その行列は対角化できる？重複度をそろえる判定練習

重解がなければ、その時点で対角化できる。重解があるときだけ、階数を 1 回計算して確かめる^[1]。

$$\dim E_{\lambda }=n-\mathrm{rank}(A-\lambda I)$$

この値が代数的重複度に届けば合格。1 つでも足りなければ対角化できない^[3]。

以下 13 問。$2$ 次から $3$ 次まで、文字を含む場合、体を広げると結論が変わる場合まで並べた。

判定の順序

固有多項式を解いて固有値を出す。重解がなければそこで終わり、あるものだけ階数を見る。

固有ベクトルを書き下す必要はない。掃き出して段の数を数えるだけで、次元が決まる。

問題 1

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$$

固有値は $3$ の重解。代数的重複度は $2$ である。

$A-3I$ の第 1 行が $(0,1)$、第 2 行が $(0,0)$ で階数は $1$。よって $\dim E_3=2-1=1$。

$1<2$ で足りないので、対角化できない。

問題 2

$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

すでに対角行列である。固有値 $1$ の重複度は $2$、$B-I=O$ で階数 $0$ なので $\dim E_1=2$。

一致するので対角化できる。$P=I$ をとればよい。

問題 3

$$C=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

固有多項式は ${\lambda }^2-5\lambda -2$。判別式は $25+8=33>0$ で、相異なる $2$ つの実固有値をもつ。

異なる固有値の固有ベクトルは自動的に一次独立なので、階数を計算するまでもなく対角化できる^[2]。

問題 4

$$D=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$

固有多項式は ${\lambda }^2+1$。実数の範囲に根がない。

実数の範囲では固有ベクトルが $1$ 本もないので、対角化できない。回転なので、向きの変わらない方向がないというのが理由である。

複素数まで広げると固有値は $\pm i$ で、相異なる $2$ つ。${\mathbb{C}}^2$ では対角化できる。

どちらの体で考えているかで結論が変わる例である^[3]。

問題 5

$$E=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

対角行列なので対角化できる。固有値 $2$ の重複度は $2$、$E-2I$ の階数は $1$ なので $\dim E_2=3-1=2$ で一致する。

問題 6

$$F=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

固有値は $1$ の $3$ 重解。$F-I$ は右上に $1$ が $2$ つ並ぶ形で、階数は $2$。

$\dim E_1=3-2=1$ で、$3$ に届かない。対角化できない。

これはジョルダン細胞そのもので、固有値 $1$ の $3$ 次の細胞 $1$ 個からなる。

問題 7

$$G=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

実対称行列である。この時点で対角化できると分かる^[1]。

実対称なら固有値がすべて実数で、直交行列で対角化できることが保証されている。重複度を数える必要がない。

実際に計算すると固有値は $3$ と $1$、固有ベクトルは $(1,1)$ と $(1,-1)$ で直交している。

問題 8

$$H=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

上三角なので固有値は $1,2,2$。$\lambda =2$ の代数的重複度は $2$ である。

$H-2I$ を書くと第 1 行が $(-1,1,1)$、他は $0$ で階数は $1$。$\dim E_2=3-1=2$。

一致するので対角化できる。$\lambda =1$ は重複がないので確かめなくてよい。

問題 9

$$K=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 2& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right)$$

固有値は $2,2,5$。$K-2I$ は $(2,1)$ 成分が $1$、$(3,3)$ 成分が $3$ で、階数は $2$。

$\dim E_2=3-2=1$。代数的重複度の $2$ に足りないので、対角化できない。

問題 8 と形は似ているが、$0$ の入り方が違うだけで結論が変わる。

問題 10

$P^2=P$ を満たす行列は対角化できることを示し、次で確かめよ。

$$P=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

$T^2-T$ が $P$ を消すので、最小多項式は $T$、$T-1$、$T(T-1)$ のいずれか。どれも重根を持たない^[2]。

最小多項式が重根を持たなければ対角化できるので、射影はつねに対角化できる。

この $P$ で確かめる。

$$P^2=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)=P$$

固有値は $1$ と $0$ で相異なるので、対角化できる。

問題 11

$N\ne O$ かつ $N^2=O$ の行列は対角化できないことを示せ。

最小多項式は $T$ か $T^2$。$N\ne O$ なので $T$ ではなく、$T^2$ になる。$0$ が重根である。

具体例で見る。$N$ の $(1,2)$ 成分だけが $1$ の $2$ 次行列なら、固有値は $0$ の重解。

$$N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$

$N-0\cdot I=N$ の階数は $1$ なので $\dim E_0=1$。$2$ に届かず、対角化できない。

零行列でないべき零行列は、どれも対角化できない。対角化できれば $0$ だけの対角行列になり、$N=O$ になってしまうためである。

問題 12

次が対角化できる $a$ の値を求めよ。

$$L=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)$$

固有値は $1$ の重解。$L-I$ は $(1,2)$ 成分だけが $a$ の行列である。

$a\ne 0$ なら階数が $1$ で $\dim E_1=1$、足りないので対角化できない。

$a=0$ なら $L=I$ で階数 $0$、$\dim E_1=2$ となり対角化できる。答えは $a=0$ だけ。

問題 13

$$M=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

固有多項式は ${\lambda }^2-4\lambda +4=(\lambda -2{)}^2$。$\lambda =2$ の重解である。

$M-2I$ は両方の行が $(1,-1)$ で階数 $1$。$\dim E_2=2-1=1$ で足りない。

対角化できない。三角行列でなくても、重解のときは同じ手順で判定できる。

つまずきやすいところ

判定の入口も確かめる。

重解を見つけたら階数を 1 回。それだけで判定が終わる。実対称や相異なる固有値のときは、計算に入る前に結論が出る。

出典