級数の収束判定

級数は無限個の数の和であり、その収束・発散の判定は解析学の基本的なテーマです。

級数の収束

数列 ${a_{n}}$ に対し、部分和 $S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} a_{n}$ が $N \to \infty$ で有限値 $S$ に収束するとき、級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ は収束するといい、 $S$ をその和と呼びます。

収束しない級数は発散するといいます。

収束の必要条件

$\sum a_{n}$ が収束するならば $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ です。

対偶をとると、 $a_{n} \to 0$ でなければ級数は発散します。しかし $a_{n} \to 0$ であっても級数が収束するとは限りません（調和級数 $\sum \frac{1}{n}$ は発散）。

正項級数の収束判定

$a_{n} \geq 0$ の場合、部分和は単調増加なので、有界なら収束、非有界なら発散します。

比較判定法： $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ で $\sum b_{n}$ が収束 $\Rightarrow$ $\sum a_{n}$ も収束。 $0 \leq b_{n} \leq a_{n}$ で $\sum b_{n}$ が発散 $\Rightarrow$ $\sum a_{n}$ も発散。

極限比較判定法： $lim_{n \to \infty} \frac{a _{n}}{b _{n}} = c$ （ $0 < c < \infty$ ）なら、 $\sum a_{n}$ と $\sum b_{n}$ の収束・発散は一致。

比判定法（ダランベール）

$lim_{n \to \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = r$ とするとき

$r < 1$ ならば絶対収束

$r > 1$ ならば発散

$r = 1$ のときは判定できない

根判定法（コーシー）

$lim_{n \to \infty} n ∣ a_{n} ∣ = r$ とするとき

$r < 1$ ならば絶対収束

$r > 1$ ならば発散

$r = 1$ のときは判定できない

積分判定法

$f$ が $[1, \infty)$ で正値単調減少連続とするとき、 $\sum_{n = 1}^{\infty} f (n)$ と $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ の収束・発散は一致します。

例： $\sum \frac{1}{n ^{p}}$ は $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x ^{p}} d x$ と比較して、 $p > 1$ で収束、 $p \leq 1$ で発散。

交代級数判定法（ライプニッツ）

$a_{n} > 0$ , $a_{n}$ が単調減少, $a_{n} \to 0$ のとき、交代級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n + 1} a_{n}$ は収束します。

例： $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots = lo g 2$

絶対収束と条件収束

$\sum ∣ a_{n} ∣$ が収束するとき $\sum a_{n}$ は絶対収束するといいます。絶対収束すれば収束します。

$\sum a_{n}$ が収束するが $\sum ∣ a_{n} ∣$ が発散するとき、条件収束するといいます。

絶対収束する級数は項の順序を変えても同じ値に収束します。条件収束する級数は項の順序を変えると和が変わる可能性があります（リーマンの再配列定理）。

具体例

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n ^{2}} = \frac{π ^{2}}{6}$ （バーゼル問題）

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n !} = e$

$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}$ （ $∣ x ∣ < 1$ ）