グラム・シュミットの正規直交化の計算練習

$u_1=v_1$、$\Vert u_1\Vert =\sqrt{2}$、$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1{)}^T$。

$u_2=v_2-⟨v_2,e_1⟩e_1=(1,0{)}^T-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1{)}^T=(1,0{)}^T-(1/2,1/2{)}^T=(1/2,-1/2{)}^T$。

$\Vert u_2\Vert =\frac{1}{\sqrt{2}}$、$e_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1{)}^T$。

$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_0-->$、$e_2=\frac{1}{\sqrt{2}}<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_1-->$

$e_1=v_1=(1,0,0{)}^T$（すでに正規化済み）。

$u_2=v_2-⟨v_2,e_1⟩e_1=(1,1,0{)}^T-1\cdot (1,0,0{)}^T=(0,1,0{)}^T$。$e_2=(0,1,0{)}^T$。

$u_3=v_3-⟨v_3,e_1⟩e_1-⟨v_3,e_2⟩e_2=(1,1,1{)}^T-(1,0,0{)}^T-(0,1,0{)}^T=(0,0,1{)}^T$。

$e_1=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_0-->$、$e_2=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_1-->$、$e_3=<!--aa345edd3ebc427f93a615d4ba536b4d_2-->$

$\Vert v_1\Vert =\sqrt{2}$、$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0{)}^T$。

$⟨v_2,e_1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}$。$u_2=v_2-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0{)}^T=(1,0,1{)}^T-(1/2,1/2,0{)}^T=(1/2,-1/2,1{)}^T$。

$\Vert u_2\Vert =\sqrt{1/4+1/4+1}=\sqrt{3/2}$、$e_2=u_2/\Vert u_2\Vert$。

$u_3$ も同様に計算し、正規化する。

$e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0{)}^T$、$e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2{)}^T$、$e_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1{)}^T$

$v_1=(1,2,2{)}^T$、$\Vert v_1\Vert =3$、$e_1=(1/3,2/3,2/3{)}^T$。

$⟨v_2,e_1⟩=(2\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 2)/3=8/3$。

$u_2=(2,1,2{)}^T-\frac{8}{3}\cdot \frac{1}{3}(1,2,2{)}^T=(2,1,2{)}^T-(8/9,16/9,16/9{)}^T=(10/9,-7/9,2/9{)}^T$。

$\Vert u_2\Vert =\sqrt{100+49+4}/9=\sqrt{153}/9$、$e_2=u_2/\Vert u_2\Vert$。

$e_1=\frac{1}{3}(1,2,2{)}^T$、$e_2=\frac{1}{\sqrt{153}}(10,-7,2{)}^T$