広義積分とは｜定義・収束判定・計算例と証明

広義積分は、積分区間が無限に伸びていたり、被積分関数が端で発散したりする場合に、極限を通して積分を定める方法です。

有限の区間で有界な関数を積分する、というリーマン積分の枠からはみ出す状況を、いったん枠の中で計算してから極限を取ることで扱います。

以下では定義の取り方から始め、 $x^{- p}$ を軸にした計算例を数多く並べ、収束判定法、絶対収束と条件収束、そしてガウス積分とガンマ関数までを扱います。要になる主張には証明を付けます。

直観：裾に溜まる面積が有限か

$y = 1/ x$ と $y = 1/ x^{2}$ を $x \geq 1$ で見ると、どちらも右へ行くほど $0$ に近づきます。グラフだけを見ていると区別がつきません。

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<svg viewBox="0 0 700 300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><line x1="50" y1="183" x2="316" y2="183" stroke="#dcdcdc" stroke-width="1"/><path d="M56 53L58 63L61 71L64 78L67 84L70 90L72 95L75 99L78 103L81 107L83 110L86 113L89 116L92 119L95 121L97 123L100 126L103 127L106 129L108 131L111 133L114 134L117 135L120 137L122 138L125 139L128 140L131 141L133 143L136 144L139 144L142 145L145 146L147 147L150 148L153 149L156 149L158 150L161 151L164 151L167 152L170 152L172 153L175 154L178 154L181 155L183 155L186 156L189 156L192 156L195 157L197 157L200 158L203 158L206 158L208 159L211 159L214 159L217 160L220 160L222 160L225 161L228 161L231 161L233 162L236 162L239 162L242 162L245 163L247 163L250 163L253 163L256 164L258 164L261 164L264 164L267 165L270 165L272 165L275 165L278 165L281 166L283 166L286 166L289 166L292 166L295 167L297 167L300 167L303 167L306 167L306 183L56 183Z" fill="#f6d8bc" fill-opacity="0.55" stroke="none"/><path d="M56 53L58 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分かれるのは、溜まった面積のほうです。 $\int_{1}^{R} \frac{d x}{x ^{2}} = 1 - \frac{1}{R}$ は $1$ で頭打ちになり、 $\int_{1}^{R} \frac{d x}{x} = ln R$ はいくらでも増えていきます。

$0$ へ落ちるかどうかではなく、どれだけ速く落ちるかが分かれ目です。広義積分の議論は、この速さを測ることに尽きます。

無限区間での広義積分

$f$ が $[a, \infty)$ で連続とします。まず有限の区間で積分してから、右端を飛ばします。

$\int_{a}^{\infty} f (x) d x = R \to \infty lim \int_{a}^{R} f (x) d x$

この極限が有限の値として存在するとき、広義積分は収束するといいます。存在しないときは発散するといいます。

左側が無限のときも同じです。

$\int_{- \infty}^{b} f (x) d x = R \to - \infty lim \int_{R}^{b} f (x) d x$

非有界関数の広義積分

$f$ が $(a, b]$ で連続で、 $x \to a +$ で発散する場合を考えます。今度は左端を避けて積分してから、端へ寄せます。

$\int_{a}^{b} f (x) d x = ε \to + 0 lim \int_{a + ε}^{b} f (x) d x$

右端が特異点なら、 $\int_{a}^{b - ε}$ の極限を取ります。どちらも「避けてから寄せる」という同じ作りです。

区間が無限であることと、関数が非有界であることは、形の上では違いますが扱いは同じです。特異点を避けた有限の積分を作り、極限を取ります。

特異点が複数あるとき

特異点が 2 つ以上あるときは、区間を分けてそれぞれで収束を要求します。1 つでも発散すれば全体が発散です。

$\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x$ なら、適当な $c$ で切ります。

$\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = \int_{- \infty}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{\infty} f (x) d x$

両方が収束するときに全体が収束すると定めます。値は $c$ の取り方によりません。区間を移した分が両側で打ち消し合うからです。

大事なのは、2 つの極限を独立に取ることです。 連動させると別の量になってしまいます。次の節で見ます。

コーシーの主値との違い

$\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x}$ を考えます。原点が特異点なので、左右に分けて別々に極限を取ります。

