その行列は対角化できる？重複度をそろえる判定練習

重解がなければ、その時点で対角化できる。重解があるときだけ、階数を 1 回計算して確かめる^[1]。

$dim E_{λ} = n - rank (A - λ I)$

この値が代数的重複度に届けば合格。1 つでも足りなければ対角化できない^[3]。

以下 13 問。 $2$ 次から $3$ 次まで、文字を含む場合、体を広げると結論が変わる場合まで並べた。

判定の順序

固有多項式を解いて固有値を出す。重解がなければそこで終わり、あるものだけ階数を見る。

固有ベクトルを書き下す必要はない。掃き出して段の数を数えるだけで、次元が決まる。

問題 1

$A = (3013)$

固有値は $3$ の重解。代数的重複度は $2$ である。

$A - 3 I$ の第 1 行が $(0, 1)$ 、第 2 行が $(0, 0)$ で階数は $1$ 。よって $dim E_{3} = 2 - 1 = 1$ 。

$1 < 2$ で足りないので、対角化できない。

問題 2

$B = (1001)$

すでに対角行列である。固有値 $1$ の重複度は $2$ 、 $B - I = O$ で階数 $0$ なので $dim E_{1} = 2$ 。

一致するので対角化できる。 $P = I$ をとればよい。

問題 3

$C = (1324)$

固有多項式は $λ^{2} - 5 λ - 2$ 。判別式は $25 + 8 = 33 > 0$ で、相異なる $2$ つの実固有値をもつ。

異なる固有値の固有ベクトルは自動的に一次独立なので、階数を計算するまでもなく対角化できる^[2]。

問題 4

$D = (0 - 1 10)$

固有多項式は $λ^{2} + 1$ 。実数の範囲に根がない。

実数の範囲では固有ベクトルが $1$ 本もないので、対角化できない。回転なので、向きの変わらない方向がないというのが理由である。

複素数まで広げると固有値は $\pm i$ で、相異なる $2$ つ。 $C^{2}$ では対角化できる。

どちらの体で考えているかで結論が変わる例である^[3]。

問題 5

$E = 200020003$

対角行列なので対角化できる。固有値 $2$ の重複度は $2$ 、 $E - 2 I$ の階数は $1$ なので $dim E_{2} = 3 - 1 = 2$ で一致する。

