重積分とは｜定義・フビニの定理・ヤコビアン・応用

重積分は多変数関数の積分で、面積や体積、質量や確率といった「領域全体に広がった量」を測るための道具です。

1 変数の積分が区間の上の面積を測ったのに対し、重積分は平面や空間の領域の上で量を足し上げます。計算の実務は、累次積分に直すことと、変数変換で領域を扱いやすくすることの 2 つに尽きます。

以下では定義から始め、フビニの定理と積分順序の交換、変数変換とヤコビアン、三重積分と球座標までを扱います。計算例は 1 つずつ節を分け、要になる主張には証明を付けます。

直観：柱を足し上げる

領域 $D$ を小さな長方形に切り、それぞれの上に高さ $f (x, y)$ の柱を立てます。

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柱 1 本の体積は「底面積 × 高さ」です。これを全部足すと、曲面 $z = f (x, y)$ の下の体積のおおよその値になります。

分割を細かくしていったときの極限が二重積分です。1 変数のリーマン積分で短冊を足し上げたのと、まったく同じ発想になります。

二重積分の定義

有界閉領域 $D \subset R^{2}$ の上の有界関数 $f$ を考えます。 $D$ を含む長方形を格子で分割し、各小長方形 $R_{ij}$ の中に点 $(ξ_{ij}, η_{ij})$ を取ります。

$S = i, j \sum f (ξ_{ij}, η_{ij}) Δ A_{ij}$

をリーマン和といいます。 $Δ A_{ij}$ は小長方形の面積です。 $D$ の外では $f$ を $0$ と定めておきます。

分割の細かさを $0$ に近づけたとき、点の取り方によらず $S$ が同じ値に収束するなら、その値を二重積分と呼びます。

$\iint_{D} f (x, y) d A$

$d A$ は面積要素で、 $d x d y$ とも書きます。1 変数の $d x$ が長さだったところが、面積に変わっただけです。

どんなときに積分できるのか

$f$ が連続なら積分できる、と覚えておけば実務では足ります。ただし領域の形にも条件が要ります。

有界関数が積分可能であることと、不連続点の集まりが面積 $0$ であることは同値です。これはルベーグの判定条件と呼ばれます。

領域 $D$ の上の積分では、 $D$ の外で $f$ を $0$ にするので、 $D$ の境界が不連続点になりえます。したがって境界が面積 $0$ であることが要ります。

円板や多角形、なめらかな曲線で囲まれた領域は、どれも境界の面積が $0$ です。ふつうに出てくる領域で困ることはまずありません。

基本の性質

1 変数のときと同じ性質が、そのまま成り立ちます。

線型性です。 $\iint_{D} (a f + b g) d A = a \iint_{D} f d A + b \iint_{D} g d A$ が成り立ちます。

領域についての加法性です。 $D$ を重なりのない $D_{1}$ と $D_{2}$ に分けたとき、積分も分かれます。

$\iint_{D} f d A = \iint_{D_{1}} f d A + \iint_{D_{2}} f d A$

単調性です。 $f \leq g$ なら $\iint_{D} f d A \leq \iint_{D} g d A$ です。とくに $f \equiv 1$ とすると、 $\iint_{D} d A$ が $D$ の面積になります。

フビニの定理

定義のままでは計算できません。1 変数の積分を 2 回繰り返す形に直すのが、実際の計算の出発点です。

$f$ が長方形 $D = [a, b] \times [c, d]$ の上で連続とする。このとき次が成り立つ。

$\iint_{D} f (x, y) d A = \int_{a}^{b} (\int_{c}^{d} f (x, y) d y) d x = \int_{c}^{d} (\int_{a}^{b} f (x, y) d x) d y$

これをフビニの定理といいます。内側の積分では、外側の変数を定数として扱います。偏微分のときと同じ構えです。

連続性は仮定として使っています。あとで見るように、この仮定を落とすと 2 つの順序で値が食い違うことがあります。

証明の筋

厳密な証明は分割の評価が要りますが、筋は素直です。

体積を 2 通りに測る、と思ってください。 $x$ を固定すると、断面の面積は $A (x) = \int_{c}^{d} f (x, y) d y$ です。

断面積を $x$ について足し上げると体積になります。これが $\int_{a}^{b} A (x) d x$ です。

$y$ を固定して同じことをすれば、もう一方の順序が出ます。どちらも同じ立体の体積なので一致する、というのが定理の中身です。

厳密には、リーマン和を $x$ 方向と $y$ 方向に括り直し、上限和と下限和の差が分割を細かくすると $0$ に行くことを見ます。連続関数が閉領域で一様連続であることが、ここで効きます。