$ε \to + 0 lim \int_{- 1}^{- ε} \frac{d x}{x} = ε \to + 0 lim ln ε = - \infty$

右側も $+ \infty$ に発散するので、広義積分としては発散です。

ところが $ε$ を左右で同じに取ると、対称性から中身がいつも $0$ になります。

$ε \to + 0 lim (\int_{- 1}^{- ε} \frac{d x}{x} + \int_{ε}^{1} \frac{d x}{x}) = 0$

この値をコーシーの主値といいます。左右の発散が同じ速さなので、そろえて詰めれば打ち消し合うわけです。

広義積分

左右の極限を独立に取る。片方でも発散すれば全体が発散

コーシーの主値

左右を同じ速さで詰める。発散するものにも値がつくことがある

主値が存在しても広義積分が収束するとはかぎりません。 $\int_{- \infty}^{\infty} x d x$ も主値は $0$ ですが、広義積分としては発散します。

計算例：内部の特異点を見落とすと符号が合わなくなる

$\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}}$ を、原点の特異点に気づかずに計算してみます。

$[- \frac{1}{x}]_{- 1}^{1} = - 1 - 1 = - 2$

被積分関数は正なのに、答えが負になりました。原点で不連続な関数に、微積分の基本定理をそのまま当てたのが誤りです。

正しくは $0$ で分けます。 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{2}} = lim_{ε \to + 0} (\frac{1}{ε} - 1) = + \infty$ なので、この広義積分は発散します。

積分区間の内部に特異点がないか、計算を始める前に確かめる習慣が要ります。

計算例： $\int_{1}^{\infty} x^{- p} d x$

もっとも基本になる例です。 $p \neq = 1$ のとき原始関数は $\frac{x ^{1 - p}}{1 - p}$ です。

$\int_{1}^{R} \frac{d x}{x ^{p}} = \frac{R ^{1 - p} - 1}{1 - p}$

$p > 1$ なら $1 - p < 0$ なので $R^{1 - p} \to 0$ となり、極限は $\frac{1}{p - 1}$ です。収束します。

$p < 1$ なら $R^{1 - p} \to \infty$ で発散します。 $p = 1$ のときは $\int_{1}^{R} \frac{d x}{x} = ln R \to \infty$ でやはり発散です。

まとめると、 $p > 1$ で収束、 $p \leq 1$ で発散になります。

計算例： $\int_{0}^{1} x^{- p} d x$

同じ関数を原点側で見ます。 $p \neq = 1$ として、 $ε$ から $1$ まで積分します。

$\int_{ε}^{1} \frac{d x}{x ^{p}} = \frac{1 - ε ^{1 - p}}{1 - p}$

$p < 1$ なら $1 - p > 0$ なので $ε^{1 - p} \to 0$ となり、極限は $\frac{1}{1 - p}$ です。収束します。

$p > 1$ なら $ε^{1 - p} \to \infty$ で発散します。 $p = 1$ では $- ln ε \to \infty$ でやはり発散です。

まとめると、 $p < 1$ で収束、 $p \geq 1$ で発散になります。

2 つの収束域は入れ替わる

前の 2 つの結果を並べると、条件がちょうど逆になっています。

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<svg viewBox="0 0 700 260" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" style="max-width:100%;height:auto;display:block;margin:0 auto"><text x="110" y="83" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="end">1 から ∞ まで</text><line x1="129" y1="78" x2="571" y2="78" stroke="#dcdcdc" stroke-width="1"/><line x1="324" y1="78" x2="563" y2="78" stroke="#1b81e0" stroke-width="6"/><line x1="137" y1="78" x2="324" y2="78" stroke="#e5b48a" stroke-width="6"/><circle cx="324" cy="78" r="5" fill="#ffffff" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1.8"/><text x="324" y="102" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">p = 1</text><text x="444" y="64" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">収束</text><text x="222" y="64" font-size="12" fill="#b3803f" text-anchor="middle">発散</text><text x="110" y="173" font-size="13" fill="#1f1f1f" text-anchor="end">0 から 1 まで</text><line x1="129" y1="168" x2="571" y2="168" stroke="#dcdcdc" stroke-width="1"/><line x1="137" y1="168" x2="324" y2="168" stroke="#1b81e0" stroke-width="6"/><line x1="324" y1="168" x2="563" y2="168" stroke="#e5b48a" stroke-width="6"/><circle cx="324" cy="168" r="5" fill="#ffffff" stroke="#8a8a8a" stroke-width="1.8"/><text x="324" y="192" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">p = 1</text><text x="222" y="154" font-size="12" fill="#1b81e0" text-anchor="middle">収束</text><text x="444" y="154" font-size="12" fill="#b3803f" text-anchor="middle">発散</text><text x="350" y="34" font-size="13" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">同じ x のマイナス p 乗でも、無限側と原点側で収束域が入れ替わります</text><text x="350" y="222" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">p = 1 はどちらも発散する境目です。両方が収束する p はありません</text></svg>

