T0、T1、T2（ハウスドルフ）に続く分離公理として、正則空間と正規空間があります。これらは点と閉集合、あるいは閉集合どうしの分離を扱います。
正則空間の定義
位相空間 が正則（regular）であるとは、任意の点 と を含まない任意の閉集合 に対して、、、 を満たす開集合 が存在することをいいます。
正則かつT1である空間をT3空間と呼びます。T1を仮定しない正則空間では、一点集合が閉とは限らないため注意が必要です。
正則空間の例
任意の距離空間は正則です。点 と閉集合 （）に対して、 なので、 として開球 と の -近傍を取れば分離できます。
有限補位相を持つ無限集合はT1ですが正則ではありません。空でない開集合どうしは必ず交わるため、点と閉集合を開集合で分離できないからです。
正規空間の定義
位相空間 が正規（normal）であるとは、任意の互いに素な閉集合 に対して、、、 を満たす開集合 が存在することをいいます。
正規かつT1である空間をT4空間と呼びます。T4ならばT3ですが、逆は一般には成り立ちません。
正規空間の例
任意の距離空間は正規です。互いに素な閉集合 に対して、関数 を考えると、 と が分離する開集合となります。
任意のコンパクトハウスドルフ空間は正規です。コンパクト性により閉集合もコンパクトとなり、ハウスドルフ性を用いて開集合による分離を構成できます。
分離公理の階層
分離公理は次の包含関係を満たします。
逆は一般に成り立ちません。各段階で反例が存在し、分離公理の強さの違いが明確になります。
