T0空間とT1空間の定義と例

位相空間において、異なる点をどの程度「分離」できるかを表す公理を分離公理といいます。T0とT1は最も基本的な分離公理です。

T0空間の定義

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ がT0空間（Kolmogorov空間）であるとは、任意の異なる2点 $x,y\in X$ に対して、一方のみを含む開集合が存在することをいいます。すなわち、$x\in U$ かつ $y\notin U$ を満たす開集合 $U$、または $y\in V$ かつ $x\notin V$ を満たす開集合 $V$ が存在します。

T0公理は「異なる点は位相的に区別できる」という最小限の要請です。

T0空間の例

密着位相（自明な位相）を持つ2点以上の空間はT0ではありません。開集合が $\varnothing$ と $X$ のみなので、異なる点を区別する開集合が存在しないからです。

一方、Sierpiński空間 $\{0,1\}$ に位相 $\{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}$ を入れた空間はT0です。点 $1$ のみを含む開集合 $\{1\}$ が存在するからです。ただし、$0$ のみを含む開集合はないため、T1ではありません。

T1空間の定義

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ がT1空間（Fréchet空間）であるとは、任意の異なる2点 $x,y\in X$ に対して、$x\in U$ かつ $y\notin U$ を満たす開集合 $U$ と、$y\in V$ かつ $x\notin V$ を満たす開集合 $V$ がともに存在することをいいます。

T0との違いは、双方向の分離を要求する点です。T1ならばT0ですが、逆は成り立ちません。

T1空間の同値条件

位相空間がT1であることは、すべての一点集合 $\{x\}$ が閉集合であることと同値です。

任意の点 $y\ne x$ に対して $x\notin U_y$ となる開集合 $U_y$ で $y\in U_y$ を満たすものが存在するので、$X\setminus \{x\}={\bigcup }_{y\ne x}{U}_y$ は開集合となり、$\{x\}$ は閉集合です。

T1空間の例

離散位相を持つ任意の空間はT1です。すべての部分集合が開集合なので、一点集合も閉集合となります。

有限補位相を持つ無限集合もT1です。$\{x\}$ の補集合は無限集合なので、$\{x\}$ は閉集合となります。ただし、有限補位相はハウスドルフ（T2）ではありません。異なる2点の開近傍は必ず共通部分を持つからです。