複素数の相等条件

2つの複素数 $z_{1} = a + bi$ と $z_{2} = c + d i$ （ $a, b, c, d$ は実数）が等しいための条件は、実部と虚部がそれぞれ等しいことである。

$z_{1} = z_{2} ⟺ a = c かつ b = d$

これは複素数の相等条件と呼ばれ、複素数を含む方程式を解く際の基本となる。

応用例

$z = x + y i$ （ $x, y$ は実数）が $(1 + i) z = 3 - i$ を満たすとき、 $x, y$ を求める。

$(1 + i) (x + y i)$ を展開すると、

$(1 + i) (x + y i) = x + y i + x i + y i^{2} = (x - y) + (x + y) i$

これが $3 - i$ に等しいので、相等条件より

$x - y = 3, x + y = - 1$

連立方程式を解くと $x = 1$ 、 $y = - 2$ となる。

複素数 $z = a + bi$ について、

$z$ が実数	$b = 0$ （虚部が0）
$z$ が純虚数	$a = 0$ かつ $b \neq = 0$ （実部が0で虚部が0でない）

これらも相等条件の特殊ケースとして理解できる。 $z = \overset{z}{ˉ}$ なら実数、 $z = - \overset{z}{ˉ}$ （ $z \neq = 0$ ）なら純虚数となる。