計算例：長方形の上で

$\iint_{D} x y^{2} d A$ を $D = [0, 2] \times [1, 3]$ で計算します。内側を $y$ について実行します。

$\int_{1}^{3} x y^{2} d y = x [\frac{y ^{3}}{3}]_{1}^{3} = x \cdot \frac{27 - 1}{3} = \frac{26 x}{3}$

外側を $x$ について実行します。

$\int_{0}^{2} \frac{26 x}{3} d x = \frac{26}{3} \cdot 2 = \frac{52}{3}$

順序を変えても同じ値になります。この例のように $f (x, y) = g (x) h (y)$ と分かれる場合は、積分も 2 つの積に分かれます。

一般の領域

長方形でない領域は、縦線集合か横線集合として書き直します。

$D$ が $a \leq x \leq b$ 、 $g (x) \leq y \leq h (x)$ と表せるとき、内側を $y$ について取ります。

$\iint_{D} f (x, y) d A = \int_{a}^{b} (\int_{g (x)}^{h (x)} f (x, y) d y) d x$

内側の積分の上下端に外側の変数が入ることが要点です。 逆に外側の上下端は必ず定数になります。ここが定数でなければ、どこかで書き方を間違えています。

横線集合として書けば、 $c \leq y \leq d$ 、 $p (y) \leq x \leq q (y)$ の形になり、順序が逆になります。

計算例：三角形の上で

$D$ を $(0, 0)$ 、 $(1, 0)$ 、 $(1, 1)$ を頂点とする三角形とし、 $\iint_{D} x y d A$ を求めます。

縦線集合として書くと、 $0 \leq x \leq 1$ 、 $0 \leq y \leq x$ です。

$\int_{0}^{1} (\int_{0}^{x} x y d y) d x = \int_{0}^{1} x \cdot \frac{x ^{2}}{2} d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$

横線集合として書くと $0 \leq y \leq 1$ 、 $y \leq x \leq 1$ です。

$\int_{0}^{1} (\int_{y}^{1} x y d x) d y = \int_{0}^{1} y \cdot \frac{1 - y ^{2}}{2} d y = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{8}$

同じ値になりました。どちらで書くかは、計算が楽なほうを選びます。

計算例：放物線で囲まれた領域

$y = x^{2}$ と $y = x$ で囲まれた領域で $\iint_{D} (x + y) d A$ を求めます。

交点は $x^{2} = x$ から $x = 0, 1$ です。 $0 \leq x \leq 1$ では $x^{2} \leq x$ なので、 $x^{2} \leq y \leq x$ が領域を表します。

$\int_{0}^{1} (\int_{x^{2}}^{x} (x + y) d y) d x = \int_{0}^{1} [x y + \frac{y ^{2}}{2}]_{x^{2}}^{x} d x$

中を整理します。 $(x^{2} + \frac{x ^{2}}{2}) - (x^{3} + \frac{x ^{4}}{2}) = \frac{3 x ^{2}}{2} - x^{3} - \frac{x ^{4}}{2}$ です。

$\int_{0}^{1} (\frac{3 x ^{2}}{2} - x^{3} - \frac{x ^{4}}{2}) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{3}{20}$

