偏微分と全微分

偏微分は多変数関数の各変数についての微分であり、全微分は多変数関数の線型近似を与えます。

偏微分の定義

$f(x,y)$ を2変数関数とします。$x$ についての偏微分係数は

$$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$$

で定義されます。$y$ を固定して $x$ だけを動かしたときの変化率です。同様に $y$ についての偏微分も定義します。

偏導関数を $f_x$, $\frac{\partial f}{\partial x}$, ${\partial }_{x}f$ などと書きます。

偏微分の計算

偏微分は、他の変数を定数とみなして通常の微分を行えば計算できます。

$f(x,y)=x^{2}y+y^3$ のとき

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy,\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+3y^2$$

高階偏導関数

偏導関数をさらに偏微分したものが高階偏導関数です。

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=f_{xx},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=f_{xy},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=f_{yx}$$

$f_{xy}$ と $f_{yx}$ が連続ならば $f_{xy}=f_{yx}$ が成り立ちます（シュワルツの定理）。

全微分の定義

$f$ が点 $(a,b)$ で全微分可能であるとは、次を満たす線型写像 $L:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ が存在することです。

$$f(a+h,b+k)=f(a,b)+L(h,k)+o(\sqrt{h^2+k^2})$$

このとき $L(h,k)=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)h+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)k$ であり、これを全微分といい $df$ と書きます。

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$

偏微分可能と全微分可能の違い

偏微分可能であっても全微分可能とは限りません。

$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$（$(x,y)\ne (0,0)$）、$f(0,0)=0$ とすると、$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ ですが、$f$ は原点で全微分可能ではありません（原点で連続ですらない）。

偏導関数が連続ならば全微分可能です（$C^1$ 級）。

合成関数の微分（連鎖律）

$z=f(x,y)$, $x=x(t)$, $y=y(t)$ のとき

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

より一般に、$z=f(x,y)$, $x=x(s,t)$, $y=y(s,t)$ のとき

$$\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}$$

勾配ベクトル

偏導関数を並べたベクトル $\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ を勾配といいます。

$\nabla f$ は $f$ が最も急に増加する方向を指し、その大きさは増加率の最大値です。等高線 $f=c$ に対して $\nabla f$ は直交します。

方向微分

単位ベクトル $\mathbf{u}=(u_1,u_2)$ の方向への微分は

$$D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot \mathbf{u}=\frac{\partial f}{\partial x}{u}_1+\frac{\partial f}{\partial y}{u}_2$$

で与えられます。