無限側では速く落ちてほしいので $p$ が大きいほうが有利、原点側では発散が緩やかであってほしいので $p$ が小さいほうが有利、という違いです。

その結果、 $\int_{0}^{\infty} x^{- p} d x$ はどの $p$ でも発散します。原点側と無限側の両方をみたす $p$ が存在しないからです。

判定するときは、どちらの端で困っているのかを先に見分けるのが要になります。

計算例：対数がつくと境目がずれる

$\int_{2}^{\infty} \frac{d x}{x ( ln x ) ^{p}}$ を考えます。 $1/ x$ の部分だけ見れば $p$ の値によらず発散しそうですが、 $ln$ が効きます。

$u = ln x$ と置換します。 $d u = \frac{d x}{x}$ なので、そっくり形が変わります。

$\int_{2}^{\infty} \frac{d x}{x ( ln x ) ^{p}} = \int_{l n 2}^{\infty} \frac{d u}{u ^{p}}$

これは前に扱った形です。 $p > 1$ で収束、 $p \leq 1$ で発散になります。

$p = 2$ なら値は $\frac{1}{ln 2} = 1.4427 \dots$ です。ベルトラン積分と呼ばれる族の、いちばん簡単な場合にあたります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{x ^{p}}$ が収束する実数 $p$ はありますか。

$p > 1$ のとき収束する
$p < 1$ のとき収束する
どの $p$ でも収束しない

__RESULT__

原点側は $p < 1$ 、無限側は $p > 1$ を要求します。両方を同時にみたす $p$ はないので、区間を $0$ から $\infty$ まで取ると必ずどちらかの端で発散します。片方の端だけを見て判断すると間違えます。

計算例： $\int_{0}^{\infty} e^{- a x} d x$

$a > 0$ とします。指数関数の減り方は、どんな $x^{- p}$ よりも速いです。

$\int_{0}^{R} e^{- a x} d x = [- \frac{e ^{- a x}}{a}]_{0}^{R} = \frac{1 - e ^{- a R}}{a} \to \frac{1}{a}$

$a \leq 0$ なら被積分関数が減らないので発散します。ガンマ関数の収束が無限側で心配ないのは、この速さのおかげです。

計算例： $\int_{0}^{1} ln x d x$

$x \to + 0$ で $ln x \to - \infty$ なので、原点が特異点です。原始関数は $x ln x - x$ になります。

$\int_{ε}^{1} ln x d x = [x ln x - x]_{ε}^{1} = - 1 - ε ln ε + ε$

$ε ln ε \to 0$ なので、極限は $- 1$ です。

対数の発散は $x^{- p}$ に比べてずっと緩やかで、 $ln$ 自身は原点で積分可能になります。発散するからといって積分できないわけではない、という例です。

計算例： $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{1 + x ^{2}}$

原始関数が $arctan x$ なので、そのまま極限が取れます。

$\int_{0}^{R} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan R \to \frac{π}{2}$

被積分関数は $x$ が大きいところで $x^{- 2}$ とほぼ同じ大きさです。 $p = 2 > 1$ なので収束する、と見積もっておいて実際に計算する、という順序が実用的です。

計算例： $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 - x ^{2}}$

今度は右端 $x = 1$ が特異点です。原始関数は $arcsin x$ になります。

$\int_{0}^{1 - ε} \frac{d x}{1 - x ^{2}} = arcsin (1 - ε) \to \frac{π}{2}$

$x \to 1$ での発散の速さを見ると、 $1 - x^{2} = (1 - x) (1 + x)$ から $\frac{1}{1 - x}$ 程度です。原点側の $p = 1/2 < 1$ にあたるので収束します。

