一様収束は関数列の収束の強い形式であり、極限操作と積分・微分の順序交換を正当化する上で重要です。
各点収束の復習
関数列 が関数 に各点収束するとは、各点 で が成り立つことです。
ε-N の言葉で書くと、各 と各 に対し、ある （ と に依存）が存在して、 ならば となります。
一様収束の定義
関数列 が に一様収束するとは、 が によらずにとれることです。
任意の に対し、ある が存在して、すべての と に対し となる。
同値な条件として、（）があります。
各点収束と一様収束の違い
（）を考えます。各点で
となり、 は で不連続です。収束は各点収束であり一様収束ではありません。
実際、 です。
一様収束と連続性
一様収束の重要な性質は、連続性が極限で保たれることです。
各 が連続で が一様収束ならば、 も連続。
各点収束だけではこの結論は得られません（上の例）。
一様収束と積分の交換
が 上で連続かつ一様収束するならば
極限と積分の順序を交換できます。
一様収束と微分の交換
が で微分可能で、 が各点収束、 が一様収束するならば、 は微分可能で 。
つまり が成り立ちます。
注意：一様収束だけでは微分の交換は保証されません。導関数の一様収束が必要です。
級数の一様収束
関数級数 の一様収束は、部分和の列 の一様収束として定義されます。
ワイエルシュトラスの M 判定法： かつ が収束するならば、 は一様収束かつ絶対収束。
べき級数と一様収束
べき級数 は収束半径 の内部の任意の閉区間上で一様収束します。
より正確には、 を満たす範囲で一様収束します。これにより、べき級数の項別微分・項別積分が正当化されます。
