点列による収束の概念は距離空間や第一可算空間では十分ですが、一般の位相空間では不十分です。フィルターとネットはより一般的な収束の...

距離空間における一様連続の概念を一般化するのが一様空間です。一様空間では距離なしに「一様な近さ」を定義できます。 一様連続の復習...

連続写像全体の集合に位相を入れて関数空間を作ることができます。コンパクト開位相は最も標準的な位相の一つです。 関数空間の動機 位...

商空間は、空間の点を同一視して新しい空間を作る操作です。トーラスやメビウスの帯など、多くの重要な空間が商空間として構成されます。...

同相写像は位相空間の構造を完全に保つ写像であり、位相空間論における「同じ」の概念を与えます。同相写像で保たれる性質を位相的性質と...

距離化可能性の条件 位相空間が距離空間として実現できるかどうかを問うのが距離化可能性の問題です。Urysohnの距離化定理が基本...

縮小写像の原理は、完備距離空間上の縮小写像が一意の不動点を持つことを主張します。微分方程式の解の存在と一意性の証明など、解析学で...

Baireのカテゴリー定理は、完備距離空間や局所コンパクトハウスドルフ空間が「大きい」ことを主張します。関数解析の基礎となる重要...

Tychonoffの定理はコンパクト空間の任意個の直積がコンパクトであることを主張します。選択公理と同値であり、位相空間論の最も...

一点コンパクト化が最小のコンパクト化であるのに対し、Stone-Čechコンパクト化は最大のコンパクト化です。関数解析や集合論で...

コンパクト化と一点コンパクト化 非コンパクト空間をコンパクト空間に埋め込む操作をコンパクト化といいます。最も基本的なコンパクト化...

コンパクト性の変種として、可算個のコンパクト集合で覆える空間や、任意の開被覆が可算部分被覆を持つ空間があります。 σ-コンパクト...

コンパクト性の局所版として、各点がコンパクトな近傍を持つ空間を考えます。局所コンパクト空間は解析学や表現論で重要な役割を果たしま...

局所連結空間 空間全体の連結性とは別に、各点の「近く」で連結性が成り立つかという局所的な性質を考えることができます。これが局所連...

位相空間を連結な部分に分解する方法として、連結成分と弧状連結成分があります。両者は似ていますが、性質に違いがあります。 連結成分...

連結性には「分離できない」という意味の連結と、「道で結べる」という意味の弧状連結があります。この2つは密接に関係しますが、一般に...

位相空間が「一つながり」であるかどうかを表す概念が連結性です。連結性は位相的性質であり、同相写像で保たれます。 連結空間の定義 ...

Tietzeの拡張定理は、正規空間の閉部分集合上で定義された連続関数を空間全体に拡張できることを主張します。Urysohnの補題...

Urysohnの補題は正規空間において閉集合を連続関数で分離できることを主張する定理です。位相空間論と関数解析の橋渡しとなる重要...

T0、T1、T2（ハウスドルフ）に続く分離公理として、正則空間と正規空間があります。これらは点と閉集合、あるいは閉集合どうしの分...

位相空間において、異なる点をどの程度「分離」できるかを表す公理を分離公理といいます。T0とT1は最も基本的な分離公理です。 T0...

位相空間における「点の周り」を捉える概念が近傍です。開集合を使わずに位相を特徴づける方法として、近傍系による公理化があります。 ...

位相空間を定義するとき、開集合系をすべて直接指定するのは煩雑です。基底や準基底を用いると、少ない情報から位相を効率的に生成できま...

重積分は多変数関数の積分であり、面積や体積の計算に使われます。 二重積分の定義 有界閉領域 $D \subset \mathbb...