被覆空間は基本群を計算し理解するための強力な道具です。被覆空間の分類は基本群の部分群の分類に帰着されます。 被覆空間の定義 連続...

基本群は位相空間の「穴」の構造を代数的に捉える不変量です。ここでは基本的な空間の基本群を具体的に計算します。 基本群の復習 位相...

距離空間における一様連続の概念を一般化するのが一様空間です。一様空間では距離なしに「一様な近さ」を定義できます。 連続と一様連続...

位相空間論は純粋数学だけでなく、計算機科学や機械学習でも重要な役割を果たします。ここでは応用上興味深い位相空間の例を紹介します。...

距離空間の完備化は「本質的に一意」です。ここでは一意性の正確な意味と、完備化の一意性の証明を解説します。 一意性とは何か 数学で...

稠密集合の具体例を様々な位相空間で見ていきます。特にザリスキー位相における稠密性は代数幾何学で重要な役割を果たします。 稠密集合...

商空間は空間の点を同一視して新しい空間を作る操作です。ここでは商位相の具体例を詳しく見ていきます。 区間から円周へ 最も基本的な...

パラコンパクト空間は任意の開被覆が局所有限な開細分を持つ空間です。ここではパラコンパクト空間の具体例と非例を詳しく見ていきます。...

連続写像は開集合の逆像が開集合となる写像ですが、像について同様の性質を持つとは限りません。開集合の像が開集合となる写像を開写像と...

基本群は位相空間にループの同値類から群を対応させる不変量で、代数的位相幾何学の出発点となります。 ホモトピーの直感 2つの連続写...

パラコンパクト性は被覆の細分に関する条件で、1の分割の存在と密接に関係します。多様体論や微分トポロジーで基本的な役割を果たします...

点列による収束の概念は距離空間や第一可算空間では十分ですが、一般の位相空間では不十分です。フィルターとネットはより一般的な収束の...

距離空間における一様連続の概念を一般化するのが一様空間です。一様空間では距離なしに「一様な近さ」を定義できます。 一様連続の復習...

連続写像全体の集合に位相を入れて関数空間を作ることができます。コンパクト開位相は最も標準的な位相の一つです。 関数空間の動機 位...

商空間は、空間の点を同一視して新しい空間を作る操作です。トーラスやメビウスの帯など、多くの重要な空間が商空間として構成されます。...

同相写像は位相空間の構造を完全に保つ写像であり、位相空間論における「同じ」の概念を与えます。同相写像で保たれる性質を位相的性質と...

距離化可能性の条件 位相空間が距離空間として実現できるかどうかを問うのが距離化可能性の問題です。Urysohnの距離化定理が基本...

縮小写像の原理は、完備距離空間上の縮小写像が一意の不動点を持つことを主張します。微分方程式の解の存在と一意性の証明など、解析学で...

Baireのカテゴリー定理は、完備距離空間や局所コンパクトハウスドルフ空間が「大きい」ことを主張します。関数解析の基礎となる重要...

Tychonoffの定理はコンパクト空間の任意個の直積がコンパクトであることを主張します。選択公理と同値であり、位相空間論の最も...

一点コンパクト化が最小のコンパクト化であるのに対し、Stone-Čechコンパクト化は最大のコンパクト化です。関数解析や集合論で...

コンパクト化と一点コンパクト化 非コンパクト空間をコンパクト空間に埋め込む操作をコンパクト化といいます。最も基本的なコンパクト化...

コンパクト性の変種として、可算個のコンパクト集合で覆える空間や、任意の開被覆が可算部分被覆を持つ空間があります。 σ-コンパクト...

コンパクト性の局所版として、各点がコンパクトな近傍を持つ空間を考えます。局所コンパクト空間は解析学や表現論で重要な役割を果たしま...