領域の上下をどの曲線が担うのかを、必ず図か交点の計算で確かめてから書き始めます。

積分順序の交換

同じ領域を縦に切るか横に切るかで、内側の上下端が入れ替わります。

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<svg viewBox="0 0 700 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><line x1="80" y1="190" x2="290" y2="190" stroke="#dcdcdc" stroke-width="1"/><line x1="100" y1="205" x2="100" y2="49" stroke="#dcdcdc" stroke-width="1"/><path d="M100 190L264 69L100 69Z" fill="#a8d2f5" fill-opacity="0.5" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"/><line x1="116" y1="178" x2="116" y2="69" stroke="#e0761b" stroke-width="1.8"/><line x1="141" y1="160" x2="141" y2="69" stroke="#e0761b" stroke-width="1.8"/><line x1="165" y1="142" x2="165" y2="69" stroke="#e0761b" stroke-width="1.8"/><line x1="190" y1="123" x2="190" y2="69" stroke="#e0761b" stroke-width="1.8"/><line x1="215" y1="105" x2="215" y2="69" stroke="#e0761b" stroke-width="1.8"/><line x1="239" y1="87" x2="239" y2="69" stroke="#e0761b" stroke-width="1.8"/><text x="190" y="137" font-size="12" fill="#e0761b" text-anchor="middle">y は x から 1</text><text x="264" y="207" font-size="11" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">1</text><text x="91" y="73" font-size="11" fill="#8a8a8a" text-anchor="end">1</text><text x="185" y="30" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">先に y、あとで x</text><text x="185" y="240" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">縦に切る</text><line x1="410" y1="190" x2="620" y2="190" stroke="#dcdcdc" stroke-width="1"/><line x1="430" y1="205" x2="430" y2="49" stroke="#dcdcdc" stroke-width="1"/><path d="M430 190L594 69L430 69Z" fill="#a8d2f5" fill-opacity="0.5" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"/><line x1="430" y1="176" x2="449" y2="176" stroke="#e0761b" stroke-width="1.8"/><line x1="430" y1="157" x2="474" y2="157" stroke="#e0761b" stroke-width="1.8"/><line x1="430" y1="139" x2="499" y2="139" stroke="#e0761b" stroke-width="1.8"/><line x1="430" y1="121" x2="523" y2="121" stroke="#e0761b" stroke-width="1.8"/><line x1="430" y1="103" x2="548" y2="103" stroke="#e0761b" stroke-width="1.8"/><line x1="430" y1="84" x2="573" y2="84" stroke="#e0761b" stroke-width="1.8"/><text x="531" y="139" font-size="12" fill="#e0761b" text-anchor="middle">x は 0 から y</text><text x="594" y="207" font-size="11" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">1</text><text x="421" y="73" font-size="11" fill="#8a8a8a" text-anchor="end">1</text><text x="515" y="30" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">先に x、あとで y</text><text x="515" y="240" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">横に切る</text><text x="350" y="272" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">同じ領域でも、切る向きを変えると内側の積分の上下端が入れ替わります</text></svg>

図の領域は $0 \leq x \leq 1$ 、 $x \leq y \leq 1$ の三角形です。縦に切れば内側は $y$ が $x$ から $1$ 、横に切れば内側は $x$ が $0$ から $y$ になります。

$\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} f d y d x = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} f d x d y$

値は同じですが、計算の難しさはまったく違うことがあります。次の 2 例がそれを示します。

計算例：順序を変えると解ける

$\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y d x$ を計算します。

内側の $\int e^{y^{2}} d y$ は初等関数で書けません。このままでは手が出ません。

領域は上の三角形なので、順序を入れ替えます。

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} e^{y^{2}} d x d y = \int_{0}^{1} y e^{y^{2}} d y$

内側が定数の積分になり、 $x$ を積分した結果の $y$ が現れました。 $u = y^{2}$ と置換します。

$\int_{0}^{1} y e^{y^{2}} d y = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u} d u = \frac{e - 1}{2}$

数値でも $0.85914091$ となり、一致します。

計算例：もう 1 つの順序交換

$\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} sin (x^{3}) d x d y$ を計算します。 $sin (x^{3})$ の原始関数も初等関数で書けません。

領域は $0 \leq y \leq 1$ 、 $y \leq x \leq 1$ です。 $x = y$ は $y = x^{2}$ と同じなので、縦に切ると $0 \leq x \leq 1$ 、 $0 \leq y \leq x^{2}$ になります。

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} sin (x^{3}) d y d x = \int_{0}^{1} x^{2} sin (x^{3}) d x$

$u = x^{3}$ と置けば $d u = 3 x^{2} d x$ で、ちょうど $x^{2}$ が消えます。

$\frac{1}{3} \int_{0}^{1} sin u d u = \frac{1 - cos 1}{3} = 0.15323 \dots$

内側の積分から出てくる因子が、外側の置換の $d u$ をちょうど供給してくれる、という形が順序交換の狙いどころです。

$\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} f (x, y) d y d x$ の積分順序を入れ替えると、どうなりますか。

$\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} f d x d y$
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} f d x d y$
$\int_{x}^{1} \int_{0}^{1} f d x d y$

__RESULT__

領域は $0 \leq x \leq 1$ かつ $x \leq y \leq 1$ 、つまり $y = x$ の上側にある三角形です。横に切ると、 $y$ を固定したときの $x$ の範囲は $0$ から $y$ になります。外側の上下端が定数でない選択肢は、その時点で誤りだと見抜けます。

フビニの定理が破れる例

連続性を落とすと、2 つの順序で値が食い違うことがあります。次の関数を $[0, 1] \times [0, 1]$ で考えます。

$f (x, y) = \frac{x ^{2} - y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}$

原点で定義されておらず、そこへ近づくと激しく振れます。内側の積分を計算しましょう。

$\frac{\partial}{\partial y} (\frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}) = \frac{x ^{2} - y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}$ に気づけば、原始関数がわかります。

