広義積分

広義積分は、積分区間が無限であったり被積分関数が発散する点をもつ場合に、積分の概念を拡張したものです。

無限区間での広義積分

$f$ が $[a,\infty )$ で連続とします。広義積分 ${\int }_a^{\infty }f(x)dx$ を

$${\int }_a^{\infty }f(x)dx=\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_a^{R}f(x)dx$$

で定義します。この極限が有限値として存在するとき、広義積分は収束するといいます。

同様に ${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx={\lim }_{R\to -\infty }{\int }_R^{b}f(x)dx$ と定義します。

${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx$ については、ある点 $c$ で分割して

$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{c}f(x)dx+{\int }_c^{\infty }f(x)dx$$

とし、両方が収束するとき全体が収束すると定めます。

例：${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx$

$p>1$ のとき

$${\int }_1^R\frac{1}{x^p}dx={\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]}_1^R=\frac{R^{1-p}-1}{1-p}\to \frac{1}{p-1}(R\to \infty )$$

よって収束します。

$p\le 1$ のとき、${\int }_1^R\frac{1}{x^p}dx\to \infty$ となり発散します。

非有界関数の広義積分

$f$ が $(a,b]$ で連続だが $x\to a+$ で発散する場合、

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\epsilon \to 0+}{\lim }{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)dx$$

と定義します。

例：${\int }_0^1\frac{1}{x^p}dx$

$p<1$ のとき

$${\int }_{\epsilon }^1\frac{1}{x^p}dx={\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]}_{\epsilon }^1=\frac{1-{\epsilon }^{1-p}}{1-p}\to \frac{1}{1-p}(\epsilon \to 0+)$$

よって収束します。

$p\ge 1$ のとき発散します。

収束判定法

広義積分の収束判定には、比較判定法がよく使われます。

$0\le f(x)\le g(x)$ かつ ${\int }_a^{\infty }g(x)dx$ が収束 $\Rightarrow$ ${\int }_a^{\infty }f(x)dx$ も収束

$0\le g(x)\le f(x)$ かつ ${\int }_a^{\infty }g(x)dx$ が発散 $\Rightarrow$ ${\int }_a^{\infty }f(x)dx$ も発散

絶対収束と条件収束

${\int }_a^{\infty }|f(x)|dx$ が収束するとき、${\int }_a^{\infty }f(x)dx$ は絶対収束するといいます。絶対収束すれば収束します。

${\int }_a^{\infty }f(x)dx$ が収束するが ${\int }_a^{\infty }|f(x)|dx$ が発散するとき、条件収束するといいます。

例として ${\int }_1^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ は条件収束します。

ガウス積分

重要な広義積分として

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$

があります。確率論や統計学で正規分布を扱う際に現れます。

ガンマ関数

広義積分を使って定義される重要な関数にガンマ関数があります。

$$\Gamma (s)={\int }_0^{\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx(s>0)$$

$\Gamma (n+1)=n!$（$n$ が非負整数のとき）を満たし、階乗の実数への拡張を与えます。