行列の累乗を求める練習

対角行列の累乗は各対角成分の累乗である。

$A^{10}=<!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_0-->=<!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_1-->$。

$A^{10}=<!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_0-->$

$B=I+N$ と分解する。$N=<!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_0-->$ は $N^2=O$。

$B^n=(I+N{)}^n=I+nN+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})N^2+\cdots =I+nN=<!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_1-->$。

$B^n=<!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_0-->$

固有値は $\lambda =1,3$。固有ベクトルは $v_1=(1,0{)}^T$, $v_2=(1,1{)}^T$。

$P=<!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_0-->$, $P^{-1}=<!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_1-->$, $D=<!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_2-->$。

$C^n=P{D}^n{P}^{-1}=<!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_3--><!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_4--><!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_5-->$。

$C^n=<!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_0-->$

$D^2=I$ なので、$D^{100}=(D^2{)}^{50}=I^{50}=I$。

または固有値 $\lambda =1,-1$ から、$1^{100}=1$, $(-1{)}^{100}=1$ なので対角化しても $D^{100}=I$。

$D^{100}=<!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_0-->$

$E$ は角度 $\theta$ の回転行列である。$n$ 回合成すると角度 $n\theta$ の回転になる。

$E^n=<!--6946b3490c724bcab346437e9aabdf65_0-->$