$\int_{0}^{1} f (x, y) d y = [\frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}]_{0}^{1} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$

外側を実行すると $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = \frac{π}{4}$ です。

一方 $f (y, x) = - f (x, y)$ という反対称性があるので、順序を入れ替えると符号が反転して $- \frac{π}{4}$ になります。

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d y d x = \frac{π}{4}, \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d x d y = - \frac{π}{4}$

矛盾ではありません。 $\iint ∣ f ∣ d A$ が発散しているので、フビニの定理の仮定をみたしていないだけです。

非負の関数については、可積分性を仮定しなくても順序交換が許されます。これをトネリの定理といいます。

値が $+ \infty$ になる場合も含めて等式が成り立つ、という形の定理です。まず絶対値でトネリを使い、有限だとわかってからフビニを使う、という順序が定石になります。

直観：面積がどう伸び縮みするか

変数変換は、扱いにくい領域を扱いやすい領域へ移す操作です。ただし面積の測り方が変わります。

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<svg viewBox="0 0 700 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><line x1="77" y1="202" x2="77" y2="60" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><line x1="77" y1="202" x2="243" y2="202" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><line x1="118" y1="202" x2="118" y2="60" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><line x1="77" y1="166" x2="243" y2="166" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><line x1="160" y1="202" x2="160" y2="60" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><line x1="77" y1="131" x2="243" y2="131" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><line x1="202" y1="202" x2="202" y2="60" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><line x1="77" y1="96" x2="243" y2="96" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><line x1="243" y1="202" x2="243" y2="60" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><line x1="77" y1="60" x2="243" y2="60" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><rect x="118" y="96" width="42" height="35" fill="#a8d2f5" fill-opacity="0.8" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"/><text x="160" y="32" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">(u, v) 平面</text><text x="139" y="117" font-size="11" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">du dv</text><path d="M418 201L420 195L423 190L426 185L428 180L431 175L434 170L436 164L439 159L442 154L444 149L447 144L450 139L452 134L455 128L458 123L460 118L463 113L465 108L468 103L471 98" fill="none" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><path d="M418 201L424 199L429 197L435 196L441 194L447 193L453 191L459 190L465 188L471 187L477 185L483 184L488 182L494 180L500 179L506 177L512 176L518 174L524 173L530 171L536 170" fill="none" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><path d="M447 193L450 188L453 183L456 177L459 172L462 167L465 162L468 157L471 152L474 146L477 141L480 136L483 131L486 126L489 121L492 116L495 110L498 105L501 100L504 95L507 90" fill="none" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><path d="M431 175L437 173L443 172L450 170L456 169L462 167L468 166L475 164L481 162L487 161L493 159L500 158L506 156L512 155L518 153L525 152L531 150L537 149L543 147L550 145L556 144" fill="none" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><path d="M477 185L480 180L483 175L487 170L490 164L493 159L497 154L500 149L504 144L507 139L510 134L514 128L517 123L520 118L524 113L527 108L530 103L534 98L537 92L541 87L544 82" fill="none" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><path d="M444 149L451 147L457 146L464 144L471 143L477 141L484 140L490 138L497 137L504 135L510 134L517 132L523 130L530 129L537 127L543 126L550 124L557 123L563 121L570 120L576 118" fill="none" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><path d="M506 177L510 172L514 167L517 162L521 157L525 152L528 146L532 141L536 136L540 131L543 126L547 121L551 116L554 110L558 105L562 100L566 95L569 90L573 85L577 79L580 74" fill="none" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><path d="M458 123L464 122L471 120L478 119L485 117L492 116L499 114L506 112L513 111L520 109L527 108L534 106L541 105L548 103L555 102L562 100L569 99L576 97L583 95L590 94L597 92" fill="none" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><path d="M536 170L540 164L544 159L548 154L552 149L556 144L560 139L564 134L568 128L572 123L576 118L580 113L584 108L589 103L593 98L597 92L601 87L605 82L609 77L613 72L617 67" fill="none" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><path d="M471 98L478 96L485 94L493 93L500 91L507 90L515 88L522 87L529 85L537 84L544 82L551 81L559 79L566 77L573 76L580 74L588 73L595 71L602 70L610 68L617 67" fill="none" stroke="#e0e0e0" stroke-width="1"/><path d="M477 141L510 134L527 108L492 116Z" fill="#f6d8bc" fill-opacity="0.9" stroke="#e0761b" stroke-width="1.5"/><text x="515" y="32" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="middle">(x, y) 平面</text><text x="491" y="117" font-size="11" fill="#b3803f" text-anchor="middle">|J| du dv</text><text x="330" y="132" font-size="22" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">&#8594;</text><text x="350" y="252" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">小さな長方形は、写像の線型近似によって平行四辺形へ移ります</text><text x="350" y="272" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">その面積比がヤコビアンの絶対値です。場所ごとに倍率が変わります</text></svg>

