ジョルダン標準形を求める練習

ジョルダン標準形は、対角化できない行列に対しても定義できる標準形である。固有値の重複度と固有空間の次元を調べて構成する。

問題1

次の行列のジョルダン標準形を求めよ。

$A = (2012)$

解答

固有値は $λ = 2$ （二重根）。 $(2 I - A) = 0$ のランクは 1 なので、固有空間の次元は $2 - 1 = 1$ 。

対角化できないので、ジョルダン細胞が1つ（サイズ2）。

答え

$J = 0$ （ $A$ 自身がジョルダン標準形）

次の行列のジョルダン標準形を求めよ。

$B = 300130013$

解答

固有値は $λ = 3$ （三重根）。 $(3 I - B)$ のランクは 2 なので固有空間の次元は 1。サイズ 3 のジョルダン細胞が1つ。

答え

$J = 0$ （ $B$ 自身がジョルダン標準形）

次の行列のジョルダン標準形を求めよ。

$C = 200020012$

解答

固有値は $λ = 2$ （三重根）。 $(2 I - C) = 0$ のランクは 1 なので固有空間の次元は 2。

サイズ 2 のジョルダン細胞が1つ、サイズ 1 のジョルダン細胞が1つ。

答え

$J = 0$ （ $C$ 自身がジョルダン標準形）

次の行列のジョルダン標準形を求めよ。

$D = 500410 2 - 1 1$

解答

上三角行列なので固有値は対角成分 $λ = 5, 1, 1$ 。

$λ = 1$ について $(I - D) = 0$ のランクは 2 なので固有空間の次元は 1。サイズ 2 のジョルダン細胞。

$λ = 5$ についてはサイズ 1。

答え

$J = 0$

次の行列のジョルダン標準形を求めよ。

$E = 0000100000000010$

解答

固有値は $λ = 0$ （四重根）。 $E$ のランクは 2 なので固有空間の次元は $4 - 2 = 2$ 。 $E^{2} = O$ なので、各ジョルダン細胞のサイズは最大 2。

2つのサイズ 2 のジョルダン細胞がある。

答え

$J = 0$ （ $E$ 自身がジョルダン標準形）