計算例： $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{1 + x ^{3}}$

収束は簡単に見えます。 $x$ が大きいところで $x^{- 3}$ と同じ大きさなので、 $p = 3 > 1$ から収束します。原点側には特異点がありません。

値まで求めるには部分分数分解が要ります。 $1 + x^{3} = (1 + x) (x^{2} - x + 1)$ と分けて計算すると、次の値になります。

$\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{1 + x ^{3}} = \frac{2 π}{3 3} = 1.2092 \dots$

収束の判定と値の計算は別の作業です。判定だけなら比較で数行、値は分解して数十行、ということがよくあります。

計算例： $\int_{0}^{1} \frac{ln x}{x} d x$

原点で $ln x$ が $- \infty$ へ、 $1/ x$ が $+ \infty$ へ行きます。両方が効くので、収束するか怪しく見えます。

部分積分します。 $u = ln x$ 、 $d v = x^{- 1/2} d x$ と取ると $v = 2 x$ です。

$\int_{ε}^{1} \frac{ln x}{x} d x = [2 x ln x]_{ε}^{1} - \int_{ε}^{1} \frac{2}{x} d x = - 2 ε ln ε - 4 + 4 ε$

$ε ln ε \to 0$ なので、極限は $- 4$ です。

$ln$ の発散が $x$ の効果に負けます。対数は多項式の前では無力だ、という感覚がここでも効いています。

計算例： $\int_{1}^{\infty} \frac{ln x}{x ^{2}} d x$

今度は無限側です。分子の $ln x$ が増えるので、 $x^{- 2}$ より遅く落ちます。

部分積分します。 $u = ln x$ 、 $d v = x^{- 2} d x$ で $v = - 1/ x$ です。

$\int_{1}^{R} \frac{ln x}{x ^{2}} d x = [- \frac{ln x}{x}]_{1}^{R} + \int_{1}^{R} \frac{d x}{x ^{2}} = - \frac{ln R}{R} + 1 - \frac{1}{R}$

$\frac{ln R}{R} \to 0$ なので、極限は $1$ です。

$ln x$ がついても $x^{- 2}$ の収束は壊れません。実際 $\frac{ln x}{x ^{2}} \leq \frac{C}{x ^{1.5}}$ が大きい $x$ で成り立つので、比較でも判定できます。

置換と部分積分の使い方

広義積分でも置換積分と部分積分は使えます。ただし極限を取る前の有限の区間で実行するのが原則です。

$\int_{ε}^{1}$ や $\int_{a}^{R}$ の形で計算を済ませてから、 $ε \to + 0$ や $R \to \infty$ を実行します。上の例はすべてこの順序でした。

極限を取ってから式変形をすると、 $\infty - \infty$ のような扱えない形が出てきます。前に見た $\int_{- 1}^{1} x^{- 2} d x = - 2$ が、その典型的な失敗です。

置換で特異点の位置が動くことにも注意が要ります。 $u = ln x$ の例では、 $x = 2$ が $u = ln 2$ に、 $x \to \infty$ が $u \to \infty$ に移りました。

比較判定法

値を求めずに収束だけを判定したい場面がほとんどです。基本になるのが比較です。

$[a, \infty)$ で $0 \leq f (x) \leq g (x)$ とする。 $\int_{a}^{\infty} g$ が収束すれば $\int_{a}^{\infty} f$ も収束し、 $\int_{a}^{\infty} f$ が発散すれば $\int_{a}^{\infty} g$ も発散する。

大きいほうが収束すれば小さいほうも収束し、小さいほうが発散すれば大きいほうも発散する、という素直な形です。

非負であることが要ります。符号が変わる関数には、あとで扱う絶対収束の議論を経由します。

証明：比較判定法

$F (R) = \int_{a}^{R} f$ とおきます。 $f \geq 0$ なので、 $F$ は $R$ について単調増加です。

$f \leq g$ から $F (R) \leq \int_{a}^{R} g \leq \int_{a}^{\infty} g$ となり、 $F$ は上に有界です。

単調増加で上に有界な関数は極限を持ちます。したがって $\int_{a}^{\infty} f$ は収束します。

後半は前半の対偶です。 $\int_{a}^{\infty} g$ が収束すると仮定すると $\int_{a}^{\infty} f$ も収束してしまうので、 $\int_{a}^{\infty} f$ が発散するなら $\int_{a}^{\infty} g$ も発散します。

