リーマン積分の定義

リーマン積分は「面積」の概念を厳密に定義したものであり、区間を細かく分割して長方形の面積の和の極限をとります。

分割とリーマン和

閉区間 $[a,b]$ の分割 $P$ とは、$a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ という点の列です。分割の幅を $\Vert P\Vert ={\max }_i(x_i-x_{i-1})$ と定めます。

$f$ を $[a,b]$ 上の有界関数とします。各小区間 $[x_{i-1},x_i]$ から代表点 ${\xi }_i$ を選び、リーマン和を

$$S(f,P,\xi )=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$$

で定義します。これは長方形の面積の和です。

リーマン積分の定義

$\Vert P\Vert \to 0$ のときリーマン和が代表点の選び方によらず一つの値 $I$ に収束するならば、$f$ は $[a,b]$ でリーマン積分可能であるといい、$I$ を $f$ の $[a,b]$ 上の定積分と呼びます。

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\Vert P\Vert \to 0}{\lim }S(f,P,\xi )$$

より正確には、任意の $\epsilon >0$ に対しある $\delta >0$ が存在して、$\Vert P\Vert <\delta$ ならば代表点の選び方によらず $|S(f,P,\xi )-I|<\epsilon$ となることを要求します。

ダルブー和による特徴づけ

各小区間での上限と下限を使ったダルブー和

$$U(f,P)=\sum _{i=1}^n\underset{[x_{i-1},x_i]}{\sup }f\cdot (x_i-x_{i-1}),L(f,P)=\sum _{i=1}^n\underset{[x_{i-1},x_i]}{\inf }f\cdot (x_i-x_{i-1})$$

を定義します。$L(f,P)\le S(f,P,\xi )\le U(f,P)$ が成り立ちます。

上積分と下積分を $\overline{\int }f={\inf }_{P}U(f,P)$、$\underline{\int }f={\sup }_{P}L(f,P)$ で定義すると、$f$ がリーマン積分可能であることと $\overline{\int }f=\underline{\int }f$ は同値です。

積分可能性の条件

連続関数は積分可能です。より一般に、有界で不連続点が有限個（または測度 $0$ の集合）の関数は積分可能です。

単調関数も積分可能です。

一方、$[0,1]$ 上のディリクレ関数（有理数で $1$、無理数で $0$）は積分可能ではありません。任意の小区間に有理数と無理数が両方あるため、$U(f,P)=1$, $L(f,P)=0$ で上積分と下積分が一致しません。

積分の基本性質

$f,g$ が $[a,b]$ で積分可能、$c$ を定数とするとき

$${\int }_a^b(f+g)={\int }_a^{b}f+{\int }_a^{b}g,{\int }_a^{b}cf=c{\int }_a^{b}f$$

$f\le g$ ならば ${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$（単調性）

$\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$（三角不等式）

区間の加法性

$a<c<b$ のとき

$${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$$

また ${\int }_a^{a}f=0$ および ${\int }_b^{a}f=-{\int }_a^{b}f$ と定めます。

積分の平均値の定理

$f$ が $[a,b]$ で連続ならば、ある $c\in [a,b]$ が存在して

$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$$

が成り立ちます。