正定値性を判定する練習

正定値性の判定には、固有値の符号を調べる方法と、シルベスターの判定法（首座小行列式）を用いる方法がある。

問題1

次の行列が正定値かどうか判定せよ。

$A = (2112)$

解答

シルベスターの判定法を用いる。 $D_{1} = 2 > 0$ 、 $D_{2} = 4 - 1 = 3 > 0$ 。

答え

正定値

次の行列が正定値かどうか判定せよ。

$B = (1221)$

解答

$D_{1} = 1 > 0$ 、 $D_{2} = 1 - 4 = - 3 < 0$ 。

または固有値を計算すると $λ = 3, - 1$ で負の固有値がある。

答え

正定値ではない（不定値）

次の行列が正定値かどうか判定せよ。

$C = 420221011$

解答

$D_{1} = 4 > 0$ 。 $D_{2} = 4 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = 4 > 0$ 。 $D_{3} = det C$ 。

第3行で展開: $det C = 0 \cdot (\dots) - 1 \cdot (4 - 4) + 1 \cdot (4 - 4) = 0$ 。

$D_{3} = 0$ なので正定値ではない。

答え

正定値ではない（半正定値）

次の行列が正定値かどうか判定せよ。

$D = 100020003$

解答

対角行列なので、対角成分がそのまま固有値。すべて正。

答え

正定値

次の行列が正定値かどうか判定せよ。

$E = 2 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 2$

解答

$D_{1} = 2 > 0$ 。 $D_{2} = 4 - 1 = 3 > 0$ 。 $D_{3} = 2 (4 - 1) - (- 1) (- 2) = 6 - 2 = 4 > 0$ 。

答え

正定値

$a > 0$ のとき、 $A = 5$ が正定値となる $a$ の範囲を求めよ。

解答

$D_{1} = a > 0$ （条件より満たす）。 $D_{2} = a^{2} - 1 > 0$ より $a > 1$ （ $a > 0$ の条件下）。

答え

$a > 1$