開集合で分けられるなら関数でも分けられる（ウリゾーンの補題）

互いに素な 2 つの閉集合を、開集合で引き離せる空間を正規空間と呼びます。ウリゾーンの補題は、そこで連続関数まで作れると言う定理です^[1]。

片方で $0$ 、もう片方で $1$ をとる連続関数 $f : X \to [0, 1]$ が必ずある。開集合で分けられることと、関数で分けられることが同じ強さだという主張です。

正規空間の定義

$X$ が正規であるとは、互いに素な空でない閉集合 $C, D \subseteq X$ に対して、 $C \subseteq U$ 、 $D \subseteq V$ 、 $U \cap V = \emptyset$ となる開集合 $U, V$ がとれることをいいます^[2]。

証明で実際に使うのは、次の言いかえのほうです^[1]。

$U$ が開集合、 $C \subseteq U$ が閉集合のとき、 $C \subseteq V \subseteq \overline{V} \subseteq U$ となる開集合 $V$ がとれる。

$C$ と $U$ のあいだに、閉包ごと収まる開集合を 1 枚差し込めるという形。この差し込みを何度も繰り返すのが証明の骨組みになります。

易しいほうの向き

$f$ が先にあるとします。 $C \subseteq f^{- 1} ([0, \frac{1}{2}))$ と $D \subseteq f^{- 1} ((\frac{1}{2}, 1])$ を見ればよい。

この 2 つは互いに素な集合の逆像なので互いに素で、 $f$ が連続なので開集合です^[1]。これで正規性が出ます。

難しいのは逆向き。関数がどこにもないところから、連続関数を 1 つ組み立てる必要があります。

有理数で番号をつけた開集合を並べる

$Q = [0, 1] \cap Q$ を可算個に並べ、開集合の族 ${U_{p}}_{p \in Q}$ を作ります。守る性質は 1 つだけ。

$p < q ⟹ \overline{U_{p}} \subseteq U_{q}$

出発点は $U_{1} = X ∖ D$ と、 $C \subseteq U_{0} \subseteq \overline{U_{0}} \subseteq U_{1}$ を満たす $U_{0}$ 。正規性の言いかえがそのまま使えます^[1]。

あとは帰納法です。有限個まで作ったところへ新しい有理数 $r$ が来たら、すでにある番号の中で $r$ の直前 $p$ と直後 $q$ を見つける。 $\overline{U_{p}} \subseteq U_{q}$ が成り立っているので、そのあいだへもう 1 枚差し込めます^[1]。

$C$ から $X ∖ D$ へ向かって、開集合が薄い層になって積み重なります。層の番号が有理数の大小と一致しているところが肝心。

番号を $Q$ 全体へ広げておくと後が楽になります。 $p < 0$ なら $U_{p} = \emptyset$ 、 $p > 1$ なら $U_{p} = X$ と決める^[1]。

関数は「何段目で入るか」で決まる

各点 $x$ に対し、 $x$ が入っている層の番号を集め、その下限を $f (x)$ とします。

$f (x) = in f {p \in Q : x \in U_{p}}$

$x \in C$ なら $x$ は $U_{0}$ から先すべてに入るので $f (x) = 0$ 。 $x \in D$ なら $U_{1}$ にすら入らないので、集まる番号は $1$ より大きいものだけで $f (x) = 1$ ^[1]。

番号に二進有理数 $k \cdot 2^{- n}$ だけを使う書き方もあります^[2]。番号の集合が $[0, 1]$ で稠密でありさえすればよいので、どちらを選んでも同じ形の関数が作れる。

$f (x)$ は「 $x$ が最初に現れる層の高さ」であって、層の番号そのものを値にしています。

層が稠密に詰まっているから、値が $[0, 1]$ をすきまなく埋める。

連続性はどこから来るか

証明の山場です。まず補題を 2 つ用意します^[1]。

$x \in \overline{U_{p}}$ なら $f (x) \leq p$ 。 $x \in / U_{p}$ なら $f (x) \geq p$ 。

$f (x)$ が開区間 $(a, b)$ に入っているとき、有理数 $p, q$ を $a < p < f (x) < q < b$ にとります。

このとき $x \in / \overline{U_{p}}$ かつ $x \in U_{q}$ なので、 $V = U_{q} ∖ \overline{U_{p}}$ は $x$ を含む開集合。

$V$ の点 $y$ については、2 つの補題から $p \leq f (y) \leq q$ が出ます。したがって $f (V) \subseteq [p, q] \subseteq (a, b)$ ^[1]。

