複素数の四則演算（加減乗除）

複素数 $z_{1} = a + bi$ と $z_{2} = c + d i$ （ $a, b, c, d$ は実数）に対して、四則演算は次のように定義される。

加法と減法

実部どうし、虚部どうしを計算する。

$z_{1} + z_{2} = (a + c) + (b + d) i$

$z_{1} - z_{2} = (a - c) + (b - d) i$

乗法

$i^{2} = - 1$ を用いて展開する。

$z_{1} z_{2} = (a + bi) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i$

除法

分母の共役複素数を分母・分子に掛けて、分母を実数化する。

$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{a + bi}{c + d i} = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{( c + d i ) ( c - d i )} = \frac{( a c + b d ) + ( b c - a d ) i}{c ^{2} + d ^{2}}$

分母 $(c + d i) (c - d i) = c^{2} + d^{2}$ は実数になる。これを整理すると、

$\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{a c + b d}{c ^{2} + d ^{2}} + \frac{b c - a d}{c ^{2} + d ^{2}} i$

となる。

計算例

$z_{1} = 3 + 2 i$ 、 $z_{2} = 1 - i$ のとき、

$z_{1} + z_{2}$	$(3 + 1) + (2 - 1) i = 4 + i$
$z_{1} - z_{2}$	$(3 - 1) + (2 + 1) i = 2 + 3 i$
$z_{1} z_{2}$	$(3 + 2 i) (1 - i) = 3 - 3 i + 2 i - 2 i^{2} = 5 - i$
$z_{1} / z_{2}$	$\frac{( 3 + 2 i ) ( 1 + i )}{( 1 - i ) ( 1 + i )} = \frac{1 + 5 i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$