一様収束

一様収束は関数列の収束の強い形式であり、極限操作と積分・微分の順序交換を正当化する上で重要です。

各点収束の復習

関数列 ${f_{n}}$ が関数 $f$ に各点収束するとは、各点 $x$ で $lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x)$ が成り立つことです。

ε-N の言葉で書くと、各 $x$ と各 $ε > 0$ に対し、ある $N$ （ $x$ と $ε$ に依存）が存在して、 $n \geq N$ ならば $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < ε$ となります。

関数列 ${f_{n}}$ が $f$ に一様収束するとは、 $N$ が $x$ によらずにとれることです。

任意の $ε > 0$ に対し、ある $N$ が存在して、すべての $x$ と $n \geq N$ に対し $∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ < ε$ となる。

同値な条件として、 $sup_{x} ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ \to 0$ （ $n \to \infty$ ）があります。

$f_{n} (x) = x^{n}$ （ $0 \leq x \leq 1$ ）を考えます。各点で

$n \to \infty lim x^{n} = {01 (0 \leq x < 1) (x = 1)$

となり、 $f$ は $x = 1$ で不連続です。収束は各点収束であり一様収束ではありません。

実際、 $sup_{0 \leq x \leq 1} ∣ x^{n} - f (x) ∣ = sup_{0 \leq x < 1} x^{n} = 1 \neq \to 0$ です。

一様収束の重要な性質は、連続性が極限で保たれることです。

各 $f_{n}$ が連続で $f_{n} \to f$ が一様収束ならば、 $f$ も連続。

各点収束だけではこの結論は得られません（上の例）。

$f_{n}$ が $[a, b]$ 上で連続かつ一様収束するならば

$n \to \infty lim \int_{a}^{b} f_{n} (x) d x = \int_{a}^{b} n \to \infty lim f_{n} (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$

極限と積分の順序を交換できます。

$f_{n}$ が $[a, b]$ で微分可能で、 $f_{n} \to f$ が各点収束、 $f_{n}^{'} \to g$ が一様収束するならば、 $f$ は微分可能で $f^{'} = g$ 。

つまり $lim_{n \to \infty} f_{n}^{'} = (lim_{n \to \infty} f_{n})^{'}$ が成り立ちます。

注意：一様収束だけでは微分の交換は保証されません。導関数の一様収束が必要です。

関数級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} (x)$ の一様収束は、部分和の列 $S_{N} (x) = \sum_{n = 1}^{N} u_{n} (x)$ の一様収束として定義されます。

ワイエルシュトラスの M 判定法： $∣ u_{n} (x) ∣ \leq M_{n}$ かつ $\sum M_{n}$ が収束するならば、 $\sum u_{n} (x)$ は一様収束かつ絶対収束。

べき級数 $\sum c_{n} x^{n}$ は収束半径 $R$ の内部の任意の閉区間上で一様収束します。

より正確には、 $∣ x ∣ \leq r < R$ を満たす範囲で一様収束します。これにより、べき級数の項別微分・項別積分が正当化されます。