対角化可能かどうか判定する練習

固有値は $\lambda =3$（二重根）。$(3I-A)=0$ のランクは 1 なので、固有空間の次元は $2-1=1$。

代数的重複度 2 に対して幾何的重複度は 1 なので一致しない。

対角化不可能

$B=I$ は既に対角行列。固有値は $\lambda =1$（二重根）で、固有空間は ${\mathbb{R}}^2$ 全体（次元2）。

代数的重複度と幾何的重複度がともに 2 で一致。

対角化可能（すでに対角行列）

固有方程式 ${\lambda }^2-5\lambda -2=0$ の判別式は $25+8=33>0$ なので異なる2つの実固有値をもつ。

異なる固有値に対応する固有ベクトルは一次独立なので対角化可能。

対角化可能

固有方程式 ${\lambda }^2+1=0$ より $\lambda =\pm i$（複素数）。

実数の範囲では対角化できないが、複素数の範囲では異なる2つの固有値をもつので対角化可能。

実数範囲では対角化不可能、複素数範囲では対角化可能

既に対角行列。固有値は $\lambda =2$（重複度2）と $\lambda =3$。$\lambda =2$ の固有空間は2次元で、代数的重複度と一致。

対角化可能（すでに対角行列）

固有値は $\lambda =1$（三重根）。$(I-F)=0$ のランクは 2 なので固有空間の次元は 1。

代数的重複度 3 に対して幾何的重複度は 1。

対角化不可能