3{)}^T-(2,2,2{)}^T=(-1,0,1{)}^T$。

$(-1,0,1{)}^T$

まず $W$ の正規直交基底を求める。$u_1=(1,0,1{)}^T$、$\Vert u_1\Vert =\sqrt{2}$、$e_1=(1,0,1{)}^T/\sqrt{2}$。

$u_2=(0,1,1{)}^T-⟨(0,1,1),e_1⟩e_1=(0,1,1{)}^T-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1{)}^T=(-1/2,1,1/2{)}^T$。

${\mathrm{proj}}_{W}v=⟨v,e_1⟩e_1+⟨v,e_2⟩e_2$。

$⟨v,e_1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}$。計算を進めると ${\mathrm{proj}}_{W}v=(1/3,2/3,1/3{)}^T$。

$(1/3,2/3,1/3{)}^T$

$u=(1,1{)}^T$ への射影行列は $P=\frac{u{u}^T}{u^{T}u}=\frac{1}{2}01=\frac{1}{2}2$。

$P=0$