(1 + i) を 10 乗すると……ド・モアブルの定理と複素数の累乗

極形式の複素数を $n$ 乗すると、絶対値は $n$ 乗、偏角は $n$ 倍になります。

${r (cos θ + i sin θ)}^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$

これがド・モアブルの定理です。かけるたびに角が足され長さがかけ算になる、その動きを $n$ 回くり返しただけ。

$r = 1$ の場合がいちばんよく使う形になります。

$(cos θ + i sin θ)^{n} = cos n θ + i sin n θ$

数学的帰納法で示す

$r = 1$ で確かめれば、 $r$ が付いた形は $r^{n}$ を外へ出すだけで済みます。

$n = 1$ のとき、左辺も右辺も $cos θ + i sin θ$ 。

$n = k$ で成り立つと仮定します。両辺に $cos θ + i sin θ$ をかける。

$(cos θ + i sin θ)^{k + 1} = (cos k θ + i sin k θ) (cos θ + i sin θ) = cos (k θ + θ) + i sin (k θ + θ) = cos (k + 1) θ + i sin (k + 1) θ$

2 行目で使ったのは、かけると角が足されるという積の形。 $n = k + 1$ でも成り立つため、すべての自然数 $n$ で通ります。

負の整数まで広げる

$n$ が負のときは $n = - m$ （ $m$ は自然数）とおき、 $z^{- m} = \frac{1}{z ^{m}}$ から始めます。

$(cos θ + i sin θ)^{- m} = \frac{1}{cos m θ + i sin m θ} = \frac{cos m θ - i sin m θ}{cos ^{2} m θ + sin ^{2} m θ} = cos (- m θ) + i sin (- m θ)$

分母を実数化したところで $cos^{2} + sin^{2} = 1$ が効き、分母が $1$ に落ちる。 $cos$ が偶関数、 $sin$ が奇関数だから、符号を角の中へ入れ直せます。

$n = 0$ なら両辺とも $1$ 。整数全体で通る形になりました^[2]。

例： $(1 + i)^{10}$

$1 + i$ は $r = 2$ 、 $θ = \frac{π}{4}$ 。

$(1 + i)^{10} = (2)^{10} (cos \frac{10}{4} π + i sin \frac{10}{4} π)$

$(2)^{10} = 2^{5} = 32$ 。角のほうは $\frac{10}{4} π = \frac{5}{2} π$ で、 $2 π$ を引くと $\frac{π}{2}$ に落ちます。

$(1 + i)^{10} = 32 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}) = 32 i$

$(1 + i)^{2} = 2 i$ から $(2 i)^{5} = 32 i^{5} = 32 i$ としても同じ値。角を数えるほうは、指数が大きくなっても手間が増えません。

例： $(3 + i)^{6}$

$r = 2$ 、 $θ = \frac{π}{6}$ です。

$(3 + i)^{6} = 2^{6} (cos π + i sin π) = 64 \times (- 1) = - 64$

角がちょうど $π$ に届いたため、実数に着きました。虚部が消えるのは偏角が $π$ の倍数になったときで、 $6$ 乗がその境目。

例： $(1 + i)^{- 4}$

指数が負でも同じ手順です。角を $- 4$ 倍、絶対値を $- 4$ 乗する。

$(1 + i)^{- 4} = (2)^{- 4} {cos (- π) + i sin (- π)} = \frac{1}{4} \times (- 1) = - \frac{1}{4}$

$(1 + i)^{4} = - 4$ の逆数が $- \frac{1}{4}$ で、合っています。

$(cos 2 0^{\circ} + i sin 2 0^{\circ})^{9}$ の値はどれですか。

$1$
$- 1$
$i$

__RESULT__

角を $9$ 倍すると $18 0^{\circ}$ になります。絶対値は $1$ のままで、 $cos 18 0^{\circ} + i sin 18 0^{\circ} = - 1$ 。 $36 0^{\circ}$ の倍数に届くと $1$ に戻りますが、 $18 0^{\circ}$ はその半分です。

展開と見比べると倍角の公式が拾える

$n = 3$ で 2 通りに計算してみます。ド・モアブルの定理を当てた形はこちら。

$(cos θ + i sin θ)^{3} = cos 3 θ + i sin 3 θ$

そのまま 3 乗の展開をした形はこちら。

$(cos θ + i sin θ)^{3} = cos^{3} θ + 3 i cos^{2} θ sin θ - 3 cos θ sin^{2} θ - i sin^{3} θ$

同じ数なので、実部どうしと虚部どうしを比べられます。実部から始めます。

$cos 3 θ = cos^{3} θ - 3 cos θ sin^{2} θ$

$sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ$ を入れて $cos$ にそろえる。

$cos 3 θ = cos^{3} θ - 3 cos θ + 3 cos^{3} θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$

虚部のほうも同じ手順で $sin$ にそろえます。

$sin 3 θ = 3 cos^{2} θ sin θ - sin^{3} θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ$

3 倍角の公式が 2 つとも並びました。 $n = 2$ で同じことをすれば 2 倍角の公式になり、 $n$ を上げれば 4 倍角も 5 倍角も同じ道でたどれる。

$(cos θ + i sin θ)^{2}$ の実部を展開して整理すると、どの式になりますか。

$cos^{2} θ - sin^{2} θ$
$2 sin θ cos θ$
$cos^{2} θ + sin^{2} θ$

__RESULT__

$(cos θ + i sin θ)^{2} = cos^{2} θ + 2 i cos θ sin θ + i^{2} sin^{2} θ$ です。 $i^{2} = - 1$ なので実部は $cos^{2} θ - sin^{2} θ$ になり、これが $cos 2 θ$ 。 $2 sin θ cos θ$ のほうは虚部で、 $sin 2 θ$ にあたります。

補足：名前が付くまで

この形を最初に扱ったのはド・モアブルで、1707 年の論文に近い形が現れ、1722 年の論文にも書かれています^[1]。当時は角を $n$ 等分したり $n$ 倍したりする計算の道具として使われました。

いまの書き方に整え、すべての $n$ について証明したのはオイラーで、1748 年のこと^[1]。名前はド・モアブルに残り、形はオイラーのものが残っています。

出典

De Moivre formula. Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.

Nombres complexes et trigonométrie. Bibm@th, résumé de cours de mathématiques supérieures.

角を $n$ 倍して長さを $n$ 乗する。 $(1 + i)^{100}$ のような計算でも、やることは角を $100$ 倍して $2 π$ の余りをとるところまでです。

$\{r(\cos\theta + i\sin\theta)\}^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$。かけるたびに角が足され長さがかけ算になる、その動きを $n$ 回くり返した形です。数学的帰納法で示し、$z^{-m} = \dfrac{1}{z^m}$ から負の整数まで広げます。$(1+i)^{10}$ なら $(\sqrt{2})^{10} = 32$、角は $\dfrac{5}{2}\pi$ で $32i$。$n = 3$ を展開と見比べると $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ が拾えます。1707 年のド・モアブルから 1748 年のオイラーまでの経緯も。