計算例：比較判定法を使う

$\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x ^{3} + 1}$ を判定します。分母を小さくすると分数は大きくなるので、上から押さえます。

$\frac{1}{x ^{3} + 1} \leq \frac{1}{x ^{3}} = \frac{1}{x ^{3/2}}$

$p = 3/2 > 1$ なので $\int_{1}^{\infty} x^{- 3/2} d x$ は収束します。よってもとの積分も収束します。

発散の側も見ます。 $\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x ^{2} + 1}$ では、 $x \geq 1$ で $x^{2} + 1 \leq 2 x^{2} = 2 x$ なので、被積分関数は $\frac{1}{2 x}$ 以上です。

$\int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x}$ が発散するので、こちらも発散します。

極限比較判定法

不等式を作るのが面倒なとき、比の極限で済ませられます。

$f, g > 0$ で $x \to \infty lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = L$ が存在し、 $0 < L < \infty$ とする。このとき $\int_{a}^{\infty} f$ と $\int_{a}^{\infty} g$ は同時に収束し、同時に発散する。

$L$ が有限で正なら、大きい $x$ で $\frac{L}{2} g \leq f \leq 2 Lg$ が成り立ちます。あとは比較判定法を両向きに使うだけです。

$L = 0$ のときは $g$ の収束から $f$ の収束が出ます。 $L = \infty$ なら $g$ の発散から $f$ の発散が出ます。

計算例：極限比較判定法を使う

$\int_{1}^{\infty} \frac{x + 1}{x ^{3} + 2} d x$ を判定します。 $x$ が大きいところでの振る舞いは $\frac{x}{x ^{3}} = \frac{1}{x ^{2}}$ です。

$g (x) = x^{- 2}$ と比べます。

$\frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{( x + 1 ) x ^{2}}{x ^{3} + 2} = \frac{x ^{3} + x ^{2}}{x ^{3} + 2} \to 1$

比が $1$ に収束するので、 $\int_{1}^{\infty} x^{- 2} d x$ と同時に収束します。 $p = 2 > 1$ から収束です。

原点側でも同じ発想が使えます。 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{sin x}$ では $\frac{sin x}{x} \to 1$ から $\frac{1}{sin x}$ と $\frac{1}{x}$ の比が $1$ に行くので、 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x}$ と同時に発散します。

コーシーの判定条件

原始関数が書けなくても使える、極限の存在そのものを言い換えた条件です。

$\int_{a}^{\infty} f$ が収束することと、任意の $ε > 0$ に対してある $M$ があって、 $R, R^{'} > M$ ならば

$\int_{R}^{R^{'}} f (x) d x < ε$

となることは同値である。

実数の完備性から出ます。 $F (R) = \int_{a}^{R} f$ の極限の存在が、 $F$ がコーシー列の条件をみたすことと同じだ、と読めば当たり前の言い換えです。

符号が変わる関数を扱えるのが利点で、次の絶対収束の議論もここを通ります。

絶対収束と条件収束

$\int_{a}^{\infty} ∣ f ∣$ が収束するとき、 $\int_{a}^{\infty} f$ は絶対収束するといいます。

絶対収束はしないのに収束する場合を条件収束といいます。打ち消し合いのおかげで収束している状態です。

足す順序や区間の取り方を変えると振る舞いが変わりうる、扱いのデリケートな収束です。

絶対収束すれば収束します。逆は成り立ちません。

絶対収束する

収束する

矢印は右向きにしか進みません。 $\int_{1}^{\infty} \frac{sin x}{x} d x$ が、右にはあるが左にはない例になります。

証明：絶対収束すれば収束する

コーシーの判定条件を使います。 $\int_{a}^{\infty} ∣ f ∣$ が収束しているとしましょう。

判定条件から、 $ε$ に対する $M$ があって、 $R, R^{'} > M$ で $\int_{R}^{R^{'}} ∣ f ∣ < ε$ となります。

積分の絶対値は絶対値の積分以下なので、次が成り立ちます。

$\int_{R}^{R^{'}} f \leq \int_{R}^{R^{'}} ∣ f ∣ < ε$

これは $\int_{a}^{\infty} f$ についてのコーシーの判定条件そのものです。したがって $\int_{a}^{\infty} f$ も収束します。

