主小行列式を左上から順に見る - 正定値性の判定練習

左上 $1 \times 1$ 、左上 $2 \times 2$ 、左上 $3 \times 3$ と切り出して、それぞれの行列式を見る。全部正なら正定値です^[1]。

固有値を求めるより速い。3 次でも、 $2$ 次と $3$ 次の行列式を 1 回ずつ計算するだけで終わります。

以下 12 問。判定だけの問題から、文字を含む範囲を求めるもの、判定法が通らない場合まで並べました。

判定の道具は 2 つ

実対称行列 $A$ が正定値であるとは、 $x \neq = 0$ のすべてで $x^{T} A x > 0$ になることをいいます^[2]。

1 つ目の判定法は固有値です。実対称なら固有値はすべて実数で、正定値とすべての固有値が正であることが同値になります^[2]。

2 つ目が首座小行列式です。左上から $k \times k$ を切り出した行列の行列式を $D_{k}$ と書きます。

$D_{1} = a_{11}, D_{2} = a_{11} a_{21} a_{12} a_{22}, \dots, D_{n} = det A$

$D_{1}, D_{2}, \dots, D_{n}$ がすべて正であることと、 $A$ が正定値であることが同値です。シルベスターの判定法と呼びます^[1,3]。

負定値なら符号が交互になります。 $D_{1} < 0$ 、 $D_{2} > 0$ 、 $D_{3} < 0$ 、という並び。 $- A$ が正定値だと考えれば出てきます。

問題 1

次の行列が正定値かどうか判定してください。

$A = (2112)$

$D_{1} = 2 > 0$ 、 $D_{2} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3 > 0$ 。どちらも正なので正定値です。

固有値でも確かめられます。固有多項式は $λ^{2} - 4 λ + 3 = 0$ で、 $λ = 3, 1$ 。どちらも正です。

問題 2

$B = (1221)$

$D_{1} = 1 > 0$ ですが、 $D_{2} = 1 - 4 = - 3 < 0$ 。ここで判定が終わります。

固有値は $λ = 3, - 1$ 。負の固有値があるので、正定値でも負定値でもありません。この状態を不定値と呼びます。

$x = (1, - 1)$ を入れると $x^{T} B x = 1 - 4 + 1 = - 2 < 0$ 。負になる方向が実際に見つかります。

問題 3

$C = 420221011$

$D_{1} = 4 > 0$ 、 $D_{2} = 4 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = 4 > 0$ 。

$D_{3} = det C$ を第 1 行で展開します。

$det C = 4 (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - 2 (2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + 0 = 4 - 4 = 0$

$D_{3} = 0$ なので正定値ではありません。二次形式を平方完成すると、正体が見えます。

$q = 4 x^{2} + 2 y^{2} + z^{2} + 4 x y + 2 y z = (2 x + y)^{2} + (y + z)^{2}$

$2$ 乗の和なので $0$ 以上。 $(x, y, z) = (1, - 2, 2)$ で $0$ になります。半正定値です。

問題 4

$D = 100020003$

対角行列なので、対角成分がそのまま固有値。 $1, 2, 3$ はすべて正で、正定値です。

首座小行列式でも $D_{1} = 1$ 、 $D_{2} = 2$ 、 $D_{3} = 6$ と正が並びます。

問題 5

$E = 2 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 2$

$D_{1} = 2 > 0$ 、 $D_{2} = 4 - 1 = 3 > 0$ 。

$D_{3} = 2 (4 - 1) - (- 1) ((- 1) \cdot 2 - (- 1) \cdot 0) = 6 - 2 = 4 > 0$

3 つとも正なので正定値。差分の行列としてよく出てくる形で、固有値は $2 - 2$ 、 $2$ 、 $2 + 2$ です。

問題 6

$a > 0$ とします。次の行列が正定値になる $a$ の範囲を求めてください。

$F = (a 1 1 a)$

$D_{1} = a > 0$ は仮定から成り立ちます。 $D_{2} = a^{2} - 1 > 0$ より $a > 1$ または $a < - 1$ 。

$a > 0$ と合わせて $a > 1$ です。 $a = 1$ のときは $D_{2} = 0$ で、半正定値になります。

問題 7

$G = (1225)$

$D_{1} = 1 > 0$ 、 $D_{2} = 5 - 4 = 1 > 0$ 。正定値です。

平方完成でも確かめられます。 $q = x^{2} + 4 x y + 5 y^{2} = (x + 2 y)^{2} + y^{2}$ で、 $2$ 乗の和が $0$ になるのは $x = y = 0$ のときだけ。

問題 8

次の行列を判定してください。

$H = (- 2 1 1 - 3)$

$D_{1} = - 2 < 0$ 、 $D_{2} = 6 - 1 = 5 > 0$ 。符号が負・正と交互になっています。

これは負定値の並びです。 $- H$ を作ると $D_{1} = 2$ 、 $D_{2} = 5$ でどちらも正なので、 $- H$ が正定値。よって $H$ は負定値です。

問題 9

$K = 111122123$

$D_{1} = 1 > 0$ 、 $D_{2} = 2 - 1 = 1 > 0$ 。

$D_{3} = 1 (2 \cdot 3 - 2 \cdot 2) - 1 (1 \cdot 3 - 2 \cdot 1) + 1 (1 \cdot 2 - 2 \cdot 1) = 2 - 1 + 0 = 1 > 0$

