行列の累乗を求める練習

行列の累乗は、対角化できる場合は対角行列の累乗に帰着できる。対角化できない場合はジョルダン標準形やケイリー・ハミルトンの定理を用いる。

問題1

次の行列の $A^{10}$ を求めよ。

$A = (2003)$

解答

対角行列の累乗は各対角成分の累乗である。

$A^{10} =<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{0} - - >=<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{1} - - >$ 。

答え

$A^{10} =<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{0} - - >$

問題2

次の行列の $B^{n}$ を求めよ。

$B = (1011)$

解答

$B = I + N$ と分解する。 $N =<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{0} - - >$ は $N^{2} = O$ 。

$B^{n} = (I + N)^{n} = I + n N + (2 n) N^{2} + \dots = I + n N =<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{1} - - >$ 。

答え

$B^{n} =<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{0} - - >$

問題3

次の行列の $C^{n}$ を求めよ。

$C = (1023)$

解答

固有値は $λ = 1, 3$ 。固有ベクトルは $v_{1} = (1, 0)^{T}$ , $v_{2} = (1, 1)^{T}$ 。

$P =<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{0} - - >$ , $P^{- 1} =<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{1} - - >$ , $D =<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{2} - - >$ 。

$C^{n} = P D^{n} P^{- 1} =<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{3} - - ><! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{4} - - ><! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{5} - - >$ 。

答え

$C^{n} =<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{0} - - >$

問題4

次の行列の $D^{100}$ を求めよ。

$D = (0110)$

解答

$D^{2} = I$ なので、 $D^{100} = (D^{2})^{50} = I^{50} = I$ 。

または固有値 $λ = 1, - 1$ から、 $1^{100} = 1$ , $(- 1)^{100} = 1$ なので対角化しても $D^{100} = I$ 。

答え

$D^{100} =<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{0} - - >$

問題5

次の行列の $E^{n}$ を求めよ。

$E = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)$

解答

$E$ は角度 $θ$ の回転行列である。 $n$ 回合成すると角度 $n θ$ の回転になる。

答え

$E^{n} =<! - - c 853 a 06 c 90 d 5419 a 9 b d a f 752 f c 0 b 501 5_{0} - - >$