ディリクレの判定法

打ち消し合いを使う収束を扱う道具です。

$f$ が $[a, \infty)$ で単調減少して $0$ に収束し、 $g$ の原始関数 $G (x) = \int_{a}^{x} g$ が有界とする。このとき $\int_{a}^{\infty} f (x) g (x) d x$ は収束する。

$g$ 自身の積分は収束しなくてかまいません。振動して原始関数が有界にとどまっていれば十分です。

$g (x) = sin x$ なら $G (x) = 1 - cos x$ で $0$ 以上 $2$ 以下です。 $f (x) = 1/ x$ は単調減少して $0$ に行きます。条件がそろいます。

計算例： $\int_{1}^{\infty} \frac{sin x}{x} d x$ の収束

判定法を使わず、部分積分だけで収束を示せます。

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font-size="11" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">5π</text><text x="491" y="191" font-size="11" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">6π</text><text x="561" y="191" font-size="11" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">7π</text><text x="632" y="191" font-size="11" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">8π</text><text x="104" y="88" font-size="13" fill="#1b81e0">sin x / x</text><text x="350" y="248" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">正負の山が交互に並び、しかも高さが 1/x の速さで縮んでいきます</text><text x="350" y="268" font-size="12" fill="#8a8a8a" text-anchor="middle">打ち消し合うので収束しますが、絶対値を取ると打ち消しが消えて発散します</text></svg>

$u = 1/ x$ 、 $d v = sin x d x$ と取ります。

$\int_{1}^{R} \frac{sin x}{x} d x = [- \frac{cos x}{x}]_{1}^{R} - \int_{1}^{R} \frac{cos x}{x ^{2}} d x$

第 1 項は $- \frac{cos R}{R} + cos 1$ で、 $R \to \infty$ のとき $cos 1$ に収束します。

第 2 項は $\frac{cos x}{x ^{2}} \leq \frac{1}{x ^{2}}$ なので絶対収束します。両方が収束するので、もとの積分も収束します。

値は $\int_{0}^{\infty} \frac{sin x}{x} d x = \frac{π}{2}$ になります。これはディリクレ積分と呼ばれ、値を出すには複素解析かパラメータについての微分が要るので、ここでは結果だけ挙げておきます。

計算例：絶対値を取ると発散する

同じ関数の絶対値を積分すると発散します。区間を $π$ ずつに切って下から押さえます。

$[k π, (k + 1) π]$ の上では $\frac{1}{x} \geq \frac{1}{( k + 1 ) π}$ です。また $\int_{k π}^{(k + 1) π} ∣ sin x ∣ d x = 2$ が、どの $k$ でも成り立ちます。

$\int_{k π}^{(k + 1) π} \frac{∣ sin x ∣}{x} d x \geq \frac{1}{( k + 1 ) π} \int_{k π}^{(k + 1) π} ∣ sin x ∣ d x = \frac{2}{( k + 1 ) π}$

$k$ について足し上げると調和級数の定数倍になり、発散します。したがって $\int_{1}^{\infty} \frac{sin x}{x} d x$ は条件収束です。

数値でも確かめられます。 $π$ から $(N + 1) π$ まで積分すると、 $N = 100$ で $2.928$ 、 $N = 10000$ で $5.853$ となり、 $\frac{2}{π} ln N$ の値とよく合います。対数の速さで増えていくわけです。

$\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ が収束するとき、 $\int_{1}^{\infty} ∣ f (x) ∣ d x$ も収束しますか。

つねに収束する
収束するとはかぎらない
$f$ が連続なら収束する

__RESULT__

$\frac{sin x}{x}$ が反例です。部分積分で収束が示せますが、絶対値を取ると各山の面積が $\frac{2}{( k + 1 ) π}$ 以上になり、調和級数と同じ速さで発散します。逆向き、つまり絶対収束から収束は、つねに成り立ちます。

積分判定法：級数とのつながり

広義積分と無限級数は、同じ現象を別の形で見たものです。

$f$ が $[1, \infty)$ で正かつ単調減少とする。このとき $n = 1 \sum \infty f (n)$ と $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ は同時に収束し、同時に発散する。

証明は面積の比較です。 $f$ が単調減少なので、 $[n, n + 1]$ の上で $f (n + 1) \leq f (x) \leq f (n)$ が成り立ちます。

