局所連結空間
空間全体の連結性とは別に、各点の「近く」で連結性が成り立つかという局所的な性質を考えることができます。これが局所連結性です。
局所連結空間の定義
位相空間 が局所連結（locally connected）であるとは、任意の点 と の任意の近傍 に対して、 を満たす連結な開集合 が存在することをいいます。
言い換えると、連結な開集合全体が位相の基底となることです。各点が連結な開近傍からなる近傍基を持つ、ともいえます。
局所連結の例
は局所連結です。各点の開球は凸集合であり、凸集合は弧状連結、したがって連結です。
離散空間は局所連結です。各点がそれ自身を含む連結な開集合（一点集合）を持つからです。離散空間は全体としては連結でないことが多いですが、局所連結ではあります。
局所連結でない例
有理数 （ の部分空間）は局所連結ではありません。 の空でない開集合は無理数で分断され、連結になりません。
位相幾何学者の正弦曲線も局所連結ではありません。縦線分上の点は、どんな小さな近傍を取っても曲線部分の振動により連結な開近傍を持ちません。
局所連結性と連結成分
局所連結空間では、連結成分は開集合となります。
点 の連結成分を とします。 の連結な開近傍 を取ると、 は を含む連結集合なので です。よって は各点で開近傍を含み、 は開集合です。
この結果、局所連結空間は連結成分の離散的な直和に分解されます。
局所弧状連結空間
同様に、局所弧状連結（locally path-connected）も定義されます。各点が弧状連結な開近傍からなる近傍基を持つ空間です。
局所弧状連結な空間では、連結性と弧状連結性が一致します。多様体、CW複体、グラフなど、位相幾何学で扱う多くの空間は局所弧状連結であり、連結と弧状連結を区別せずに扱えます。
局所連結性と連結性の独立性
局所連結性と（大域的な）連結性は独立した概念です。
位相幾何学者の正弦曲線。全体は一つながりだが、縦線分上の点の近くでは連結な開近傍が取れない。
2点以上の離散空間。各点は連結な開近傍（自分自身）を持つが、全体は分離している。
