複素数の相等条件は、1 つの等式を実部と虚部の 2 本に割る

$a$、$b$、$c$、$d$ をすべて実数とします。このとき 2 つの複素数が等しいことは、実部と虚部がそれぞれ等しいことと同じ。

$$a+bi=c+di⟺a=c\text{かつ}b=d$$

複素数の等式が 1 本あれば、実数の等式が 2 本手に入る。

実部と虚部を別々に比べてよい理由

差をとると $(a-c)+(b-d)i=0$ になります。ここで、実数 $p$、$q$ について $p+qi=0$ なら $p=q=0$ しかない、という 1 行が芯になる。

$q\ne 0$ と仮定すると、$qi=-p$ の両辺を $q$ で割って次の形になります。

$$i=-\frac{p}{q}$$

右辺は実数どうしの割り算だから実数。$i$ が実数になってしまい、$i^2=-1$ と食い違います。だから $q=0$ で、$p+0i=0$ から $p=0$ も決まる。

実数という断りが外れると通らない

$a$ から $d$ が実数でなければ、この見分け方は使えません。$a=i$、$b=0$、$c=0$、$d=1$ とおいてみます。

$$i+0\cdot i=i,0+1\cdot i=i$$

左辺も右辺も $i$ で等しいのに、$a=i$ と $c=0$ は違う。$a+bi$ という書き方をした時点で $a$ と $b$ が実数だと約束している、というところが効いています。

問題文の「$x$、$y$ は実数とする」は飾りではなく、この約束を置いている一文。

例：$(1+i)z=3-i$ を満たす $z$

$z=x+yi$（$x$、$y$ は実数）とおいて左辺を展開します。

$$\begin{array}{rl}(1+i)(x+yi)& =x+yi+xi+y{i}^2\\ & =(x-y)+(x+y)i\end{array}$$

右辺の $3-i$ と、実部どうし虚部どうしを比べる。

$$x-y=3,x+y=-1$$

足すと $2x=2$ で $x=1$、引くと $2y=-4$ で $y=-2$。$z=1-2i$ になります。

もとの式に入れると $(1+i)(1-2i)=1-2i+i-2i^2=3-i$。合っています。

例：$(2+i)x+(1-3i)y=4+5i$

$x$、$y$ は実数とします。左辺を実部と虚部に整理する。

$$(2x+y)+(x-3y)i=4+5i$$

実部と虚部を比べて連立方程式にします。

$$2x+y=4,x-3y=5$$

1 本目を $y=4-2x$ として 2 本目へ入れると $x-12+6x=5$、つまり $7x=17$。$x=\frac{17}{7}$、$y=-\frac{6}{7}$ と決まる。

例：$(x+yi)(1+2i)=5$

右辺は実数なので、虚部が $0$ の複素数と見ます。左辺を展開する。

$$(x-2y)+(2x+y)i=5+0i$$

実部から $x-2y=5$、虚部から $2x+y=0$。2 本目より $y=-2x$ で、1 本目へ入れると $x+4x=5$。$x=1$、$y=-2$ になります。

$z=1-2i$ で、$(1-2i)(1+2i)=1+4=5$。虚部が消えました。

実数になる条件と純虚数になる条件

相等条件を $b=0$ や $a=0$ の側から使うと、その複素数の種類が決まる。

$z=(x^2-4)+(x-2)i$ が純虚数になる $x$ を求めるなら、$x^2-4=0$ かつ $x-2\ne 0$。前者から $x=\pm 2$、後者が $x=2$ を弾くため $x=-2$ だけが残ります。

実部の条件だけで $x=2$ も答えにすると、$z=0$ になって純虚数から外れる。$b\ne 0$ を確かめる手間が、ここで効いてきます。

例：$x^3+(x-3)i=8+yi$

$x$、$y$ は実数とします。実部から $x^3=8$ で、実数の範囲では $x=2$ ただ 1 つ。

$$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)=0$$

$x^2+2x+4=(x+1{)}^2+3$ は正のままで、実数解は $x=2$ に限られる。虚部へ $x=2$ を入れて $y=2-3=-1$。

例：$z^2=3+4i$ を満たす $z$

$z=x+yi$（$x$、$y$ は実数）とおき、左辺を展開します。

$$z^2=(x+yi{)}^2=x^2-y^2+2xyi$$

実部と虚部を比べて 2 本の式にする。

$$x^2-y^2=3,2xy=4$$

2 本目から $xy=2$ で、$x=0$ なら左辺が $0$ になってしまうため $x\ne 0$。$y=\frac{2}{x}$ を 1 本目へ入れます。

$$\begin{array}{rl}{x}^2-\frac{4}{x^2}& =3\\ x^4-3x^2-4& =0\\ (x^2-4)(x^2+1)& =0\end{array}$$

$x$ は実数なので $x^2+1$ は正のまま。残るのは $x^2=4$ で、$x=2$ または $x=-2$。

$x=2$ なら $y=1$、$x=-2$ なら $y=-1$。答えは $z=2+i$ と $z=-2-i$ の 2 つ。

$$(2+i{)}^2=4+4i+i^2=3+4i$$

$x^2+1=0$ を捨てられたのは $x$ が実数だと決めてあったから。実部と虚部に置きかえた瞬間から、そこは実数の問題になっています。

複素数の等式は、実部と虚部という 2 本の実数の等式にほどける。未知数が 1 つでも、置きかえた先では実数の連立を解いています。