積分してから足し上げると、部分和と積分が互いに互いを押さえる形になります。

この対応で $\sum n^{- p}$ の収束条件が $\int_{1}^{\infty} x^{- p} d x$ と同じ $p > 1$ になり、調和級数の発散が $ln R \to \infty$ と対応します。 $\sum \frac{1}{n ( ln n ) ^{p}}$ の判定も、前に見たベルトラン積分と同じ形になります。

ガウス積分

もっとも有名な広義積分です。

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

被積分関数の原始関数は初等関数で書けません。それでも定積分の値が閉じた形になる、というのがこの積分の面白いところです。

収束自体は簡単に出ます。 $∣ x ∣ \geq 1$ で $e^{- x^{2}} \leq e^{- ∣ x ∣}$ が成り立つので、指数関数との比較で収束します。

証明：ガウス積分

$I = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$ とおき、2 乗を 2 重積分と見ます。

$I^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x \int_{- \infty}^{\infty} e^{- y^{2}} d y = \iint_{R^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y$

極座標 $x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$ に移ります。面積要素が $r d r d θ$ になるのが要です。

$I^{2} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r d θ = 2 π \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r$

$r$ が 1 つ出てきたおかげで、 $u = r^{2}$ と置換できます。 $\int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r = \frac{1}{2}$ です。

したがって $I^{2} = π$ で、 $I > 0$ から $I = π$ を得ます。ポアソンによるこの証明が最も知られています。

計算例：ガウス積分の変形

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x$ を求めます。部分積分で本体へ帰着させます。

$u = x$ 、 $d v = x e^{- x^{2}} d x$ と取ると $v = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}}$ です。

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x = [- \frac{x}{2} e^{- x^{2}}]_{0}^{\infty} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = 0 + \frac{π}{4}$

$\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \frac{π}{2}$ を使いました。正規分布の分散が計算できるのは、この形の積分のおかげです。

ガンマ関数

広義積分で定義される代表的な関数です。

$Γ (s) = \int_{0}^{\infty} x^{s - 1} e^{- x} d x$

無限側と原点側の両方が怪しいので、 $\int_{0}^{1}$ と $\int_{1}^{\infty}$ に分けて別々に確かめる必要があります。

ガンマ関数が定義できる範囲

無限側から見ます。 $e^{- x}$ はどんな冪よりも速く $0$ へ行くので、 $x^{s - 1} e^{- x} \leq C e^{- x /2}$ が大きい $x$ で成り立ちます。 $s$ の値によらず収束します。

原点側が本番です。 $x \to + 0$ で $e^{- x} \to 1$ なので、被積分関数は $x^{s - 1}$ とほぼ同じ大きさになります。

前に見た $\int_{0}^{1} x^{- p} d x$ の判定で、 $p = 1 - s$ です。収束条件 $p < 1$ は $1 - s < 1$ 、すなわち $s > 0$ になります。

こうして $s > 0$ という条件が出ました。片方の端だけを見ていたら $s$ の制限に気づけません。両端で別々に確かめるのが要になります。

証明： $Γ (s + 1) = s Γ (s)$

部分積分します。 $u = x^{s}$ 、 $d v = e^{- x} d x$ と取ると $v = - e^{- x}$ です。

$\int_{ε}^{R} x^{s} e^{- x} d x = [- x^{s} e^{- x}]_{ε}^{R} + s \int_{ε}^{R} x^{s - 1} e^{- x} d x$

境界項を見ます。 $R \to \infty$ では $R^{s} e^{- R} \to 0$ 、 $ε \to + 0$ では $s > 0$ から $ε^{s} \to 0$ で、どちらも消えます。

$Γ (s + 1) = s Γ (s)$

$Γ (1) = \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x = 1$ とあわせると、正の整数 $n$ について $Γ (n + 1) = n!$ が帰納法で出ます。階乗の実数への拡張が得られたことになります。

計算例： $Γ (1/2) = π$

$s = 1/2$ を入れます。原点側で $x^{- 1/2}$ が発散しますが、 $p = 1/2 < 1$ なので収束します。

$x = t^{2}$ と置換します。 $d x = 2 t d t$ で、 $x^{- 1/2} = 1/ t$ です。

$Γ (\frac{1}{2}) = \int_{0}^{\infty} \frac{e ^{- t^{2}}}{t} \cdot 2 t d t = 2 \int_{0}^{\infty} e^{- t^{2}} d t = π$