逆像の各点に、こうして開近傍が 1 つずつとれる。だから $f^{- 1} ((a, b))$ は開集合で、 $f$ は連続です。

例：距離空間なら式が書ける

距離空間 $(X, d)$ は正規です。しかも関数を式で書けます^[2]。

$f (x) = \frac{d ( x , C )}{d ( x , C ) + d ( x , D )}$

ここで $d (x, C) = in f_{y \in C} d (x, y)$ 。 $C$ と $D$ が閉で互いに素なので、分母が $0$ になることはありません。

$x \in C$ なら分子が $0$ で $f (x) = 0$ 、 $x \in D$ なら $d (x, D) = 0$ で $f (x) = 1$ 。距離の連続性から $f$ も連続になります。

一般の正規空間では距離が使えないので、層を無限に差し込む手が要ります。距離があるときだけ、この計算が近道になる。

値が 0 になる場所は C より広いことがある

補題が言うのは $f = 0$ が $C$ 全体で成り立つことだけです。 $f^{- 1} (0) = C$ までは言っていません^[3]。

$C$ が $G_{δ}$ 集合、つまり可算個の開集合の共通部分として書けるときに限り、 $f^{- 1} (0) = C$ にできます。

どの閉集合についてもそれができる空間を完全正規空間と呼びます。距離空間はすべて完全正規です。

ウリゾーンの補題

$f = 0$ が $C$ 上、 $f = 1$ が $D$ 上。等号の場所は広くてよい

完全正規空間

$f^{- 1} (0) = C$ まで言える。閉集合が $G_{δ}$ であることが条件

この補題が土台になる定理

正規空間の上には連続関数が十分たくさんあると分かる。ここから先の定理が動きはじめます^[3]。

ティーツェの拡張定理は、正規空間 $X$ の閉集合 $A$ 上の連続関数を $X$ 全体へ延ばせると言います^[1]。

ウリゾーンの距離化定理は、第二可算な正規空間が距離化可能だと言う。関数を座標に使って空間を積空間へ埋め込む筋道で、その関数をこの補題が供給します。

正規性

連続関数で分けられる

関数を並べて座標にする

距離が入る

対照的なのが密着位相です。開集合が 2 つしかないので連続関数は定数だけ。分離できない空間では、関数の世界が痩せてしまいます。

例：区間の中で確かめる

$X = R$ 、 $C = (- \infty, 0]$ 、 $D = [1, \infty)$ をとります。どちらも閉で互いに素。

層を $U_{p} = (- \infty, \frac{p + 1}{2})$ と決めます。 $U_{0} = (- \infty, \frac{1}{2})$ が $C$ を含み、 $U_{1} = (- \infty, 1)$ が $D$ を避ける。

$p < q$ なら $\overline{U_{p}} = (- \infty, \frac{p + 1}{2}] \subseteq U_{q}$ なので、入れ子の条件も満たされています。

下限をとると $f (x) = min (max (2 x - 1, 0), 1)$ 。 $C$ 上で $0$ 、 $D$ 上で $1$ という約束どおりの関数です。

ただし $f$ が $0$ をとる範囲は $(- \infty, \frac{1}{2}]$ で、 $C$ よりずっと広い。層の選び方しだいで $f^{- 1} (0)$ はふくらみます。

密着位相を入れた 2 点以上の空間 $X$ で、ウリゾーンの補題が使えないのはなぜですか。

正規でないため
互いに素で空でない閉集合の組が存在しないため
連続関数が存在しないため

__RESULT__

密着位相の閉集合は $\emptyset$ と $X$ の 2 つだけです。空でない閉集合は $X$ しかないので、互いに素な組を作れません。前提が空振りするので、密着空間は正規性の定義をそのまま満たします。連続関数は定数として存在しますが、分けるべき閉集合の組がないので出番がない。

開集合で引き離せることと、関数で引き離せること。この 2 つが一致するという等式が、位相の言葉と解析の言葉をつなぐ入口になります。

出典

Ivan Khatchatourian. *Urysohn's Lemma*. MAT327 Introduction to Topology, University of Toronto, 2018.

*Feuille d'exercices n°2*. Topologie, analyse et calcul différentiel, École Normale Supérieure, 2014.

Urysohn lemma. Encyclopedia of Mathematics.

正規空間で互いに素な閉集合をとると、片方で $0$、もう片方で $1$ になる連続関数が必ず作れます。しかも逆も成り立つので、これは正規性そのものの言いかえ。証明は有理数で番号をつけた開集合を無限に差し込み、$f(x)$ をその番号の下限として定めます。連続性は 2 枚の層にはさまれた輪を近傍にとって示す。距離空間なら $d(x,C)$ と $d(x,D)$ の比で式が書けます。$f$ が $0$ になる範囲がもとの閉集合より広くなること、そこから完全正規空間が出てくること、ティーツェの拡張定理や距離化定理へつながる道筋も。