行列の n 乗の計算問題｜対角化とケイリー・ハミルトン

$A = P D P^{- 1}$ と書けたら、 $n$ 乗すると間の $P^{- 1} P$ が次々に消えます^[1]。

$A^{n} = P D^{n} P^{- 1}$

$D$ は対角行列なので、 $D^{n}$ は成分を $n$ 乗するだけ。 $100$ 乗でも手で書けます。

対角化できないときは、 $A = λ I + N$ と分けて二項定理を使うか、ケイリー・ハミルトンで次数を下げます。

以下 12 問。対角行列から始めて、対角化、べき零、ジョルダン細胞、周期を持つ行列まで扱います。

問題 1

$A = (2003)$

対角行列なので、成分をそのまま $10$ 乗します。

$A^{10} = (10240059049)$

$2^{10} = 1024$ 、 $3^{10} = 59049$ です。

問題 2

$B = (1011)$

$B = I + N$ と分けます。 $N$ は $(1, 2)$ 成分だけが $1$ で、 $N^{2} = O$ 。

$I$ と $N$ は可換なので二項定理が使え、 $N^{2}$ 以降が消えます。

$B^{n} = I + n N = (10 n 1)$

右上が $n$ ずつ増えるだけ。 $B^{100}$ の右上は $100$ です。

問題 3

$C = (3012)$

上三角なので固有値は $3$ と $2$ 。相異なるので対角化できます。

$λ = 3$ の固有ベクトルは $(1, 0)$ 、 $λ = 2$ は $(1, - 1)$ です。

$P = (10 1 - 1), P^{- 1} = (10 1 - 1)$

$det P = - 1$ なので、公式に入れると $P^{- 1}$ が $P$ 自身になります。

$C^{n} = P (3^{n} 0 0 2^{n}) P^{- 1} = (3^{n} 0 3^{n} - 2^{n} 2^{n})$

$n = 1$ を入れると $(1, 2)$ 成分が $3 - 2 = 1$ で、 $C$ に戻ります。

問題 4

$D = (2112)$

対称行列です。固有値は $3$ と $1$ 、固有ベクトルは $(1, 1)$ と $(1, - 1)$ 。

対称なので固有ベクトルが直交します。正規化して $P$ を作れば、 $P^{- 1} = P^{T}$ で済みます。

$D^{n} = \frac{1}{2} (3^{n} + 1 3^{n} - 1 3^{n} - 1 3^{n} + 1)$

$n = 2$ で確かめます。 $\frac{1}{2} (10, 8; 8, 10) = (5, 4; 4, 5)$ 。直接 $D^{2}$ を計算しても同じです。

問題 5

$E = (1110)$

固有多項式は $λ^{2} - λ - 1$ 。ケイリー・ハミルトンより $E^{2} = E + I$ です^[2]。

$E^{3} = E \cdot E^{2} = E^{2} + E = 2 E + I$ 、 $E^{4} = 3 E + 2 I$ 。係数がフィボナッチ数になります。

$E^{n} = F_{n} E + F_{n - 1} I = (F_{n + 1} F_{n} F_{n} F_{n - 1})$

$n = 2$ なら $F_{3} = 2$ 、 $F_{2} = 1$ 、 $F_{1} = 1$ で $(2, 1; 1, 1)$ 。 $E^{2} = E + I$ と一致します。