ガンマ関数とガウス積分が、ここでつながりました。漸化式を使えば $Γ (\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} Γ (\frac{1}{2}) = \frac{π}{2}$ も出ます。

比較判定法

上か下から $x^{- p}$ で押さえる。不等式が作りやすいときはこれがいちばん速いです。

極限比較判定法

比の極限を見る。多項式の分数など、主要部だけ取り出せる形に効きます。

ディリクレの判定法と部分積分

符号が振動する場合の道具。打ち消し合いを使うので、絶対収束は期待できません。

よくある誤り

積分区間の内部にある特異点を見落とす。

\int_{- 1}^{1} x^{- 2} d x

が

- 2

になったら符号がおかしいと気づきます

\int_{- \infty}^{\infty}

で 2 つの極限を連動させる。それはコーシーの主値で、広義積分とは別物です

原点側と無限側の判定を取り違える。

x^{- p}

の収束域は端によって逆になります

f \to 0

なら収束すると思う。

1/ x

は

0

へ行きますが積分は発散します

極限を取ってから式変形する。置換と部分積分は有限の区間で済ませます

符号が変わる関数に比較判定法をそのまま使う。非負であることが前提です

収束すれば絶対収束すると思う。

sin x / x

が反例です

ガンマ関数で原点側の条件を確かめない。

s > 0

はここから出ます

参考文献

Keith Conrad, The Gaussian integral

IIT Kanpur, Lecture 18: Improper integrals

Rutgers, Real Analysis: Integration techniques

UT Austin, Cauchy Principal Value of improper integrals

Bibmath: Séries et intégrales de Bertrand

LesMath: Intégrales de Bertrand

Wolfram MathWorld: Gaussian Integral

KAIST, Dirichlet's Test for Improper Integrals

同じ関数でも、無限側と原点側では収束する条件がちょうど入れ替わる。どちらの端で困っているかを見分けることが広義積分の要になる。定義、内部の特異点とコーシーの主値、豊富な計算例、収束判定法、条件収束、ガウス積分とガンマ関数を解説する。

広義積分とは｜定義・収束判定・計算例と証明

直観：裾に溜まる面積が有限か

無限区間での広義積分

非有界関数の広義積分

特異点が複数あるとき

コーシーの主値との違い

計算例：内部の特異点を見落とすと符号が合わなくなる

計算例：∫1∞​x−pdx

計算例：∫01​x−pdx

2 つの収束域は入れ替わる

計算例：対数がつくと境目がずれる

計算例：∫0∞​e−axdx

計算例：∫01​lnxdx

計算例：∫0∞​1+x2dx​

計算例：∫01​1−x2​dx​

計算例：∫0∞​1+x3dx​

計算例：∫01​x​lnx​dx

計算例：∫1∞​x2lnx​dx

置換と部分積分の使い方

比較判定法

証明：比較判定法

計算例：比較判定法を使う

極限比較判定法

計算例：極限比較判定法を使う

コーシーの判定条件

絶対収束と条件収束

証明：絶対収束すれば収束する

ディリクレの判定法

計算例：∫1∞​xsinx​dx の収束

計算例：絶対値を取ると発散する

積分判定法：級数とのつながり

ガウス積分

証明：ガウス積分

計算例：ガウス積分の変形

ガンマ関数

ガンマ関数が定義できる範囲

証明：Γ(s+1)=sΓ(s)

計算例：Γ(1/2)=π​

よくある誤り

参考文献

計算例： $\int_{1}^{\infty} x^{- p} d x$

計算例： $\int_{0}^{1} x^{- p} d x$

計算例： $\int_{0}^{\infty} e^{- a x} d x$

計算例： $\int_{0}^{1} ln x d x$

計算例： $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{1 + x ^{2}}$

計算例： $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 - x ^{2}}$

計算例： $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{1 + x ^{3}}$

計算例： $\int_{0}^{1} \frac{ln x}{x} d x$

計算例： $\int_{1}^{\infty} \frac{ln x}{x ^{2}} d x$

計算例： $\int_{1}^{\infty} \frac{sin x}{x} d x$ の収束

証明： $Γ (s + 1) = s Γ (s)$

計算例： $Γ (1/2) = π$