「ひとつながり」ってどういうこと？連結空間の定義と基本性質

空間 $X$ を、空でない 2 つの開集合に、重なりなくきれいに分ける。これができる組 $(U,V)$ を分解と呼びます^[1]。

分解が 1 つもとれないとき、$X$ は連結です。「ひとつながり」を、切り口の存在しなさとして書き直したのがこの定義。

分解できないことが連結

位相空間 $X$ の分解とは、次を満たす空でない開集合の組 $(U,V)$ のことをいいます^[1]。

$$X=U\cup V,U\cap V=\varnothing$$

分解を持たない空間が連結。部分集合 $Y\subseteq X$ については、$Y$ を部分空間と見て連結かどうかを判定します。

「つながっている」ほうを直接定義せず、「切れている」ほうを否定する。切れ方のほうが書きやすいためです。

開かつ閉で言いかえる

$X=U\cup V$ が分解なら、$U=X\setminus V$ なので $U$ は閉集合でもあります。$V$ も同じ。

逆に開かつ閉の集合 $A$ があれば、$(A,X\setminus A)$ が分解の候補になる。ここから短い言いかえが出ます^[1]。

$X$ が連結であることと、開かつ閉である部分集合が $\varnothing$ と $X$ の 2 つだけであることは同値^[3]。

もう 1 つ、2 点の離散空間 $\{0,1\}$ への連続な全射が存在しないこと、という言いかえもあります。分解があれば $U$ を $0$ に、$V$ を $1$ に送ればよい。

切れ目を探す

下の図は 4 つの集合について、分解がとれるかどうかを順に見せます。分解がとれた場合は 2 色に塗り分けられる。

$[0,2]$ をどこで切っても、切り口の点はどちらかの側に属します。その側は端を含むので開集合になりません。

例：実数直線と、そこから 1 点を抜いた空間

$\mathbb{R}$ は連結です。開かつ閉の集合が $\varnothing$ と $\mathbb{R}$ しかないことは、実数の連続性から出ます。

$\mathbb{R}\setminus \{0\}$ は連結ではありません。$(-\infty ,0)$ と $(0,\infty )$ が分解になる。

一般に、$\mathbb{R}$ の連結部分集合はちょうど区間です。有界か非有界か、開か閉かは問いません。$1$ 点も空集合も区間に数えます。

区間でない集合、たとえば $[0,1]\cup [2,3]$ は、あいだの $1.5$ を境に切れる。区間性と連結性がぴったり重なります。

例：有理数はどこでも切れる

$\mathbb{Q}$ を $\mathbb{R}$ の部分空間と見ます。$a<b$ をどちらも有理数にとると、そのあいだに無理数 $r$ があります^[1]。

$$\mathbb{Q}=(\mathbb{Q}\cap (-\infty ,r))\cup (\mathbb{Q}\cap (r,\infty ))$$

$r$ が有理数でないので、この 2 つは $\mathbb{Q}$ を覆いつくし、どちらも開集合。分解ができました。

つまり $\mathbb{Q}$ の連結部分集合は 1 点集合だけ。連結成分が全部 1 点になる空間を、完全不連結な空間と呼びます^[3]。

連続像は連結のまま

$f:X\to Y$ が連続で $X$ が連結なら、像 $f(X)$ も連結です^[1]。

証明は分解を引き戻すだけ。$f(X)=U\cup V$ が分解なら、$f^{-1}(U)$ と $f^{-1}(V)$ が $X$ の分解になってしまいます。

$X$ が連結なので、どちらかが空。よって $U$ か $V$ のどちらかが空になり、分解ではなかったと分かります。

連結性が同相写像で保たれるのは、この命題の系にあたります。連続な全単射で移り合う空間は、連結かどうかを共有する。

中間値の定理が出てくる

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ が連続なら、$f([a,b])$ は $\mathbb{R}$ の連結部分集合、つまり区間です。

