i を文字として展開し、最後に -1 に書きかえる（複素数の四則計算）

$i$ を文字と同じように扱って展開し、 $i^{2}$ を $- 1$ に書きかえる。複素数の四則は、この 2 段だけで通ります。

足し算と引き算

実部どうし、虚部どうしをまとめる。

$(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$

$(a + bi) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i$

$i$ を文字と見れば、 $2 x + 3$ と $5 x - 1$ を足すのと変わりません。

$(3 + 2 i) + (1 - 5 i) = 4 - 3 i$

かけ算

そのまま展開し、 $i^{2}$ を含む項だけを実部へ移す。

$(a + bi) (c + d i) = a c + a d i + b c i + b d i^{2} = (a c - b d) + (a d + b c) i$

$b d i^{2}$ が $- b d$ に変わるところで、虚部にいた項が実部へ移る。

例： $(3 + 2 i) (1 - i)$

$(3 + 2 i) (1 - i) = 3 - 3 i + 2 i - 2 i^{2} = 3 - 3 i + 2 i + 2 = 5 - i$

$- 2 i^{2}$ が $+ 2$ に変わるため、実部は $3$ ではなく $5$ になります。

割り算は分母を実数にしてから

分母に $i$ が残っていると、実部と虚部に分けられません。分母の虚部の符号を変えた数をかけると、分母から $i$ が消える。

$(c + d i) (c - d i) = c^{2} - (d i)^{2} = c^{2} + d^{2}$

$c^{2} + d^{2}$ は実数で、 $c$ と $d$ が同時に $0$ でなければ正の数。

$\frac{a + bi}{c + d i} = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{c ^{2} + d ^{2}} = \frac{a c + b d}{c ^{2} + d ^{2}} + \frac{b c - a d}{c ^{2} + d ^{2}} i$

符号を変えた数をかける理由

$(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ に $x = c$ 、 $y = d i$ をあてると、 $c^{2} - d^{2} i^{2} = c^{2} + d^{2}$ になります。和と差の積が $2$ 乗の差になる形を、そのまま使っている。

符号をそろえて $(c + d i) (c + d i)$ とすると $c^{2} - d^{2} + 2 c d i$ で、 $i$ が残る。符号を変えるところが効いています。

例： $\frac{2 + 3 i}{1 + 2 i}$

分母と分子に $1 - 2 i$ をかけます。

$\frac{2 + 3 i}{1 + 2 i} = \frac{( 2 + 3 i ) ( 1 - 2 i )}{( 1 + 2 i ) ( 1 - 2 i )} = \frac{2 - 4 i + 3 i - 6 i ^{2}}{1 + 4} = \frac{8 - i}{5}$

答えは $\frac{8}{5} - \frac{1}{5} i$ 。実部と虚部に分けた形まで書きます。

検算は割った数をかけ戻す

答えに $1 + 2 i$ をかけて、もとの数に戻るかを見る。

$(\frac{8}{5} - \frac{1}{5} i) (1 + 2 i) = \frac{8}{5} + \frac{16}{5} i - \frac{1}{5} i - \frac{2}{5} i^{2} = \frac{8}{5} + \frac{2}{5} + 3 i = 2 + 3 i$

$- \frac{2}{5} i^{2}$ が $+ \frac{2}{5}$ になり、実部が $2$ にそろいました。虚部は $\frac{16}{5} - \frac{1}{5} = 3$ 。

$(2 + i) (3 - 2 i)$ はどれですか。

$6 - 2 i$
$8 - i$
$4 - i$

__RESULT__

展開すると $6 - 4 i + 3 i - 2 i^{2}$ です。 $- 2 i^{2}$ が $+ 2$ になるため実部は $6 + 2 = 8$ 、虚部は $- 4 + 3 = - 1$ になります。 $i^{2}$ をそのまま $i$ の項として残すと $6 - 2 i$ のような形になります。

4 つを並べる

$3 + 2 i$ と $1 - i$ で、四則をひととおり計算した結果。

$(3 + 2 i) + (1 - i)$	$4 + i$
$(3 + 2 i) - (1 - i)$	$2 + 3 i$
$(3 + 2 i) (1 - i)$	$5 - i$
$\frac{3 + 2 i}{1 - i}$	$\frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$

割り算だけは分母と分子に $1 + i$ をかけ、 $\frac{( 3 + 2 i ) ( 1 + i )}{2} = \frac{1 + 5 i}{2}$ としてから分けています。

実数のときの規則がそのまま通る

交換法則、結合法則、分配法則は複素数でも成り立ちます。だから展開の手つきを新しく組み直す場所がない。

$0$ を足しても変わらず、 $1$ をかけても変わらない。 $z \neq = 0$ なら $\frac{1}{z}$ が必ずあり、 $z \times \frac{1}{z} = 1$ となる。

通らないのは大小だけで、複素数のあいだに不等号は置けません。

例： $(1 + i)^{2}$ から先を短くする

2 乗すると実部が消えて、虚部だけが残る。

$(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i$

$(1 + i)^{2} = 2 i$ なので、 $(1 + i)^{4} = (2 i)^{2} = 4 i^{2} = - 4$ 、 $(1 + i)^{8} = (- 4)^{2} = 16$ 。8 乗で実数に戻ります。

$(1 - i)^{2} = 1 - 2 i + i^{2} = - 2 i$ も同じ形で、違いは符号だけ。

$\frac{1}{i}$ を $a + bi$ の形にするとどれですか。

$i$
$- i$
$1$

__RESULT__

分母と分子に $i$ をかけると $\frac{i}{i ^{2}} = \frac{i}{- 1} = - i$ です。分母の $i$ をそのまま約分して $i$ とすると、 $i^{2} = - 1$ のぶんの符号が抜けます。

展開して $i^{2}$ を $- 1$ に書きかえる、割り算のときだけ分母の虚部の符号を変えた数をかける。この 2 つで四則はすべて通ります。

$i$ を $x$ のような文字と見て展開し、$i^2$ を $-1$ に書きかえる。足し算と引き算は実部どうし虚部どうしで、かけ算は展開してから $i^2$ の項を実部へ移します。割り算は分母に $i$ が残ると実部と虚部に分けられないため、虚部の符号を変えた数をかけて分母を $c^2 + d^2$ にする。和と差の積が $2$ 乗の差になる形をそのまま使っています。$(1+i)^2 = 2i$ を足がかりにした累乗の短縮、答えに割った数をかけ戻す検算まで。