テイラー展開とマクローリン展開

テイラー展開は関数を多項式で近似する方法であり、マクローリン展開は $x=0$ のまわりでの展開です。

テイラーの定理

$f$ が $a$ を含む区間で $n+1$ 回微分可能とします。このとき

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+R_n(x)$$

と書けます。右辺の和をテイラー多項式、$R_n(x)$ を剰余項といいます。

剰余項の表示にはいくつかの形があります。ラグランジュの剰余項は

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$$

（$c$ は $a$ と $x$ の間のある点）です。

マクローリン展開

$a=0$ のときのテイラー展開をマクローリン展開といいます。

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k+R_n(x)$$

基本的な関数のマクローリン展開

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots ={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots ={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots ={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$

$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots ={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n(|x|<1)$

$\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots ={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}(|x|<1)$

テイラー展開の導出例

$e^x$ のマクローリン展開を導出します。$f(x)=e^x$ とすると $f^{(n)}(x)=e^x$ なので $f^{(n)}(0)=1$ です。よって

$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$$

剰余項は $R_n(x)=\frac{e^c}{(n+1)!}{x}^{n+1}$ であり、$n\to \infty$ で $R_n(x)\to 0$ となるので、等式は無限級数として成立します。

テイラー展開の収束

テイラー多項式が $n\to \infty$ で $f(x)$ に収束するかは、剰余項が $0$ に収束するかで決まります。

解析的な関数（収束するべき級数で表せる関数）ではテイラー展開が収束しますが、一般の滑らかな関数ではテイラー展開が収束するとは限りません。

例として、$f(x)=e^{-1/x^2}$（$x\ne 0$）、$f(0)=0$ は無限回微分可能で $f^{(n)}(0)=0$（すべての $n$）ですが、$f(x)\ne 0$（$x\ne 0$）なのでマクローリン展開 ${\sum }_{n=0}^{\infty }0\cdot x^n=0$ は $f$ に収束しません。

近似としての応用

テイラー展開は関数の近似計算に使われます。$x$ が小さいとき

$e^x\approx 1+x$（1次近似）

$\sin x\approx x$（1次近似）

$\cos x\approx 1-\frac{x^2}{2}$（2次近似）

などが成り立ち、物理学や工学で広く使われます。