虚数単位 i の定義と性質

虚数単位 $i$ は、2乗すると $-1$ になる数として定義される。

$$i^2=-1$$

実数の範囲では、どんな数を2乗しても0以上になるため、$x^2=-1$ を満たす実数は存在しない。この方程式の解を表すために導入されたのが虚数単位 $i$ である。

$i$ の累乗は周期4で循環する。

このパターンから、$i^n$ の値は $n$ を4で割った余りで決まる。$n=4k+r$（$r=0,1,2,3$）のとき、$i^n=i^r$ となる。

$i$ の導入により、負の数の平方根も扱えるようになる。$a>0$ のとき、

$$\sqrt{-a}=\sqrt{a}\cdot i$$

と表せる。たとえば $\sqrt{-4}=2i$、$\sqrt{-3}=\sqrt{3}i$ である。

虚数単位を用いて $a+bi$（$a,b$ は実数）の形で表される数を複素数という。$a$ を実部、$b$ を虚部と呼ぶ。$b\ne 0$ のとき、この数は虚数であり、特に $a=0$ かつ $b\ne 0$ のときは純虚数という。