区間なら $f(a)$ と $f(b)$ のあいだの値をすべて含みます。これが中間値の定理^[1]。

像に穴があったとすると、その穴を境に像を分解できてしまう。連結な集合の像が連結だという命題が、そのまま穴のなさを保証します。

共通点があれば合併も連結

連結集合をいくつ集めても、共通点が 1 つでもあれば合併は連結です^[1]。

$\mathcal{Y}$ が連結集合の族で $\bigcap \mathcal{Y}\ne \varnothing$ なら、$\bigcup \mathcal{Y}$ は連結。証明は、共通点がどちらの側に落ちるかを見て、全部が同じ側へ引きずられることを言うだけです。

この事実が、空間を連結な部分へ分ける議論の土台になります。ある点を含む連結集合を全部合わせても、なお連結なままでいてくれる。

閉包をとっても連結のまま

$Y$ が連結で $Y\subseteq Z\subseteq \overline{Y}$ なら、$Z$ も連結です^[1]。

とくに $\overline{Y}$ 自身が連結。連結な集合に触点を足しても、切り離せる形にはなりません。

逆は成り立ちません。閉包が連結でも、もとの集合が連結とは限らない。$\mathbb{Q}$ の閉包は $\mathbb{R}$ で連結ですが、$\mathbb{Q}$ は完全不連結です。

例：漸近するだけでは足りない

${\mathbb{R}}^2$ の中で、$x$ 軸と双曲線の右枝を合わせた集合をとります^[1]。

$$Y=\{(x,0):x\in \mathbb{R}\}\cup \left\{\left(x,\frac{1}{x}\right):x>0\right\}$$

右へ行くほど双曲線は $x$ 軸に近づきます。ところが交点はありません。

$Y$ の中では、直線も双曲線もそれぞれ開かつ閉。だから $Y$ は連結ではありません^[1]。近づくことと触れることは別だという例です。

積空間も連結

$X$ と $Y$ が連結なら、積 $X\times Y$ も積位相について連結です^[1]。

証明の筋は、点 $(a,b)$ を固定して、各 $x$ に対し十字形 $(X\times \{b\})\cup (\{x\}\times Y)$ をとること。どれも連結集合の合併で、共通点 $(a,b)$ を持ちます。

これらを全部合わせると $X\times Y$ になるので、合併の命題から連結。有限個の積へは帰納法で伸びます^[1]。

無限個になると話が変わる。実数列全体 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{N}}$ に箱位相を入れると、有界な列全体と非有界な列全体が分解になり、連結でなくなります^[1]。

弧状連結なら連結

$X$ のどの 2 点も、$[a,b]$ からの連続写像で結べるとき、$X$ を弧状連結と呼びます^[1]。

弧状連結なら連結です。分解 $X=U\cup V$ があれば、どの道も区間の連続像なので連結で、$U$ か $V$ の片側にしか入れません。

逆は成り立たない。連結でありながら弧状連結でない空間が実際にあります^[2]。

例：連結な空間の大きさ

完全正則で 2 点以上ある連結空間は、濃度が連続体濃度以上になります^[3]。点が少なすぎると、つなぎとめる余地がなくなるためです。

いっぽう、可算な連結ハウスドルフ空間は存在します。分離の条件をゆるめると、小さい連結空間が作れる^[3]。

有限空間でも連結なものはあります。2 点集合に $\{\varnothing ,\{a\},X\}$ を入れたシェルピンスキー空間では、開かつ閉が $\varnothing$ と $X$ しかない。

つまずきやすいところ

開かつ閉かどうかは、どの空間の中で見ているかで変わります。$[0,1]$ は $\mathbb{R}$ の中では開ではありませんが、$[0,1]\cup \{2\}$ の中では開。判定の前に、土台の空間を確かめる必要があります。

「分解がとれない」を示すには、あらゆる分解を否定しなくてはなりません。1 つの切り方でうまくいかなかった、では足りない。開かつ閉の集合を全部つかまえる形で示すのが定石です。

近さと連結性も混ざりやすい。双曲線と $x$ 軸は距離がいくらでも小さくなりますが、下限に達しないので分解が残ります。

連結だから道でつながる、とも限りません。逆向きの含意しか成り立たない点は、反例を 1 つ覚えておくと安全です。

参考文献