足もとの連結性が空間全体の形を決める局所連結空間

空間全体がつながっているかではなく、どの点の足もとにも小さなつながりが残っているか。これを問うのが局所連結性です^[1]。

条件を満たすと、開集合の連結成分がすべて開集合になります。成分の分解が、ばらばらの塊への直和分解に変わる^[1]。

局所連結の定義

$X$ が点 $x$ で局所連結であるとは、$x$ のどの近傍も、$x$ の連結な近傍を含むことをいいます^[1]。

どの点でもそうなっているとき、$X$ を局所連結と呼びます。連結な開集合全体が位相の基底になる、と言いかえてもよい。

近傍をいくら小さくしても、その内側にまだ連結な近傍が残っている。この「いくら小さくしても」が肝心です。

$\mathbb{R}$ ではどの点のまわりにも開区間がとれます。開区間は連結なので、$\mathbb{R}$ は局所連結です。

$\mathbb{Q}$ では話が変わります。どんなに小さい近傍も無理数で切り刻まれ、連結な部分は 1 点しか残らない。

成分が開集合になる

$X$ が局所連結であることと、どの開集合の連結成分も開集合であることは同値です^[1]。

$X$ が局所連結だとします。$U$ を開集合、$C$ を $U$ の連結成分とし、$x\in C$ をとる。$x$ の連結な近傍 $V$ で $V\subseteq U$ となるものがあります。

$V$ は $x$ を含む連結集合なので、成分の最大性から $V\subseteq C$。よって $C$ は各点で開近傍を含み、開集合です^[1]。

逆向きも、開集合の成分が開なら、それがそのまま連結な開近傍になることから出ます。

成分はいつでも閉集合ですが、開になるとは限りません。局所連結性がその足りない半分を埋めます。

連結成分への分解そのものは、どんな空間でもできます^[3]。局所連結な空間では、その分解が位相的な直和にまでなる^[2]。

例：局所連結だが連結でない

交わらない 2 枚の円板の合併をとります^[1]。全体としては 2 つに切れているので連結ではありません。

いっぽう各点のまわりには小さな円板がとれます。円板は連結なので、この空間は局所連結です。

離散空間も同じ形。一点集合が連結な開近傍になるので局所連結で、2 点以上あれば連結ではありません。

例：連結だが局所連結でない

位相幾何学者の正弦曲線 $\overline{S}$ は連結です^[1]。ところが縦線分の上の点では、どんな小さい近傍をとっても振動する枝が何本も入り込む。

近傍の中身が細かく分かれてしまい、連結なかたまりが残りません。だから局所連結ではない。

2 つは互いを含みません。片方だけを満たす空間が両方向にあります^[1]。

例：櫛の形をした空間

平面の中で、次の 3 つを合わせた集合をとります。

$$C=([0,1]\times \{0\})\cup \left(\left\{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\right\}\times [0,1]\right)\cup (\{0\}\times [0,1])$$

この空間は弧状連結です。どの点からも土台の線分まで降りて、そこを通れば行き来できる。

ところが $(0,y)$ の点では局所連結になりません。小さい近傍をとると、左の柱と細い縦線の束に割れてしまいます。

弧状連結という強い条件を満たしていても、局所的な条件は別に要る。この 2 つは独立です。

局所弧状連結

各点が弧状連結な開近傍からなる近傍基を持つとき、局所弧状連結と呼びます^[1]。

この条件のもとでは、弧状連結成分と連結成分が一致します^[1]。連結と弧状連結の区別が消える。

${\mathbb{R}}^n$ の開集合は局所弧状連結です。だから「連結な開集合は弧状連結」と言い切れる^[1]。多様体や CW 複体でも同じ扱いができます。

有限個の成分なら自動で開

成分が有限個しかない空間では、各成分の補集合が残りの成分の合併になります。閉集合の有限和なので閉、よって成分は開^[1]。

無限個になるとこの手が使えません。有理数の空間では成分が 1 点ずつで無限個あり、どれも開になりません。

局所連結性は、成分が無限個あるときにも開であることを保証する条件だと読めます。

部分空間へは遺伝しない

$\mathbb{R}$ は局所連結ですが、部分空間の $\mathbb{Q}$ はそうではありません。連結性と同じく、部分をとると崩れます。

開部分空間へなら遺伝します。開集合の中でとった連結な開近傍は、もとの空間でも開集合だからです。

だから ${\mathbb{R}}^n$ の開集合はすべて局所連結。連結性の話を弧状連結性の話に読みかえられる場面が多いのは、この事実によります^[1]。

大域の連結性と足もとの連結性は別々に効きます。成分が開になるか、連結と弧状連結が一致するか。この 2 つを言いたいときに、局所的な条件のほうが必要になります。

参考