局所連結空間 空間全体の連結性とは別に、各点の「近く」で連結性が成り立つかという局所的な性質を考えることができます。これが局所連...

位相空間を連結な部分に分解する方法として、連結成分と弧状連結成分があります。両者は似ていますが、性質に違いがあります。 連結成分...

連結性には「分離できない」という意味の連結と、「道で結べる」という意味の弧状連結があります。この2つは密接に関係しますが、一般に...

位相空間が「一つながり」であるかどうかを表す概念が連結性です。連結性は位相的性質であり、同相写像で保たれます。 連結空間の定義 ...

Tietzeの拡張定理は、正規空間の閉部分集合上で定義された連続関数を空間全体に拡張できることを主張します。Urysohnの補題...

Urysohnの補題は正規空間において閉集合を連続関数で分離できることを主張する定理です。位相空間論と関数解析の橋渡しとなる重要...

T0、T1、T2（ハウスドルフ）に続く分離公理として、正則空間と正規空間があります。これらは点と閉集合、あるいは閉集合どうしの分...

位相空間において、異なる点をどの程度「分離」できるかを表す公理を分離公理といいます。T0とT1は最も基本的な分離公理です。 T0...

位相空間における「点の周り」を捉える概念が近傍です。開集合を使わずに位相を特徴づける方法として、近傍系による公理化があります。 ...

位相空間を定義するとき、開集合系をすべて直接指定するのは煩雑です。基底や準基底を用いると、少ない情報から位相を効率的に生成できま...

位相空間 $(X, \mathcal{O})$ において、部分集合がどれだけ「広がっているか」を表す概念として稠密集合と疎集合が...

逆関数定理と陰関数定理は、多変数の微分法における基本的な存在定理です。非線型方程式を局所的に解くことを保証します。 逆関数定理 ...

重積分は多変数関数の積分であり、面積や体積の計算に使われます。 二重積分の定義 有界閉領域 $D \subset \mathbb...

偏微分は多変数関数の各変数についての微分であり、全微分は多変数関数の線型近似を与えます。 偏微分の定義 $f(x, y)$ を2...

一様収束は関数列の収束の強い形式であり、極限操作と積分・微分の順序交換を正当化する上で重要です。 各点収束の復習 関数列 $\{...

べき級数は多項式の自然な拡張であり、関数を無限次の多項式として表現する方法です。 べき級数の定義 $a$ を中心とするべき級数と...

級数は無限個の数の和であり、その収束・発散の判定は解析学の基本的なテーマです。 級数の収束 数列 $\{a_n\}$ に対し、部...

積分の計算では、置換積分と部分積分という二つの基本テクニックを使いこなすことが重要です。 置換積分 $x = g(t)$ という...

広義積分は、積分区間が無限であったり被積分関数が発散する点をもつ場合に、積分の概念を拡張したものです。 無限区間での広義積分 $...

微分積分学の基本定理は、微分と積分が互いに逆の操作であることを示す定理です。この定理により、積分の計算が原始関数を求める問題に帰...

リーマン積分は「面積」の概念を厳密に定義したものであり、区間を細かく分割して長方形の面積の和の極限をとります。 分割とリーマン和...

逆関数の微分は、元の関数の微分と逆数の関係にあります。この関係を使って、対数関数や逆三角関数の導関数を求めることができます。 逆...

テイラー展開は関数を多項式で近似する方法であり、マクローリン展開は $x = 0$ のまわりでの展開です。 テイラーの定理 $f...

平均値の定理は微分法の基本定理であり、関数の大域的な振る舞いと局所的な微分係数を結びつけます。 ロルの定理 平均値の定理の特別な...