固有多項式を求める練習

$\det (\lambda I-A)=\det <!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->=(\lambda -1)(\lambda -4)-6={\lambda }^2-5\lambda +4-6={\lambda }^2-5\lambda -2$。

$p_A(\lambda )={\lambda }^2-5\lambda -2$

$\det (\lambda I-B)=(\lambda -a)(\lambda -d)-bc={\lambda }^2-(a+d)\lambda +(ad-bc)$。

$a+d=\mathrm{tr}B$（トレース）、$ad-bc=\det B$ である。

$p_B(\lambda )={\lambda }^2-(\mathrm{tr}B)\lambda +\det B$

上三角行列なので、固有値は対角成分 $\lambda =2$（三重）。固有多項式は $(\lambda -2{)}^3$。

展開すると ${\lambda }^3-6{\lambda }^2+12\lambda -8$。

$p_C(\lambda )=(\lambda -2{)}^3={\lambda }^3-6{\lambda }^2+12\lambda -8$

第1列で余因子展開する。

$\det (\lambda I-D)=\lambda \det <!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_0-->-0+(-6)\det <!--c853a06c90d5419a9bdaf752fc0b5015_1-->$

$=\lambda ({\lambda }^2-6\lambda +11)+(-6)(1)={\lambda }^3-6{\lambda }^2+11\lambda -6$

因数分解すると $(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)$。

$p_D(\lambda )={\lambda }^3-6{\lambda }^2+11\lambda -6=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -3)$

$\mathrm{rank}E=1$ なので $\lambda =0$ は二重の固有値。$\mathrm{tr}E=3$ だから、もう一つの固有値は $\lambda =3$。

$p_E(\lambda )={\lambda }^2(\lambda -3)={\lambda }^3-3{\lambda }^2$。

$p_E(\lambda )={\lambda }^3-3{\lambda }^2={\lambda }^2(\lambda -3)$、固有値は $\lambda =0$（二重）, $\lambda =3$