ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理は、複素数の累乗を計算するための基本公式である。

$n$ を整数とするとき、

$(cos θ + i sin θ)^{n} = cos n θ + i sin n θ$

が成り立つ。これがド・モアブルの定理である。

証明の概略

$n$ が正の整数のとき、積の偏角が加法的であることから、

$(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)$

が数学的帰納法で示せる。 $n = 0$ のときは両辺とも $1$ で成立。 $n$ が負の整数のときは、 $(cos θ + i sin θ)^{- 1} = cos (- θ) + i sin (- θ)$ を用いる。

$z = r (cos θ + i sin θ)$ の $n$ 乗は、

$z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$

となる。絶対値は $n$ 乗され、偏角は $n$ 倍される。

$(1 + i)^{8}$ を求める。まず極形式に直すと、

$1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$

ド・モアブルの定理より、

$(1 + i)^{8} = (2)^{8} (cos 2 π + i sin 2 π) = 16 \cdot 1 = 16$

ド・モアブルの定理と二項展開を組み合わせると、 $cos n θ$ や $sin n θ$ を $cos θ$ 、 $sin θ$ の多項式で表す公式が導ける。