$(u, v)$ 平面の小さな長方形が、写像によって $(x, y)$ 平面の平行四辺形へ移ります。面積は一般に変わります。

その変化の倍率がヤコビアンです。1 変数の置換積分で $d x = \frac{d x}{d u} d u$ と補正したのと同じ役目を、面積について果たします。

変数変換の公式

$x = x (u, v)$ 、 $y = y (u, v)$ が領域 $D^{'}$ から $D$ への 1 対 1 の写像で、偏導関数が連続とします。

$\iint_{D} f (x, y) d x d y = \iint_{D^{'}} f (x (u, v), y (u, v)) \frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} d u d v$

ヤコビアンは偏導関数を並べた行列式です。

$\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} = det \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial v}$

絶対値がついていることに注意してください。行列式は向きの反転で負になりますが、面積は正だからです。

なぜヤコビアンが出るのか

写像を点のまわりで線型近似します。 $(u_{0}, v_{0})$ から $(u_{0} + d u, v_{0})$ へ動くと、像は次のベクトルだけ動きます。

$(\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}) d u$

$v$ 方向に $d v$ だけ動いたときも同じ形です。この 2 本のベクトルが張る平行四辺形が、小長方形の像の近似になります。

2 本のベクトルが張る平行四辺形の面積は、成分を並べた行列式の絶対値でした。それがそのままヤコビアンの絶対値です。

$d A = \frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} d u d v$

線型写像なら倍率はどこでも同じですが、一般の写像では場所ごとに変わります。だから積分の中に入ったまま残ります。

計算例：線型変換と楕円の面積

楕円 $E : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} \leq 1$ の面積を求めます。 $x = a u$ 、 $y = b v$ と変換しましょう。

領域は単位円板 $u^{2} + v^{2} \leq 1$ に移ります。ヤコビアンを計算します。

$\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} = det (a 0 0 b) = ab$

定数なので外へ出せます。

$\iint_{E} d A = ab \iint_{u^{2} + v^{2} \leq 1} d u d v = ab \cdot π = π ab$

$a = b = R$ とすれば円の面積 $π R^{2}$ に戻ります。 $a = 3$ 、 $b = 2$ での数値も $18.849556$ で $6 π$ と一致しました。

計算例： $u = x + y$ 、 $v = y - x$

$x + y \leq 1$ 、 $x \geq 0$ 、 $y \geq 0$ の三角形で $\iint_{D} e^{(y - x) / (y + x)} d A$ を求めます。

指数の中身をそのまま新しい変数にします。 $u = x + y$ 、 $v = y - x$ と置くと、 $x = \frac{u - v}{2}$ 、 $y = \frac{u + v}{2}$ です。

$\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} = det (1/2 1/2 - 1/2 1/2) = \frac{1}{2}$

領域は $0 \leq u \leq 1$ 、 $- u \leq v \leq u$ に移ります。 $x \geq 0$ が $v \leq u$ 、 $y \geq 0$ が $v \geq - u$ にあたります。

$\iint_{D} e^{v / u} \cdot \frac{1}{2} d v d u = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} [u e^{v / u}]_{- u}^{u} d u = \frac{e - e ^{- 1}}{2} \int_{0}^{1} u d u$

値は $\frac{e - e ^{- 1}}{4} = 0.58760 \dots$ です。数値積分でも同じ値になりました。

被積分関数の形を見て変換を決める、という発想がここでの要になります。

極座標

もっともよく使う変換です。 $x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$ と置きます。

$\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( r , θ )} = det (cos θ sin θ - r sin θ r cos θ) = r cos^{2} θ + r sin^{2} θ = r$

