偏微分は多変数関数の各変数についての微分であり、全微分は多変数関数の線型近似を与えます。
偏微分の定義
を2変数関数とします。 についての偏微分係数は
で定義されます。 を固定して だけを動かしたときの変化率です。同様に についての偏微分も定義します。
偏導関数を , , などと書きます。
偏微分の計算
偏微分は、他の変数を定数とみなして通常の微分を行えば計算できます。
のとき
高階偏導関数
偏導関数をさらに偏微分したものが高階偏導関数です。
と が連続ならば が成り立ちます（シュワルツの定理）。
全微分の定義
が点 で全微分可能であるとは、次を満たす線型写像 が存在することです。
このとき であり、これを全微分といい と書きます。
偏微分可能と全微分可能の違い
偏微分可能であっても全微分可能とは限りません。
（）、 とすると、 ですが、 は原点で全微分可能ではありません（原点で連続ですらない）。
偏導関数が連続ならば全微分可能です（ 級）。
合成関数の微分（連鎖律）
, , のとき
より一般に、, , のとき
勾配ベクトル
偏導関数を並べたベクトル を勾配といいます。
は が最も急に増加する方向を指し、その大きさは増加率の最大値です。等高線 に対して は直交します。
方向微分
単位ベクトル の方向への微分は
で与えられます。
