ベクトル束は各点にベクトル空間を付けた構造で、多様体上の幾何学の基礎となります。接束は最も重要なベクトル束の例です。 ベクトル束...

ハム・サンドイッチ定理はBorsuk-Ulamの定理の応用として有名な結果です。$n$ 個の対象を1つの超平面で同時に二等分でき...

Borsuk-Ulamの定理は球面から同次元ユークリッド空間への連続写像について、対蹠点で同じ値を取る点が存在することを主張しま...

位相空間の次元はホモロジーを用いて特徴づけられます。ホモロジーは次元を検出し、異なる次元の空間が同相でないことを示す道具となりま...

多様体の向き付け可能性は、多様体全体で「一貫した向き」を定められるかどうかを表す性質です。向き付け可能性はホモロジーやPoinc...

Poincaré双対性は、コンパクト向き付け可能多様体のホモロジーとコホモロジーの間の対称性を表す定理です。多様体の位相幾何学に...

de Rhamコホモロジーは微分形式を用いて定義されるコホモロジー理論です。滑らかな多様体に対して、微積分の道具でコホモロジーを...

カップ積はコホモロジーに環構造を与える積演算です。コホモロジー環は位相空間の重要な不変量であり、ホモロジーにはない情報を持ちます...

コホモロジーはホモロジーの双対理論です。ホモロジーが「穴を検出する」のに対し、コホモロジーは「穴を測定する関数」を扱います。 コ...

Mayer-Vietoris完全列は、空間を2つの部分空間に分解してホモロジーを計算するための強力な道具です。van Kampe...

ホモロジー群は位相空間の「穴」を代数的に捉えます。ここでは基本的な空間のホモロジー群を具体的に計算します。 球面 $S^n$ の...

基本群 $\pi_1$ はループを用いて定義されましたが、これを高次元に一般化したものが高次ホモトピー群です。$n$ 次元球面か...

ホモトピー同値は位相空間の「本質的な形」が同じであることを表す概念です。同相より弱い同値関係ですが、多くの位相的不変量を保存しま...

被覆空間は基本群を計算し理解するための強力な道具です。被覆空間の分類は基本群の部分群の分類に帰着されます。 被覆空間の定義 連続...

基本群は位相空間の「穴」の構造を代数的に捉える不変量です。ここでは基本的な空間の基本群を具体的に計算します。 基本群の復習 位相...

距離空間における一様連続の概念を一般化するのが一様空間です。一様空間では距離なしに「一様な近さ」を定義できます。 連続と一様連続...

位相空間論は純粋数学だけでなく、計算機科学や機械学習でも重要な役割を果たします。ここでは応用上興味深い位相空間の例を紹介します。...

距離空間の完備化は「本質的に一意」です。ここでは一意性の正確な意味と、完備化の一意性の証明を解説します。 一意性とは何か 数学で...

稠密集合の具体例を様々な位相空間で見ていきます。特にザリスキー位相における稠密性は代数幾何学で重要な役割を果たします。 稠密集合...

商空間は空間の点を同一視して新しい空間を作る操作です。ここでは商位相の具体例を詳しく見ていきます。 区間から円周へ 最も基本的な...

パラコンパクト空間は任意の開被覆が局所有限な開細分を持つ空間です。ここではパラコンパクト空間の具体例と非例を詳しく見ていきます。...

連続写像は開集合の逆像が開集合となる写像ですが、像について同様の性質を持つとは限りません。開集合の像が開集合となる写像を開写像と...

基本群は位相空間にループの同値類から群を対応させる不変量で、代数的位相幾何学の出発点となります。 ホモトピーの直感 2つの連続写...

パラコンパクト性は被覆の細分に関する条件で、1の分割の存在と密接に関係します。多様体論や微分トポロジーで基本的な役割を果たします...