正則空間と正規空間

T0、T1、T2（ハウスドルフ）に続く分離公理として、正則空間と正規空間があります。これらは点と閉集合、あるいは閉集合どうしの分離を扱います。

正則空間の定義

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ が正則（regular）であるとは、任意の点 $x\in X$ と $x$ を含まない任意の閉集合 $F$ に対して、$x\in U$、$F\subseteq V$、$U\cap V=\varnothing$ を満たす開集合 $U,V$ が存在することをいいます。

正則かつT1である空間をT3空間と呼びます。T1を仮定しない正則空間では、一点集合が閉とは限らないため注意が必要です。

正則空間の例

任意の距離空間は正則です。点 $x$ と閉集合 $F$（$x\notin F$）に対して、$d(x,F)={\inf }_{y\in F}d(x,y)>0$ なので、$\epsilon =d(x,F)/2$ として開球 $B(x,\epsilon )$ と $F$ の $\epsilon$-近傍を取れば分離できます。

有限補位相を持つ無限集合はT1ですが正則ではありません。空でない開集合どうしは必ず交わるため、点と閉集合を開集合で分離できないからです。

正規空間の定義

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ が正規（normal）であるとは、任意の互いに素な閉集合 $F_1,F_2$ に対して、$F_1\subseteq U_1$、$F_2\subseteq U_2$、$U_1\cap U_2=\varnothing$ を満たす開集合 $U_1,U_2$ が存在することをいいます。

正規かつT1である空間をT4空間と呼びます。T4ならばT3ですが、逆は一般には成り立ちません。

正規空間の例

任意の距離空間は正規です。互いに素な閉集合 $F_1,F_2$ に対して、関数 $f(x)=d(x,F_1)/(d(x,F_1)+d(x,F_2))$ を考えると、$f^{-1}([0,1/2))$ と $f^{-1}((1/2,1])$ が分離する開集合となります。

任意のコンパクトハウスドルフ空間は正規です。コンパクト性により閉集合もコンパクトとなり、ハウスドルフ性を用いて開集合による分離を構成できます。

分離公理の階層

分離公理は次の包含関係を満たします。

$$\text{T4}\Rightarrow \text{T3}\Rightarrow \text{T2}\Rightarrow \text{T1}\Rightarrow \text{T0}$$

逆は一般に成り立ちません。各段階で反例が存在し、分離公理の強さの違いが明確になります。