複素数の積と商の幾何学的意味（回転・拡大）

複素数の積と商は、複素数平面上で回転と拡大・縮小として解釈できる。これは極形式を用いると明確になる。

積の幾何学的意味

$z_{1} = r_{1} (cos θ_{1} + i sin θ_{1})$ と $z_{2} = r_{2} (cos θ_{2} + i sin θ_{2})$ の積は、

$z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} {cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sin (θ_{1} + θ_{2})}$

となる。加法定理を用いて展開すれば確かめられる。

この式から、複素数の積は次の操作に対応することがわかる。

絶対値は掛け合わされる：

∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣∣ z_{2} ∣

偏角は足し合わされる：

ar g (z_{1} z_{2}) = ar g z_{1} + ar g z_{2}

つまり、 $z$ に $w = r (cos θ + i sin θ)$ を掛けることは、 $z$ を原点中心に $θ$ だけ回転させ、 $r$ 倍に拡大する操作である。

同様に、商については

$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} {cos (θ_{1} - θ_{2}) + i sin (θ_{1} - θ_{2})}$

となる。

絶対値は割り算される：

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{∣ z _{1} ∣}{∣ z _{2} ∣}

偏角は引き算される：

ar g (\frac{z _{1}}{z _{2}}) = ar g z_{1} - ar g z_{2}

$z = 1 + 3 i$ に $w = cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}$ を掛けると、 $z$ を $\frac{π}{3}$ （60°）だけ反時計回りに回転させた点が得られる。

$w = i$ を掛けることは、90°の回転に相当する。実際、 $i = cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}$ である。