固有値と固有ベクトルの計算練習

固有方程式 $\det (\lambda I-A)=(\lambda -3)(\lambda -2)=0$ より $\lambda =3,2$。

$\lambda =3$ のとき $(3I-A)x=0$ を解くと $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->x=0$ より $x_2=0$。固有ベクトルは $(1,0{)}^T$ の定数倍。

$\lambda =2$ のとき $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_1-->x=0$ より $x_1+x_2=0$。固有ベクトルは $(1,-1{)}^T$ の定数倍。

$\lambda =3$: $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$、$\lambda =2$: $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_1-->$

$\det (\lambda I-B)={\lambda }^2-7\lambda +10=(\lambda -5)(\lambda -2)=0$ より $\lambda =5,2$。

$\lambda =5$ のとき $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->x=0$ より $x_1=2x_2$。固有ベクトルは $(2,1{)}^T$。

$\lambda =2$ のとき $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_1-->x=0$ より $x_1+x_2=0$。固有ベクトルは $(1,-1{)}^T$。

$\lambda =5$: $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$、$\lambda =2$: $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_1-->$

$\det (\lambda I-C)={\lambda }^2+1=0$ より $\lambda =\pm i$（虚数）。

$\lambda =i$ のとき $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->x=0$ より $i{x}_1+x_2=0$。固有ベクトルは $(1,-i{)}^T$。

$\lambda =-i$ のとき固有ベクトルは $(1,i{)}^T$。

$\lambda =i$: $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$、$\lambda =-i$: $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_1-->$

上三角行列なので対角成分が固有値。$\lambda =2$（重複度2）, $\lambda =3$。

$\lambda =2$ のとき $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->x=0$ より $x_2=x_3=0$。固有ベクトルは $(1,0,0{)}^T$ のみ（固有空間は1次元）。

$\lambda =3$ のとき固有ベクトルは $(0,0,1{)}^T$。

$\lambda =2$: $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$、$\lambda =3$: $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_1-->$

上三角行列で $\lambda =1$（重複度3）。$(I-E)x=0$ を解くと $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->x=0$ より $x_2=x_3=0$。固有空間は1次元のみ。

$\lambda =1$（三重根）: $<!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->$（固有空間は1次元）