したがって面積要素は $d A = r d r d θ$ になります。

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<svg viewBox="0 0 700 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><path d="M170 248A52 52 0 0 0 118 196" fill="none" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"/><path d="M222 248A104 104 0 0 0 118 144" fill="none" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"/><path d="M274 248A156 156 0 0 0 118 92" fill="none" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"/><path d="M326 248A208 208 0 0 0 118 40" fill="none" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"/><line x1="118" y1="248" x2="334" y2="248" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"/><line x1="118" y1="248" x2="326" y2="192" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"/><line x1="118" y1="248" x2="305" y2="140" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"/><line x1="118" y1="248" x2="271" y2="95" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"/><line x1="118" y1="248" x2="226" y2="61" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"/><line x1="118" y1="248" x2="174" y2="40" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"/><line x1="118" y1="248" x2="118" y2="32" stroke="#e8e8e8" stroke-width="1"/><path d="M228 189L272 166A174 174 0 0 0 239 123L205 158A125 125 0 0 1 228 189Z" fill="#a8d2f5" fill-opacity="0.75" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"/><text x="266" y="210" font-size="13" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">dr</text><text x="275" y="126" font-size="13" fill="#e0761b" text-anchor="middle">r dθ</text><text x="170" y="228" font-size="12" fill="#8a8a8a">r</text><text x="380" y="118" font-size="13" fill="#1f1f1f">面積要素は dA = r dr dθ</text><text x="380" y="146" font-size="12" fill="#8a8a8a">半径方向の長さが dr、</text><text x="380" y="168" font-size="12" fill="#8a8a8a">円弧方向の長さが r dθ です。</text><text x="380" y="190" font-size="12" fill="#8a8a8a">外側へ行くほど弧が長くなるので、</text><text x="380" y="212" font-size="12" fill="#8a8a8a">r がそのまま倍率として掛かります。</text><text x="350" y="284" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">極座標のヤコビアンが r になるのは、この弧の長さの伸びが理由です</text></svg>

図で見ると、半径方向の長さは $d r$ のままですが、円弧方向の長さは $r d θ$ です。外側へ行くほど弧が長くなるので、 $r$ が倍率として掛かります。

$r$ を落とすのが、重積分でもっとも多い誤りです。円板や円環が出てきたら、まず $r$ を書く癖をつけておきます。

計算例：円板の上で

$D = {x^{2} + y^{2} \leq R^{2}}$ で $\iint_{D} (x^{2} + y^{2}) d A$ を計算します。

被積分関数は $r^{2}$ になり、領域は $0 \leq r \leq R$ 、 $0 \leq θ \leq 2 π$ という長方形に移ります。

$\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} r^{2} \cdot r d r d θ = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{R} r^{3} d r = 2 π \cdot \frac{R ^{4}}{4} = \frac{π R ^{4}}{2}$

領域が $(r, θ)$ の長方形になったので、2 つの積分が別々に分かれました。極座標の威力がいちばんはっきり出る形です。

計算例：放物面の下の体積

$z = 4 - x^{2} - y^{2}$ と $z = 0$ で囲まれる立体の体積を求めます。

$z \geq 0$ となるのは $x^{2} + y^{2} \leq 4$ 、つまり半径 $2$ の円板の上です。

$V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} (4 - r^{2}) r d r d θ = 2 π [2 r^{2} - \frac{r ^{4}}{4}]_{0}^{2} = 2 π (8 - 4) = 8 π$

$r$ を掛けたおかげで、被積分関数が $4 r - r^{3}$ という素直な多項式になりました。

計算例：ガウス積分

$\iint_{R^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})} d A$ を極座標で計算します。

$\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r d θ = 2 π \cdot \frac{1}{2} = π$

$r$ が出てくれたおかげで $u = r^{2}$ と置換でき、 $\int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r = \frac{1}{2}$ になりました。

一方この 2 重積分は、フビニの定理で $(\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x)^{2}$ に等しくなります。被積分関数が正なので、トネリの定理から順序交換が許されます。

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

1 変数では原始関数が書けない積分が、2 変数に上げると解ける。重積分がもっとも鮮やかに効く例です。

計算例：円環領域

$1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4$ で $\iint_{D} \frac{d A}{x ^{2} + y ^{2}}$ を計算します。

被積分関数は $\frac{1}{r}$ で、面積要素の $r$ とちょうど打ち消し合います。

$\int_{0}^{2 π} \int_{1}^{2} \frac{1}{r} \cdot r d r d θ = 2 π \int_{1}^{2} d r = 2 π$

原点が領域に入っていないので、 $1/ r$ の特異性は問題になりません。もし $0 \leq r \leq 1$ で積分するなら広義積分になりますが、 $r$ が打ち消すのでやはり収束します。

三重積分

空間の領域 $E$ の上でも同じように定義します。

$∭_{E} f (x, y, z) d V$

$d V = d x d y d z$ は体積要素です。 $f \equiv 1$ とすれば $E$ の体積になります。

累次積分に直すときは、内側から順に上下端を決めます。いちばん内側の上下端には残り 2 変数が、真ん中の上下端には外側の 1 変数が入り、いちばん外側は定数になります。

