重積分

重積分は多変数関数の積分であり、面積や体積の計算に使われます。

二重積分の定義

有界閉領域 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上の有界関数 $f(x,y)$ の二重積分は、リーマン積分の拡張として定義されます。

$D$ を小さな長方形に分割し、各長方形での $f$ の値と面積の積の和をとり、分割を細かくしたときの極限が二重積分です。

$${\iint }_{D}f(x,y)dA$$

$dA=dxdy$ は面積要素です。

累次積分（フビニの定理）

長方形領域 $D=[a,b]\times [c,d]$ 上では、二重積分を繰り返し積分として計算できます。

$${\iint }_{D}f(x,y)dA={\int }_a^b\left({\int }_c^{d}f(x,y)dy\right)dx={\int }_c^d\left({\int }_a^{b}f(x,y)dx\right)dy$$

積分の順序を入れ替えても結果は同じです（フビニの定理）。

一般の領域での積分

$D$ が $a\le x\le b$, $g(x)\le y\le h(x)$ で表される領域のとき

$${\iint }_{D}f(x,y)dA={\int }_a^b\left({\int }_{g(x)}^{h(x)}f(x,y)dy\right)dx$$

極座標への変換

$x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$ と変換すると、面積要素は $dA=rdrd\theta$ に変わります。

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\cdot rdrd\theta$$

円や円環領域では極座標が便利です。

例：円板上の積分

$D=\{(x,y):x^2+y^2\le R^2\}$ 上で ${\iint }_D(x^2+y^2)dA$ を計算します。

$${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^R{r}^2\cdot rdrd\theta ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^R{r}^{3}dr=2\pi \cdot \frac{R^4}{4}=\frac{\pi R^4}{2}$$

変数変換（ヤコビアン）

一般の変数変換 $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$ では

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv$$

ヤコビアンは

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\det \left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right)$$

です。極座標のヤコビアンは $r$ です。

三重積分

3変数関数 $f(x,y,z)$ の三重積分は

$${\iiint }_{E}f(x,y,z)dV$$

と書きます。$dV=dxdydz$ は体積要素です。

球座標 $(r,\theta ,\varphi )$ では $dV=r^2\sin \varphi drd\theta d\varphi$、円柱座標 $(r,\theta ,z)$ では $dV=rdrd\theta dz$ となります。

例：球の体積

半径 $R$ の球 $x^2+y^2+z^2\le R^2$ の体積は

$$\iiint dV={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^R{r}^2\sin \varphi drd\varphi d\theta =2\pi \cdot 2\cdot \frac{R^3}{3}=\frac{4\pi R^3}{3}$$