連結空間の定義と基本性質

位相空間が「一つながり」であるかどうかを表す概念が連結性です。連結性は位相的性質であり、同相写像で保たれます。

連結空間の定義

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ が連結（connected）であるとは、$X$ を2つの空でない互いに素な開集合の和として表せないことをいいます。すなわち、$X=U\cup V$、$U\cap V=\varnothing$、$U,V\in \mathcal{O}$、$U\ne \varnothing$、$V\ne \varnothing$ を満たす開集合 $U,V$ が存在しないことです。

同値な言い換えとして、$X$ において開かつ閉である集合（clopen set）が $\varnothing$ と $X$ のみであることがあります。

連結でない空間の例

離散位相を持つ2点以上の空間は連結ではありません。各点が開集合なので、空間を一点集合に分割できます。

$\mathbb{R}$ から一点を除いた空間 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ も連結ではありません。$(-\infty ,0)$ と $(0,\infty )$ に分離されます。

連結空間の例

実数直線 $\mathbb{R}$ は連結です。これは実数の完備性（区間の連続性）から従います。より一般に、$\mathbb{R}$ の連結部分集合はちょうど区間（有界・無界、開・閉・半開を問わず）です。

${\mathbb{R}}^n$ も連結です。任意の2点を線分で結べるからです（弧状連結性から連結性が従います）。

連結性の保存

連続写像は連結性を保ちます。$f:X\to Y$ が連続で $X$ が連結ならば、像 $f(X)$ も連結です。

この事実から中間値の定理が従います。連結空間 $X$ 上の連続関数 $f:X\to \mathbb{R}$ の像は $\mathbb{R}$ の連結部分集合、すなわち区間となります。

連結成分

空間 $X$ の点 $x$ を含む最大の連結部分集合を $x$ の連結成分といいます。連結成分は閉集合であり、$X$ は連結成分の直和に分解されます。

連結成分が一点のみからなる空間を完全不連結空間といいます。有理数 $\mathbb{Q}$ や Cantor 集合は完全不連結です。