主小行列式を左上から順に見る - 正定値性の判定練習

左上 $1\times 1$、左上 $2\times 2$、左上 $3\times 3$ と切り出して、それぞれの行列式を見る。全部正なら正定値です^[1]。

固有値を求めるより速い。3 次でも、$2$ 次と $3$ 次の行列式を 1 回ずつ計算するだけで終わります。

以下 12 問。判定だけの問題から、文字を含む範囲を求めるもの、判定法が通らない場合まで並べました。

判定の道具は 2 つ

実対称行列 $A$ が正定値であるとは、$x\ne 0$ のすべてで $x^{\mathsf{T}}Ax>0$ になることをいいます^[2]。

1 つ目の判定法は固有値です。実対称なら固有値はすべて実数で、正定値とすべての固有値が正であることが同値になります^[2]。

2 つ目が首座小行列式です。左上から $k\times k$ を切り出した行列の行列式を $D_k$ と書きます。

$$D_1=a_{11},D_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|,\dots ,D_n=\det A$$

$D_1,D_2,\dots ,D_n$ がすべて正であることと、$A$ が正定値であることが同値です。シルベスターの判定法と呼びます^[1,3]。

負定値なら符号が交互になります。$D_1<0$、$D_2>0$、$D_3<0$、という並び。$-A$ が正定値だと考えれば出てきます。

問題 1

次の行列が正定値かどうか判定してください。

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

$D_1=2>0$、$D_2=2\cdot 2-1\cdot 1=3>0$。どちらも正なので正定値です。

固有値でも確かめられます。固有多項式は ${\lambda }^2-4\lambda +3=0$ で、$\lambda =3,1$。どちらも正です。

問題 2

$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$$

$D_1=1>0$ ですが、$D_2=1-4=-3<0$。ここで判定が終わります。

固有値は $\lambda =3,-1$。負の固有値があるので、正定値でも負定値でもありません。この状態を不定値と呼びます。

$x=(1,-1)$ を入れると $x^{\mathsf{T}}Bx=1-4+1=-2<0$。負になる方向が実際に見つかります。

問題 3

$$C=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 0\\ 2& 2& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$$

$D_1=4>0$、$D_2=4\cdot 2-2\cdot 2=4>0$。

$D_3=\det C$ を第 1 行で展開します。

$$\det C=4(2\cdot 1-1\cdot 1)-2(2\cdot 1-1\cdot 0)+0=4-4=0$$

$D_3=0$ なので正定値ではありません。二次形式を平方完成すると、正体が見えます。

$$q=4x^2+2y^2+z^2+4xy+2yz=(2x+y{)}^2+(y+z{)}^2$$

$2$ 乗の和なので $0$ 以上。$(x,y,z)=(1,-2,2)$ で $0$ になります。半正定値です。

問題 4

$$D=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

対角行列なので、対角成分がそのまま固有値。$1,2,3$ はすべて正で、正定値です。

首座小行列式でも $D_1=1$、$D_2=2$、$D_3=6$ と正が並びます。

問題 5

$$E=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$$

$D_1=2>0$、$D_2=4-1=3>0$。

$$D_3=2(4-1)-(-1)((-1)\cdot 2-(-1)\cdot 0)=6-2=4>0$$

3 つとも正なので正定値。差分の行列としてよく出てくる形で、固有値は $2-\sqrt{2}$、$2$、$2+\sqrt{2}$ です。

問題 6

$a>0$ とします。次の行列が正定値になる $a$ の範囲を求めてください。

$$F=\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 1& a\end{array}\right)$$

$D_1=a>0$ は仮定から成り立ちます。$D_2=a^2-1>0$ より $a>1$ または $a<-1$。

$a>0$ と合わせて $a>1$ です。$a=1$ のときは $D_2=0$ で、半正定値になります。

問題 7

$$G=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$$

$D_1=1>0$、$D_2=5-4=1>0$。正定値です。

平方完成でも確かめられます。$q=x^2+4xy+5y^2=(x+2y{)}^2+y^2$ で、$2$ 乗の和が $0$ になるのは $x=y=0$ のときだけ。

