複素数をかけると点が回って伸びる！積と商の絶対値と偏角

極形式で書いた 2 つの複素数をかけると、絶対値はかけ算、偏角は足し算になります。

$$z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1),z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$$

$$z_1{z}_2=r_1{r}_2\{\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\}$$

長さは倍に、向きは回る。この 2 つが同時に起きています。

加法定理をそのまま読みかえている

展開して $i^2=-1$ を使い、実部と虚部に分けます。

$$\begin{array}{rl}{z}_1{z}_2& =r_1{r}_2(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)\\ & =r_1{r}_2\{(\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2)\\ & +i(\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2+\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2)\}\end{array}$$

実部のかっこが $\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)$、虚部のかっこが $\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)$。三角関数の加法定理の右辺そのものです。

$$z_1{z}_2=r_1{r}_2\{\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\}$$

$i^2=-1$ が実部の引き算をつくり、加法定理の $\cos$ の側と符号がそろう。ここが噛み合っているところ。

割り算では角を引く

分母の共役をかけて実数化すると、同じ計算が符号違いで進みます。

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2)\}$$

絶対値は割り算、偏角は引き算。$z_2\ne 0$ の断りがいるのは、割る側の $r_2$ で割るためです。

$w$ をかけるのは、回して伸ばすこと

$z$ に $w$ をかけた点は、$z$ を原点のまわりに $\arg w$ だけ回し、原点からの距離を $|w|$ 倍にした位置に来ます。

$|w|=1$ なら距離が変わらず、回転だけ。$w$ が正の実数なら偏角が $0$ で、伸び縮みだけ。

$i$ をかけると $90$ 度回る

$i$ の絶対値は $1$、偏角は $\frac{\pi }{2}$。

$$i=\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}$$

長さを変えずに $\frac{\pi }{2}$ だけ回す操作にあたります。$3+2i$ で試すと、$(3+2i)i=3i+2i^2=-2+3i$。

点 $(3,2)$ が点 $(-2,3)$ へ動きました。横の座標が縦へ、縦の座標は符号を変えて横へ。座標平面で $90$ 度回したときの動き方と同じです。

4 回かければ $i^4=1$ で、$360$ 度まわって元の位置へ戻る。

絶対値はかけ算のまま通る

偏角の話を落として長さだけを見ると、次の 2 つになります。

$$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|,\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$$

極形式を持ち出さずに確かめることもできます。$|z{|}^2=z\overline{z}$ を使い、共役が積をまたいでも形を変えないことから次のように進む。

$$\begin{array}{rl}|z_1{z}_2{|}^2& =z_1{z}_2\overline{z_1{z}_2}\\ & =z_1\overline{z_1}\cdot z_2\overline{z_2}\\ & =|z_1{|}^2|z_2{|}^2\end{array}$$

両辺とも $0$ 以上だから、平方根をとって $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$。

足し算のほうは同じようにいきません。$|z_1+z_2|$ は $|z_1|+|z_2|$ と一致しないことのほうが多く、$z_1=1$、$z_2=i$ なら左辺が $\sqrt{2}$、右辺が $2$ になります。

例：$(1+i)(\sqrt{3}+i)$ を角の足し算で

それぞれを極形式にします。$1+i$ は $r=\sqrt{2}$、$\theta =\frac{\pi }{4}$。$\sqrt{3}+i$ は $r=2$、$\theta =\frac{\pi }{6}$。

絶対値をかけて $2\sqrt{2}$、偏角を足して $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6}=\frac{5}{12}\pi$。

$$(1+i)(\sqrt{3}+i)=2\sqrt{2}\left(\cos \frac{5}{12}\pi +i\sin \frac{5}{12}\pi \right)$$

そのまま展開した結果とも合わせておきます。

$$(1+i)(\sqrt{3}+i)=\sqrt{3}+i+\sqrt{3}i+i^2=(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)i$$

補足：$\cos 75^{\circ }$ が手に入る

上の 2 つは同じ数なので、実部どうしを比べられます。

$$2\sqrt{2}\cos \frac{5}{12}\pi =\sqrt{3}-1$$

$\frac{5}{12}\pi$ は $75^{\circ }$。両辺を $2\sqrt{2}$ で割り、分母を有理化します。

$$\cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$

虚部を比べれば $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ も同じ手順で決まる。有名角でない値が、かけ算 1 つから拾えました。

例：$\frac{\sqrt{3}+i}{1+i}$

絶対値は $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$、偏角は $\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{12}$。

$$\frac{\sqrt{3}+i}{1+i}=\sqrt{2}\left\{\cos \left(-\frac{\pi }{12}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{12}\right)\right\}$$

分母を実数化する道でも確かめておきます。

$$\frac{(\sqrt{3}+i)(1-i)}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}+\frac{1-\sqrt{3}}{2}i$$

実部が正、虚部が負。偏角が負の角だという見立てと合っています。

かけるとは、回して伸ばすこと。割るとは、逆へ回して縮めること。$a+bi$ の形では見えなかった動きが、極形式にすると角と長さの計算として表れます。