正定値です。 $D_{1} = D_{2} = D_{3} = 1$ と、値まで同じになりました。

問題 10

次の行列で、首座小行列式が $D_{1} = 0$ 、 $D_{2} = 0$ になることを確かめ、半正定値かどうか判定してください。

$L = (00 0 - 1)$

$D_{1} = 0$ 、 $D_{2} = 0 \cdot (- 1) - 0 = 0$ 。どちらも $0$ 以上です。

ところが $x = (0, 1)$ を入れると $x^{T} Lx = - 1 < 0$ 。半正定値ではありません。

首座小行列式が $0$ 以上なら半正定値、という言い換えは成り立たない。この点は誤用として繰り返し指摘されています^[3]。

半正定値を判定するには、左上に限らないすべての主小行列式を見る必要があります。 $L$ では $(2, 2)$ 成分だけの小行列式が $- 1$ で負になり、そこで引っかかります。

正定値の判定

首座小行列式だけで足りる。 $n$ 個の行列式を順に見ればよい

半正定値の判定

すべての主小行列式が要る。 $2^{n} - 1$ 個あり、 $n$ が大きいと実用的でない

問題 11

次の行列が正定値になる $k$ の範囲を求めてください。

$M = 210 1 k 1 012$

$D_{1} = 2 > 0$ はいつでも成り立ちます。 $D_{2} = 2 k - 1 > 0$ より $k > \frac{1}{2}$ 。

$D_{3} = 2 (2 k - 1) - 1 (2 - 0) + 0 = 4 k - 4$

$D_{3} > 0$ より $k > 1$ 。3 つの条件のうちいちばん厳しいものが残るので、答えは $k > 1$ です。

$k = 1$ では $D_{3} = 0$ で、半正定値。 $D_{1}$ 、 $D_{2}$ だけ見て $k > \frac{1}{2}$ と答えると誤りになります。

問題 12

$B$ を任意の実行列とするとき、 $A = B^{T} B$ が半正定値であることを示し、次の $B$ で判定してください。

$B = (1224)$

一般の証明は 1 行です。 $x^{T} A x = x^{T} B^{T} B x = (B x)^{T} (B x) = ∥ B x ∥^{2} \geq 0$ 。

正定値になるのは $B x = 0 \Rightarrow x = 0$ のとき、つまり $B$ の列が一次独立なときです。

この $B$ では第 2 列が第 1 列の $2$ 倍なので、一次独立ではありません。積を計算します。

$A = B^{T} B = (5101020)$

$D_{1} = 5 > 0$ 、 $D_{2} = 100 - 100 = 0$ 。正定値ではなく、半正定値です。

$D_{1}$ から順に計算する

$0$ 以下が出たら打ち切る

最後まで正なら正定値

検算

固有値でもう一度判定します。首座小行列式が全部正なら、固有値も全部正になるはずです。

問題 1 の $A$ なら固有値 $3$ と $1$ 。トレース $4$ が固有値の和、行列式 $3$ が積と一致します。

トレースと行列式だけでも $2$ 次の判定ができます。積が正で和も正なら、固有値は両方とも正だからです。

$3$ 次以上では、二次形式を平方完成する方法が確かめになります。問題 3 のように $2$ 乗の和で書けたら半正定値、係数がすべて正で変数が全部現れていれば正定値です。

$3$ 次の実対称行列で $D_{1} = 3$ 、 $D_{2} = 5$ 、 $D_{3} = - 2$ でした。この行列はどれですか。

正定値
半正定値
不定値

__RESULT__

$D_{3} = det A$ が負なので、固有値の積が負です。 $3$ 個の積が負になるのは、負の固有値が $1$ 個か $3$ 個のとき。どちらでも正の値と負の値の両方をとるので不定値になります。

判定法の使える範囲も確かめます。

首座小行列式がすべて $0$ 以上なら、その行列は半正定値ですか。

半正定値になる
半正定値とは限らない
正定値になる

__RESULT__

$diag (0, - 1)$ では $D_{1} = D_{2} = 0$ ですが、 $x = (0, 1)$ で値が $- 1$ になります。半正定値の判定には、左上に限らないすべての主小行列式が必要です。

左上から切って、行列式の符号を並べる。それだけで正定値かどうかが決まります。 $0$ が出た瞬間に判定法が使えなくなる点だけ、覚えておくと迷いません。

参考文献

Sergei Treil. *Linear Algebra Done Wrong*, Chapter 7. Brown University.

Positive definite matrix. StatLect.

Clarence C. Y. Kwan. *Remedies for Misapplications of Sylvester's Criterion: A Pedagogic Illustration*. Spreadsheets in Education 12 (2021).

左上 $1 \times 1$、$2 \times 2$、$3 \times 3$ と切り出して、行列式の符号を並べる。全部正なら正定値です。固有値を求めるより速く、$3$ 次でも行列式を 2 回計算すれば終わります。判定だけの問題から、$k$ を含む行列が正定値になる範囲を求めるもの、$B^{\mathsf{T}}B$ が半正定値になる証明まで 12 問。$\operatorname{diag}(0, -1)$ のように首座小行列式が $0$ 以上でも半正定値にならない例も入れました。半正定値の判定には左上に限らないすべての主小行列式が要る、という区別が要点になります。