円柱座標

$x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$ 、 $z = z$ と置きます。極座標に $z$ をそのまま足した形です。

ヤコビアンは極座標と同じ $r$ になります。 $z$ の行と列が単位行列のように働くからです。

$d V = r d r d θ d z$

円柱や、 $z$ 軸のまわりに対称な立体で使います。

球座標

$r$ を原点からの距離、 $ϕ$ を $z$ 軸からの角（ $0$ から $π$ ）、 $θ$ を $x y$ 平面での角（ $0$ から $2 π$ ）とします。

$x = r sin ϕ cos θ, y = r sin ϕ sin θ, z = r cos ϕ$

このとき体積要素は次のようになります。

$d V = r^{2} sin ϕ d r d ϕ d θ$

球や球殻、円錐で使います。 $sin ϕ$ を落とすのが、極座標で $r$ を落とすのと並ぶ定番の誤りです。

証明：球座標のヤコビアン

行列式を計算します。各偏導関数を並べます。

$\frac{\partial ( x , y , z )}{\partial ( r , ϕ , θ )} = det sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ r cos ϕ cos θ r cos ϕ sin θ - r sin ϕ - r sin ϕ sin θ r sin ϕ cos θ 0$

第 3 行で展開します。 $(3, 1)$ 成分の余因子から $cos ϕ \cdot r^{2} sin ϕ cos ϕ$ 、 $(3, 2)$ 成分から $r sin ϕ \cdot r sin^{2} ϕ$ が出ます。

途中で $cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ が 2 回効いて、 $θ$ が消えます。

$= r^{2} sin ϕ cos^{2} ϕ + r^{2} sin^{3} ϕ = r^{2} sin ϕ (cos^{2} ϕ + sin^{2} ϕ) = r^{2} sin ϕ$

$0 \leq ϕ \leq π$ では $sin ϕ \geq 0$ なので、絶対値をつけても $r^{2} sin ϕ$ のままです。

幾何的に読むこともできます。半径方向が $d r$ 、緯度方向の弧が $r d ϕ$ 、経度方向の弧が $r sin ϕ d θ$ で、3 つの積がそのまま体積要素になります。

計算例：球の体積

半径 $R$ の球の体積を球座標で求めます。領域は $0 \leq r \leq R$ 、 $0 \leq ϕ \leq π$ 、 $0 \leq θ \leq 2 π$ です。

$V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{R} r^{2} sin ϕ d r d ϕ d θ = 2 π \cdot (\int_{0}^{π} sin ϕ d ϕ) \cdot \frac{R ^{3}}{3}$

$\int_{0}^{π} sin ϕ d ϕ = 2$ なので、次の値になります。

$V = 2 π \cdot 2 \cdot \frac{R ^{3}}{3} = \frac{4 π R ^{3}}{3}$

3 つの積分がきれいに分かれるのは、領域が $(r, ϕ, θ)$ の直方体に移ったからです。

計算例：球の慣性モーメント

密度が一様な球の、 $z$ 軸まわりの慣性モーメントを求めます。定義は $I = ∭_{E} ρ (x^{2} + y^{2}) d V$ です。

球座標では $x^{2} + y^{2} = r^{2} sin^{2} ϕ$ になります。

$∭_{E} (x^{2} + y^{2}) d V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{R} r^{4} sin^{3} ϕ d r d ϕ d θ$

$\int_{0}^{π} sin^{3} ϕ d ϕ = \frac{4}{3}$ を使います。

$= 2 π \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{R ^{5}}{5} = \frac{8 π R ^{5}}{15}$

質量は $M = ρ \cdot \frac{4 π R ^{3}}{3}$ なので、 $ρ$ を消すと見慣れた形になります。

$I = ρ \cdot \frac{8 π R ^{5}}{15} = \frac{2}{5} M R^{2}$

計算例：半球の重心

上半球 $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq R^{2}$ 、 $z \geq 0$ の重心を求めます。対称性から $x$ と $y$ の成分は $0$ です。

$z$ 成分は $\overset{z}{ˉ} = \frac{1}{V} ∭_{E} z d V$ で求まります。 $z = r cos ϕ$ を入れ、 $ϕ$ の範囲を $0$ から $\frac{π}{2}$ にします。

$∭_{E} z d V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π /2} \int_{0}^{R} r^{3} sin ϕ cos ϕ d r d ϕ d θ = 2 π \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{R ^{4}}{4} = \frac{π R ^{4}}{4}$