固有値が無理数でも、次数下げなら整数の計算だけで進みます。

問題 6

$N = 000100010$

$N^{2}$ は $(1, 3)$ 成分だけが $1$ 、 $N^{3} = O$ になります。

$n \geq 3$ ではすべて零行列。べき零行列は、有限回で消えます。

$1$ が右上へ動いていき、外へ出たところで終わり。細胞のサイズが、消えるまでの回数にあたります。

問題 7

$J = (λ 0 1 λ)$

$J = λ I + N$ と分けます。 $λ I$ と $N$ は可換で、 $N^{2} = O$ 。

二項定理を当てると、 $k \geq 2$ の項が消えます^[3]。

$J^{n} = λ^{n} I + n λ^{n - 1} N = (λ^{n} 0 n λ^{n - 1} λ^{n})$

$λ$ の $n$ 乗に加えて、 $n λ^{n - 1}$ という項が右上に出ます。

問題 8

$3$ 次のジョルダン細胞 $J_{3} (λ)$ について $J^{n}$ を求めてください。

$N^{3} = O$ なので、二項定理の項は $k = 0, 1, 2$ の $3$ つだけ残ります。

$J^{n} = λ^{n} I + n λ^{n - 1} N + (2 n) λ^{n - 2} N^{2}$

$N$ は対角の $1$ つ右、 $N^{2}$ は $2$ つ右に $1$ を置く行列です。だから右上の段ごとに、係数が変わります。

問題 9

$R = (01 - 1 0)$

$90$ 度回転です。 $R^{2} = - I$ 、 $R^{3} = - R$ 、 $R^{4} = I$ になります。

$4$ 回で単位行列に戻るので、 $R^{n}$ は $n$ を $4$ で割った余りだけで決まります。

$R^{2026}$ なら $2026 = 4 \cdot 506 + 2$ なので $R^{2} = - I$ です。

固有値が $\pm i$ で絶対値が $1$ なので、いくら掛けても大きくなりません。

問題 10

$P^{2} = P$ を満たす行列について、 $P^{n}$ を求めてください。

$P^{2} = P$ を繰り返し使うと、 $P^{3} = P \cdot P^{2} = P \cdot P = P$ 。

すべての $n \geq 1$ で $P^{n} = P$ です。射影は、何度当てても結果が変わりません。

固有値が $0$ と $1$ しかないことからも分かります。 $0^{n} = 0$ 、 $1^{n} = 1$ で、対角成分が動きません。

問題 11

$F = (1021)$

$F = I + 2 N$ の形です。 $N^{2} = O$ なので、問題 2 と同じ理屈が通ります。

$F^{n} = I + 2 n N = (10 2 n 1)$

$F^{100}$ の右上は $200$ 。 $2$ の $100$ 乗にはなりません。

問題 12

$G = (3013)$

固有値は $3$ の重解で、対角化できません。 $G = 3 I + N$ と分けます。

$G^{n} = 3^{n} I + n 3^{n - 1} N = (3^{n} 0 n 3^{n - 1} 3^{n})$

$n = 2$ で確かめます。 $(9, 2 \cdot 3; 0, 9) = (9, 6; 0, 9)$ 。直接 $G^{2}$ を計算しても同じです。

対角化できる

$P D^{n} P^{- 1}$ で終わる。固有値の $n$ 乗を並べるだけ

対角化できない

$λ I + N$ に分けて二項定理。 $n λ^{n - 1}$ のような項が余分に出る

固有値を出す

重解がなければ対角化

あれば $λ I + N$ に分けるか次数を下げる

発展

$n$ が大きいときの振る舞いは、固有値の絶対値で決まります。すべて $1$ 未満なら $A^{n} \to O$ に落ちる。

$1$ を超えるものが $1$ つでもあれば発散します。ちょうど $1$ のときは、細胞のサイズによって $n$ の多項式ぶんだけ伸びる。

確率行列は固有値の絶対値が $1$ 以下で、 $1$ が必ず入ります。 $A^{n}$ が定常分布へ近づく仕組みが、この形から読めます。

$λ$ が固有値の $2$ 次のジョルダン細胞について、 $J^{n}$ の $(1, 2)$ 成分はどれですか。

$λ^{n}$
$n λ^{n - 1}$
$n λ^{n}$

__RESULT__

$J = λ I + N$ を二項展開すると $λ^{n} I + n λ^{n - 1} N$ です。 $N^{2} = O$ で、それ以降の項が消えます。 $N$ は $(1, 2)$ 成分だけが $1$ なので、そこに $n λ^{n - 1}$ が入ります。

対角化できる場合も確かめます。

$A = P D P^{- 1}$ で $D = diag (2, 5)$ のとき、 $A^{3}$ を求める式はどれですか。

$P diag (8, 125) P^{- 1}$
$P^{3} diag (8, 125) (P^{- 1})^{3}$
$diag (8, 125)$

__RESULT__

$A^{3} = P D P^{- 1} P D P^{- 1} P D P^{- 1}$ で、間の $P^{- 1} P$ が単位行列になって消えます。残るのは $P D^{3} P^{- 1}$ 。 $P$ 自身は $3$ 乗されません。

対角化できるなら $P D^{n} P^{- 1}$ 、できないなら $λ I + N$ に分ける。どちらでも、 $n$ の式として書き下せます。 $100$ 乗を直接掛ける必要はありません。

参考文献

Sergei Treil. *Linear Algebra Done Wrong*, Chapter 4. Brown University.

Keith Conrad. *The Minimal Polynomial and Some Applications*. University of Connecticut.

David Dummit. *Applications of the Jordan Canonical Form*. Math 4571, Northeastern University.

$A = PDP^{-1}$ なら、$n$ 乗したとき間の $P^{-1}P$ が次々に消えて $PD^nP^{-1}$ が残ります。$D$ は成分を $n$ 乗するだけなので、$100$ 乗でも手で書ける。対角化できないときは $\lambda I + N$ に分けて二項定理を使うと、$N^2 = O$ から $n\lambda^{n-1}$ の項までで止まります。12 問で、対角行列、対称行列、ジョルダン細胞、べき零、$4$ 回で単位行列に戻る回転行列、$P^n = P$ になる射影を扱いました。$(1,1;1,0)$ の $n$ 乗にフィボナッチ数が並ぶ話、ケイリー・ハミルトンで次数を下げる手順も入れています。