グラム・シュミットの正規直交化は、与えられた一次独立なベクトルから正規直交系を構成するアルゴリズムである。
問題1
次のベクトルを正規直交化せよ。
v1=(11),v2=(10)
u1=v1、∥u1∥=2、e1=21(1,1)T。
u2=v2−⟨v2,e1⟩e1=(1,0)T−21⋅21(1,1)T=(1,0)T−(1/2,1/2)T=(1/2,−1/2)T。
∥u2∥=21、e2=21(1,−1)T。
e1=21(11)、e2=21(1−1)
問題2
次のベクトルを正規直交化せよ。
v1=100,v2=110,v3=111
e1=v1=(1,0,0)T（すでに正規化済み）。
u2=v2−⟨v2,e1⟩e1=(1,1,0)T−1⋅(1,0,0)T=(0,1,0)T。e2=(0,1,0)T。
u3=v3−⟨v3,e1⟩e1−⟨v3,e2⟩e2=(1,1,1)T−(1,0,0)T−(0,1,0)T=(0,0,1)T。
e1=100、e2=010、e3=001
問題3
次のベクトルを正規直交化せよ。
v1=110,v2=101,v3=011
∥v1∥=2、e1=21(1,1,0)T。
⟨v2,e1⟩=21。u2=v2−21⋅21(1,1,0)T=(1,0,1)T−(1/2,1/2,0)T=(1/2,−1/2,1)T。
∥u2∥=1/4+1/4+1=3/2、e2=u2/∥u2∥。
u3 も同様に計算し、正規化する。
e1=21(1,1,0)T、e2=61(1,−1,2)T、e3=31(−1,1,1)T
問題4
R3 の部分空間 W=span{(1,2,2)T,(2,1,2)T} の正規直交基底を求めよ。
v1=(1,2,2)T、∥v1∥=3、e1=(1/3,2/3,2/3)T。
⟨v2,e1⟩=(2⋅1+1⋅2+2⋅2)/3=8/3。
u2=(2,1,2)T−38⋅31(1,2,2)T=(2,1,2)T−(8/9,16/9,16/9)T=(10/9,−7/9,2/9)T。
∥u2∥=100+49+4/9=153/9、e2=u2/∥u2∥。
e1=31(1,2,2)T、e2=1531(10,−7,2)T
