テイラー展開は関数を多項式で近似する方法であり、マクローリン展開は のまわりでの展開です。
テイラーの定理
が を含む区間で 回微分可能とします。このとき
と書けます。右辺の和をテイラー多項式、 を剰余項といいます。
剰余項の表示にはいくつかの形があります。ラグランジュの剰余項は
（ は と の間のある点）です。
マクローリン展開
のときのテイラー展開をマクローリン展開といいます。
基本的な関数のマクローリン展開
テイラー展開の導出例
のマクローリン展開を導出します。 とすると なので です。よって
剰余項は であり、 で となるので、等式は無限級数として成立します。
テイラー展開の収束
テイラー多項式が で に収束するかは、剰余項が に収束するかで決まります。
解析的な関数（収束するべき級数で表せる関数）ではテイラー展開が収束しますが、一般の滑らかな関数ではテイラー展開が収束するとは限りません。
例として、（）、 は無限回微分可能で （すべての ）ですが、（）なのでマクローリン展開 は に収束しません。
近似としての応用
テイラー展開は関数の近似計算に使われます。 が小さいとき
（1次近似）
（1次近似）
（2次近似）
などが成り立ち、物理学や工学で広く使われます。