$\int_{0}^{π /2} sin ϕ cos ϕ d ϕ = \frac{1}{2}$ を使いました。体積は $V = \frac{2 π R ^{3}}{3}$ です。

$\overset{z}{ˉ} = \frac{π R ^{4} /4}{2 π R ^{3} /3} = \frac{3 R}{8}$

半径の $3/8$ の高さにあります。真ん中の $R /2$ より下にあるのは、下のほうが太いからです。

応用：質量と重心

密度 $ρ (x, y, z)$ が場所によって変わる場合も同じ形です。

質量は $M = ∭_{E} ρ d V$ 、重心の $x$ 成分は $\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{M} ∭_{E} x ρ d V$ になります。

平面の板なら二重積分です。面密度 $σ (x, y)$ に対して $M = \iint_{D} σ d A$ とし、同じように重心を出します。

「量 × 位置」を足し上げて全体の量で割る、という形はどの応用でも変わりません。慣性モーメントなら「量 × 距離の 2 乗」になります。

応用：確率の同時分布

2 つの確率変数の同時密度 $f (x, y)$ に対して、事象の確率が重積分で書けます。

$P ((X, Y) \in D) = \iint_{D} f (x, y) d A$

全体で積分すると $1$ になることが、密度であるための条件です。 $X$ だけの分布（周辺分布）は、 $y$ について積分して潰したものになります。

$f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x, y) d y$

ここでフビニの定理が効いています。2 変数正規分布の正規化定数に $π$ が現れるのも、前に見たガウス積分の計算そのものです。

順序を選ぶ

領域を縦横どちらに切るかで難しさが変わります。内側の積分ができない形になったら、まず順序を疑います。

変数変換を選ぶ

領域の形か被積分関数の形か、どちらかが簡単になる変換を探します。円なら極座標、直線で囲まれた領域なら線型変換です。

対称性を使う

奇関数を対称な領域で積分すれば $0$ です。重心の計算では、これで 2 成分が一瞬で片づきます。

よくある誤り

極座標で

r

を掛け忘れる。面積要素は

d A = r d r d θ

です

球座標で

sin ϕ

を落とす。体積要素は

d V = r^{2} sin ϕ d r d ϕ d θ

です

ヤコビアンの絶対値を取り忘れる。面積は負にならないので

∣ J ∣

です

外側の積分の上下端に変数を残す。いちばん外側は必ず定数になります

順序を変えるときに上下端をそのままにする。領域を描き直してから書きます

フビニの定理を仮定の確認なしに使う。絶対値の積分が有限であることが要ります

変数変換が 1 対 1 であることを確かめない。重なると同じ場所を 2 回数えます

領域の上下をどの曲線が担うか確かめない。交点を求めて大小を比べます

参考文献

APEX Calculus, Change of Variables in Multiple Integrals

Oregon State, Change of Variables for Multiple Integrals

Paul's Online Notes, Change of Variables

Math Counterexamples, Counterexamples around Fubini's theorem

LibreTexts, Change of Variables in Multiple Integrals (Jacobians)

UT Austin, Fubini's Theorem

McGill, The Riemann Integral: Lebesgue's Integrability Criterion

CSUN, Change of Variables in Multiple Integrals

領域を縦に切るか横に切るかで内側の積分の上下端が入れ替わり、計算の難しさもまるで変わる。この見極めが重積分の要になる。定義、フビニの定理とその破れる例、積分順序の交換、変数変換とヤコビアン、三重積分と球座標を計算例つきで解説する。

重積分とは｜定義・フビニの定理・ヤコビアン・応用

直観：柱を足し上げる

二重積分の定義

どんなときに積分できるのか

基本の性質

フビニの定理

証明の筋

計算例：長方形の上で

一般の領域

計算例：三角形の上で

計算例：放物線で囲まれた領域

積分順序の交換

計算例：順序を変えると解ける

計算例：もう 1 つの順序交換

フビニの定理が破れる例

直観：面積がどう伸び縮みするか

変数変換の公式

なぜヤコビアンが出るのか

計算例：線型変換と楕円の面積

計算例：u=x+y、v=y−x

極座標

計算例：円板の上で

計算例：放物面の下の体積

計算例：ガウス積分

計算例：円環領域

三重積分

円柱座標

球座標

証明：球座標のヤコビアン

計算例：球の体積

計算例：球の慣性モーメント

計算例：半球の重心

応用：質量と重心

応用：確率の同時分布

よくある誤り

参考文献

計算例： $u = x + y$ 、 $v = y - x$