重積分は多変数関数の積分であり、面積や体積の計算に使われます。
二重積分の定義
有界閉領域 D⊂R2 上の有界関数 f(x,y) の二重積分は、リーマン積分の拡張として定義されます。
D を小さな長方形に分割し、各長方形での f の値と面積の積の和をとり、分割を細かくしたときの極限が二重積分です。
∬Df(x,y)dA
dA=dxdy は面積要素です。
累次積分（フビニの定理）
長方形領域 D=[a,b]×[c,d] 上では、二重積分を繰り返し積分として計算できます。
∬Df(x,y)dA=∫ab(∫cdf(x,y)dy)dx=∫cd(∫abf(x,y)dx)dy
積分の順序を入れ替えても結果は同じです（フビニの定理）。
一般の領域での積分
D が a≤x≤b, g(x)≤y≤h(x) で表される領域のとき
∬Df(x,y)dA=∫ab(∫g(x)h(x)f(x,y)dy)dx
極座標への変換
x=rcosθ, y=rsinθ と変換すると、面積要素は dA=rdrdθ に変わります。
∬Df(x,y)dxdy=∬D′f(rcosθ,rsinθ)⋅rdrdθ
円や円環領域では極座標が便利です。
例：円板上の積分
D={(x,y):x2+y2≤R2} 上で ∬D(x2+y2)dA を計算します。
∫02π∫0Rr2⋅rdrdθ=∫02πdθ∫0Rr3dr=2π⋅4R4=2πR4
変数変換（ヤコビアン）
一般の変数変換 x=x(u,v), y=y(u,v) では
∬Df(x,y)dxdy=∬D′f(x(u,v),y(u,v))∂(u,v)∂(x,y)dudv
ヤコビアンは
∂(u,v)∂(x,y)=det(∂u∂x∂u∂y∂v∂x∂v∂y)
です。極座標のヤコビアンは r です。
三重積分
3変数関数 f(x,y,z) の三重積分は
∭Ef(x,y,z)dV
と書きます。dV=dxdydz は体積要素です。
球座標 (r,θ,ϕ) では dV=r2sinϕdrdθdϕ、円柱座標 (r,θ,z) では dV=rdrdθdz となります。
例：球の体積
半径 R の球 x2+y2+z2≤R2 の体積は
∭dV=∫02π∫0π∫0Rr2sinϕdrdϕdθ=2π⋅2⋅3R3=34πR3
