ジョルダン標準形を求める練習……細胞の大きさはどう決まるか

細胞の個数は $\dim \ker (A-\lambda I)$、つまり $n-\mathrm{rank}(A-\lambda I)$ で決まります^[1]。

いちばん大きい細胞のサイズは、最小多項式に現れる $(T-\lambda )$ の指数と一致します^[1]。

個数と最大サイズが分かれば、たいていの場合は組み合わせが 1 通りに決まる。決まらないときだけ、$(A-\lambda I{)}^2$ の階数まで見ます。

以下 12 問。$2$ 次から $4$ 次まで、細胞の分け方が割れる場合と、変換行列 $P$ を作る手順まで扱います。

数え方の道具

固有値 $\lambda$ について、$r_k=\mathrm{rank}(A-\lambda I{)}^k$ と置きます。$r_0=n$ です。

サイズが $k$ 以上の細胞の個数は、階差で出ます^[2]。

$$(\text{サイズ}\ge k\text{ の細胞の個数})=r_{k-1}-r_k$$

$k=1$ とすれば $n-r_1$ で、細胞の総数になります。$k$ を上げていくと、大きい細胞だけが残っていく。

問題 1

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$$

固有値は $2$ の重解。$A-2I$ の階数は $1$ なので、細胞の個数は $2-1=1$。

$1$ 個でサイズの合計が $2$ なので、$2$ 次の細胞 $1$ 個です。$A$ 自身がすでにジョルダン標準形になっています。

問題 2

$$B=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 0& 3& 1\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

固有値は $3$ の $3$ 重解。$B-3I$ の階数は $2$ で、細胞の個数は $3-2=1$。

合計が $3$ なので $3$ 次の細胞 $1$ 個。これも $B$ 自身が標準形です。

問題 3

$$C=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

$C-2I$ は $(2,3)$ 成分だけが $1$ で、階数は $1$。細胞の個数は $3-1=2$ です。

$2$ 個で合計 $3$ なので、$2$ 次と $1$ 次に分かれます。並べ替えれば $C$ 自身が標準形です。

問題 4

$$D=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 2\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

上三角なので固有値は $5,1,1$。$\lambda =5$ は重複がないので $1$ 次の細胞 $1$ 個です。

$\lambda =1$ を見ます。$D-I$ の第 1 行が $(4,4,2)$、第 2 行が $(0,0,-1)$、第 3 行が $0$ で階数は $2$。

細胞の個数は $3-2=1$。代数的重複度が $2$ なので、$2$ 次の細胞 $1$ 個です。

$$J=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

問題 5

$4$ 次で固有値 $\lambda$ の代数的重複度が $4$、$\mathrm{rank}(A-\lambda I)=2$ とします。分け方を絞ってください。

細胞の個数は $4-2=2$。合計が $4$ なので、$2+2$ か $3+1$ のどちらかです。

ここで止まります。個数だけでは決まりません。

問題 6

問題 5 で $\mathrm{rank}(A-\lambda I{)}^2=0$ のとき、分け方を決めてください。

$N=A-\lambda I$ と置きます。$2+2$ なら $N^2=O$、$3+1$ なら $3$ 次の細胞が $1$ 段だけ残ります^[3]。

階差の式で確かめます。サイズ $\ge 2$ の細胞の個数は $r_1-r_2=2-0=2$。

$2$ 個とも $2$ 以上なので、$2+2$ に決まります。$3+1$ なら $1$ 次の細胞があり、$2$ 個にはなりません。

$\mathrm{rank}(A-\lambda I{)}^2=1$ なら $r_1-r_2=1$ で、サイズ $\ge 2$ が $1$ 個。残り $1$ 個は $1$ 次なので $3+1$ です。

問題 7

${\chi }_A(T)=(T-2{)}^4$、$m_A(T)=(T-2{)}^2$、$\dim E_2=3$ のとき、分け方を求めてください。

最小多項式の指数が $2$ なので、いちばん大きい細胞は $2$ 次です^[1]。

$\dim E_2=3$ なので細胞は $3$ 個。合計が $4$ で、最大が $2$、個数が $3$。

$2+1+1$ に決まります。$2+2$ では個数が $2$ になり、合いません。

問題 8

$$E=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 3\end{array}\right)$$

固有多項式は ${\lambda }^2-4\lambda +4=(\lambda -2{)}^2$。固有値は $2$ の重解です。

$E-2I$ は両方の行が $(-1,1)$ で階数 $1$。細胞は $2-1=1$ 個で、$2$ 次の細胞 $1$ 個です。

$$J=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$$

三角行列でなくても、手順は変わりません。

問題 9

問題 8 の $E$ について、$P^{-1}EP=J$ となる $P$ を求めてください。

まず固有ベクトル。$(E-2I)v=0$ より $-v_1+v_2=0$ で、$v=(1,1)$ をとります。

次に一般化固有ベクトル。$(E-2I)w=v$ を解きます。$-w_1+w_2=1$ なので、$w=(0,1)$ でよい。

$P$ は $v$、$w$ をこの順に列へ並べます。順番を逆にすると $1$ が左下に来てしまいます。

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right),P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)$$

確かめます。$EP$ を計算すると $(1,1)$ 成分が $2$、$(1,2)$ 成分が $1$、第 2 行が $(2,3)$。そこへ $P^{-1}$ を左から掛けると $J$ が出ます。

問題 10

$$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

固有値は $0$ の $3$ 重解。$N$ の階数は $2$ なので細胞は $3-2=1$ 個で、$3$ 次の細胞です。

$N^2$ の階数は $1$、$N^3=O$ で階数 $0$。$r$ が $2,1,0$ と $1$ ずつ落ちるのが、$3$ 次の細胞 $1$ 個の形です。

べき零行列のジョルダン標準形は、対角がすべて $0$ になります。

問題 11

$$F=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 7\end{array}\right)$$

対角行列です。$F-4I$ の階数は $1$ なので、$\lambda =4$ の細胞は $3-1=2$ 個。

合計が $2$ で個数が $2$ なので、$1+1$。$\lambda =7$ も $1$ 次です。

細胞が全部 $1$ 次のとき、ジョルダン標準形は対角行列になります。対角化できる場合がこれにあたります。

問題 12

$5$ 次で固有値 $\lambda$ の代数的重複度が $5$、$r_1=3$、$r_2=1$、$r_3=0$ のとき、分け方を求めてください。

階差をとります。サイズ $\ge 1$ が $5-3=2$ 個、$\ge 2$ が $3-1=2$ 個、$\ge 3$ が $1-0=1$ 個。

サイズ $\ge 4$ は $0-0=0$ 個です。

ちょうど $3$ 次が $1$ 個、ちょうど $2$ 次が $2-1=1$ 個。合計は $3+2=5$ で合います。

$$J=J_3(\lambda )\oplus J_2(\lambda )$$

階差の列を最後まで並べると、分け方が一意に決まります。

分け方が割れる場合も確かめます。

個数を数え、最大サイズを見て、必要なら階数の列を伸ばす。この 3 段で、ジョルダン標準形の形はすべて決まります。

出典