行列の対角化の計算練習

固有値は $\lambda =5,2$。対応する固有ベクトルは $v_1=(2,1{)}^T$、$v_2=(1,-1{)}^T$。

$P=<!--787a1029c9504a58a90d7e7f92172009_0-->$ とおくと、$P^{-1}=\frac{1}{-3}<!--787a1029c9504a58a90d7e7f92172009_1-->=<!--787a1029c9504a58a90d7e7f92172009_2-->$。

$P^{-1}AP=<!--787a1029c9504a58a90d7e7f92172009_0-->$、$P=<!--787a1029c9504a58a90d7e7f92172009_1-->$

$\det (\lambda I-B)={\lambda }^2-2\lambda -3=(\lambda -3)(\lambda +1)=0$ より $\lambda =3,-1$。

$\lambda =3$: $(3I-B)x=0$ より $x_1=x_2$。$v_1=(1,1{)}^T$。

$\lambda =-1$: $x_1+x_2=0$。$v_2=(1,-1{)}^T$。

$P^{-1}BP=<!--787a1029c9504a58a90d7e7f92172009_0-->$、$P=<!--787a1029c9504a58a90d7e7f92172009_1-->$

ブロック対角構造に注目する。$\lambda =3$ と、右下 $2\times 2$ ブロックの固有値 $\lambda =3,1$ が固有値。

$\lambda =3$: $(1,0,0{)}^T$ と $(0,1,1{)}^T$。$\lambda =1$: $(0,1,-1{)}^T$。

$P^{-1}CP=<!--787a1029c9504a58a90d7e7f92172009_0-->$、$P=<!--787a1029c9504a58a90d7e7f92172009_1-->$

$\det (\lambda I-D)=(\lambda -2{)}^2=0$ より $\lambda =2$（二重根）。

$(2I-D)x=0$ を解くと $<!--787a1029c9504a58a90d7e7f92172009_0-->x=0$ より $x_2=0$。固有空間は1次元で、一次独立な固有ベクトルが2本取れない。

対角化不可能

$\det (\lambda I-E)={\lambda }^2-4\lambda +3=(\lambda -3)(\lambda -1)=0$ より $\lambda =3,1$。

$\lambda =3$: $v_1=(1,1{)}^T$、正規化して $e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1{)}^T$。

$\lambda =1$: $v_2=(1,-1{)}^T$、正規化して $e_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1{)}^T$。

$Q^{T}EQ=<!--787a1029c9504a58a90d7e7f92172009_0-->$、$Q=\frac{1}{\sqrt{2}}<!--787a1029c9504a58a90d7e7f92172009_1-->$