問題 6

$F = 100110011$

固有値は $1$ の $3$ 重解。 $F - I$ は右上に $1$ が $2$ つ並ぶ形で、階数は $2$ 。

$dim E_{1} = 3 - 2 = 1$ で、 $3$ に届かない。対角化できない。

これはジョルダン細胞そのもので、固有値 $1$ の $3$ 次の細胞 $1$ 個からなる。

問題 7

$G = (2112)$

実対称行列である。この時点で対角化できると分かる^[1]。

実対称なら固有値がすべて実数で、直交行列で対角化できることが保証されている。重複度を数える必要がない。

実際に計算すると固有値は $3$ と $1$ 、固有ベクトルは $(1, 1)$ と $(1, - 1)$ で直交している。

問題 8

$H = 100120102$

上三角なので固有値は $1, 2, 2$ 。 $λ = 2$ の代数的重複度は $2$ である。

$H - 2 I$ を書くと第 1 行が $(- 1, 1, 1)$ 、他は $0$ で階数は $1$ 。 $dim E_{2} = 3 - 1 = 2$ 。

一致するので対角化できる。 $λ = 1$ は重複がないので確かめなくてよい。

問題 9

$K = 210020005$

固有値は $2, 2, 5$ 。 $K - 2 I$ は $(2, 1)$ 成分が $1$ 、 $(3, 3)$ 成分が $3$ で、階数は $2$ 。

$dim E_{2} = 3 - 2 = 1$ 。代数的重複度の $2$ に足りないので、対角化できない。

問題 8 と形は似ているが、 $0$ の入り方が違うだけで結論が変わる。

問題 10

$P^{2} = P$ を満たす行列は対角化できることを示し、次で確かめよ。

$P = \frac{1}{2} (1111)$

$T^{2} - T$ が $P$ を消すので、最小多項式は $T$ 、 $T - 1$ 、 $T (T - 1)$ のいずれか。どれも重根を持たない^[2]。

最小多項式が重根を持たなければ対角化できるので、射影はつねに対角化できる。

この $P$ で確かめる。

$P^{2} = \frac{1}{4} (2222) = P$

固有値は $1$ と $0$ で相異なるので、対角化できる。

問題 11

$N \neq = O$ かつ $N^{2} = O$ の行列は対角化できないことを示せ。

最小多項式は $T$ か $T^{2}$ 。 $N \neq = O$ なので $T$ ではなく、 $T^{2}$ になる。 $0$ が重根である。

具体例で見る。 $N$ の $(1, 2)$ 成分だけが $1$ の $2$ 次行列なら、固有値は $0$ の重解。

$N = (0010)$

$N - 0 \cdot I = N$ の階数は $1$ なので $dim E_{0} = 1$ 。 $2$ に届かず、対角化できない。

零行列でないべき零行列は、どれも対角化できない。対角化できれば $0$ だけの対角行列になり、 $N = O$ になってしまうためである。

問題 12

次が対角化できる $a$ の値を求めよ。

$L = (10 a 1)$

固有値は $1$ の重解。 $L - I$ は $(1, 2)$ 成分だけが $a$ の行列である。

$a \neq = 0$ なら階数が $1$ で $dim E_{1} = 1$ 、足りないので対角化できない。

$a = 0$ なら $L = I$ で階数 $0$ 、 $dim E_{1} = 2$ となり対角化できる。答えは $a = 0$ だけ。

問題 13

$M = (31 - 1 1)$

固有多項式は $λ^{2} - 4 λ + 4 = (λ - 2)^{2}$ 。 $λ = 2$ の重解である。

$M - 2 I$ は両方の行が $(1, - 1)$ で階数 $1$ 。 $dim E_{2} = 2 - 1 = 1$ で足りない。

対角化できない。三角行列でなくても、重解のときは同じ手順で判定できる。

重解がない

その時点で対角化できる。階数を計算する必要がない

重解がある

固有値ごとに階数を出し、 $n - rank$ を代数的重複度と比べる

固有多項式を解く

重解のある固有値だけを選ぶ

階数から固有空間の次元を出して比べる

つまずきやすいところ

重解があると自動的に対角化できないと思う。問題 5 や問題 8 のように、できる場合があります。

rank

をそのまま次元だと思う。

dim E_{λ} = n - rank (A - λ I)

です。

重複のない固有値まで階数を計算する。重解のあるものだけ確かめれば足ります。

実数の範囲で根がないときに「対角化できない」で止める。複素数まで広げると結論が変わります。

対称行列でも重複度を数え始める。実対称なら、その時点で対角化できると決まります。

すべての固有値で一致することを確かめない。1 つでも足りなければ対角化できません。

$4$ 次正方行列で、固有値が $2$ （代数的重複度 $3$ ）と $7$ です。 $rank (A - 2 I) = 1$ のとき、対角化できますか。

できる
できない
これだけでは決まらない

__RESULT__

$dim E_{2} = 4 - 1 = 3$ で、代数的重複度と一致します。 $λ = 7$ は重複がないので $dim E_{7} = 1$ 。固有ベクトルが $3 + 1 = 4$ 本そろい、対角化できます。

判定の入口も確かめる。

$5$ 次正方行列が相異なる $5$ つの実固有値をもちます。階数の計算は必要ですか。

必要
不要
固有ベクトルを書き下す必要がある

__RESULT__

異なる固有値の固有ベクトルは一次独立なので、 $5$ 本そろうことが自動で保証されます。重解がある固有値についてだけ、階数から次元を出して確かめます。

重解を見つけたら階数を 1 回。それだけで判定が終わる。実対称や相異なる固有値のときは、計算に入る前に結論が出る。

出典

Sergei Treil. *Linear Algebra Done Wrong*, Chapter 4. Brown University.

Keith Conrad. *The Minimal Polynomial and Some Applications*. University of Connecticut.

Peter Haïssinsky. *Diagonalisation des endomorphismes et des matrices*. Université Paul Sabatier.

重解がなければ、そこで判定は終わります。あるときだけ $\dim E_\lambda = n - \operatorname{rank}(A - \lambda I)$ を計算して、代数的重複度に届くかを見る。固有ベクトルを書き下す必要はありません。13 問で、$2$ 次と $3$ 次の判定、$0$ の入り方だけが違って結論が分かれる例、実対称なら数える前に決まること、回転行列のように体を広げると変わる場合を扱いました。$P^2 = P$ の射影がつねに対角化でき、零行列でないべき零行列はどれもできない理由、$a$ の値で結論が変わる問題も入れています。