虚数単位 i の定義と性質

虚数単位 $i$ は、2乗すると $- 1$ になる数として定義される。

$i^{2} = - 1$

実数の範囲では、どんな数を2乗しても0以上になるため、 $x^{2} = - 1$ を満たす実数は存在しない。この方程式の解を表すために導入されたのが虚数単位 $i$ である。

$i$ の累乗は周期4で循環する。

i^{1} = i

i^{2} = - 1

i^{3} = i^{2} \cdot i = - i

i^{4} = i^{2} \cdot i^{2} = 1

i^{5} = i^{4} \cdot i = i

このパターンから、 $i^{n}$ の値は $n$ を4で割った余りで決まる。 $n = 4 k + r$ （ $r = 0, 1, 2, 3$ ）のとき、 $i^{n} = i^{r}$ となる。

$i$ の導入により、負の数の平方根も扱えるようになる。 $a > 0$ のとき、

$- a = a \cdot i$

と表せる。たとえば $- 4 = 2 i$ 、 $- 3 = 3 i$ である。

虚数単位を用いて $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で表される数を複素数という。 $a$ を実部、 $b$ を虚部と呼ぶ。 $b \neq = 0$ のとき、この数は虚数であり、特に $a = 0$ かつ $b \neq = 0$ のときは純虚数という。