問題 8

次の行列を判定してください。

$$H=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -3\end{array}\right)$$

$D_1=-2<0$、$D_2=6-1=5>0$。符号が負・正と交互になっています。

これは負定値の並びです。$-H$ を作ると $D_1=2$、$D_2=5$ でどちらも正なので、$-H$ が正定値。よって $H$ は負定値です。

問題 9

$$K=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right)$$

$D_1=1>0$、$D_2=2-1=1>0$。

$$D_3=1(2\cdot 3-2\cdot 2)-1(1\cdot 3-2\cdot 1)+1(1\cdot 2-2\cdot 1)=2-1+0=1>0$$

正定値です。$D_1=D_2=D_3=1$ と、値まで同じになりました。

問題 10

次の行列で、首座小行列式が $D_1=0$、$D_2=0$ になることを確かめ、半正定値かどうか判定してください。

$$L=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

$D_1=0$、$D_2=0\cdot (-1)-0=0$。どちらも $0$ 以上です。

ところが $x=(0,1)$ を入れると $x^{\mathsf{T}}Lx=-1<0$。半正定値ではありません。

首座小行列式が $0$ 以上なら半正定値、という言い換えは成り立たない。この点は誤用として繰り返し指摘されています^[3]。

半正定値を判定するには、左上に限らないすべての主小行列式を見る必要があります。$L$ では $(2,2)$ 成分だけの小行列式が $-1$ で負になり、そこで引っかかります。

問題 11

次の行列が正定値になる $k$ の範囲を求めてください。

$$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& k& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

$D_1=2>0$ はいつでも成り立ちます。$D_2=2k-1>0$ より $k>\frac{1}{2}$。

$$D_3=2(2k-1)-1(2-0)+0=4k-4$$

$D_3>0$ より $k>1$。3 つの条件のうちいちばん厳しいものが残るので、答えは $k>1$ です。

$k=1$ では $D_3=0$ で、半正定値。$D_1$、$D_2$ だけ見て $k>\frac{1}{2}$ と答えると誤りになります。

問題 12

$B$ を任意の実行列とするとき、$A=B^{\mathsf{T}}B$ が半正定値であることを示し、次の $B$ で判定してください。

$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$$

一般の証明は 1 行です。$x^{\mathsf{T}}Ax=x^{\mathsf{T}}{B}^{\mathsf{T}}Bx=(Bx{)}^{\mathsf{T}}(Bx)=\Vert Bx{\Vert }^2\ge 0$。

正定値になるのは $Bx=0\Rightarrow x=0$ のとき、つまり $B$ の列が一次独立なときです。

この $B$ では第 2 列が第 1 列の $2$ 倍なので、一次独立ではありません。積を計算します。

$$A=B^{\mathsf{T}}B=\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 10& 20\end{array}\right)$$

$D_1=5>0$、$D_2=100-100=0$。正定値ではなく、半正定値です。

検算

固有値でもう一度判定します。首座小行列式が全部正なら、固有値も全部正になるはずです。

問題 1 の $A$ なら固有値 $3$ と $1$。トレース $4$ が固有値の和、行列式 $3$ が積と一致します。

トレースと行列式だけでも $2$ 次の判定ができます。積が正で和も正なら、固有値は両方とも正だからです。

$3$ 次以上では、二次形式を平方完成する方法が確かめになります。問題 3 のように $2$ 乗の和で書けたら半正定値、係数がすべて正で変数が全部現れていれば正定値です。

判定法の使える範囲も確かめます。

左上から切って、行列式の符号を並べる。それだけで正定値かどうかが決まります。$0$ が出た瞬間に判定法が使えなくなる点だけ、覚えておくと迷いません。

参考文献