べき級数の収束半径とは？コーシー・アダマールの公式と計算例をわかりやすく解説

べき級数は、多項式を無限次まで延長したもので、関数を無限個の項の和として表す方法です。有限の多項式が変数の冪をいくつか足しただけなのに対し、べき級数は $x$ の冪を無限に足し上げます。そのぶん強力ですが、無限和である以上、どの範囲で意味をもつかという収束の問題がつきまといます。その範囲を測るのが収束半径であり、べき級数を扱ううえでの出発点になります。

べき級数の定義

点 $a$ を中心とするべき級数とは、次の形の級数です。

$n = 0 \sum \infty c_{n} (x - a)^{n} = c_{0} + c_{1} (x - a) + c_{2} (x - a)^{2} + \dots$

数列 $c_{n}$ を係数と呼びます。 $a = 0$ のときは $\sum c_{n} x^{n}$ という素直な形になり、以下では主にこの場合を扱います。 $x = a$ を代入すると第 $0$ 項の $c_{0}$ だけが残るので、べき級数は中心では必ず収束します。問題は、中心からどれだけ離れても収束するか、です。

収束半径

べき級数の収束する $x$ の範囲は、中心 $a$ のまわりの区間になります。より正確には、ある非負の実数（または無限大） $R$ があって、 $∣ x - a ∣ < R$ では収束し、 $∣ x - a ∣ > R$ では発散します。この $R$ を収束半径と呼びます。ちょうど境界 $∣ x - a ∣ = R$ での収束・発散は級数ごとに異なり、個別に調べる必要があります。収束半径は、次の三つの型のいずれかになります。

R = 0

中心 $x = a$ でしか収束しません。係数が急激に大きくなる級数がこれにあたります。

0 < R < \infty

中心のまわりの幅 $2 R$ の区間で収束します。もっとも典型的な場合です。

R = \infty

すべての実数で収束します。指数関数や三角関数の級数がこれにあたります。

収束半径の公式

収束半径は、係数 $c_{n}$ の増え方から計算できます。もっとも一般的なのがコーシー・アダマールの公式です。

$\frac{1}{R} = n \to \infty lim sup n ∣ c_{n} ∣$

右辺が $0$ なら $R = \infty$ 、無限大なら $R = 0$ と約束します。係数の比が収束する場合には、より計算しやすい比の公式が使えます。

$R = n \to \infty lim \frac{c _{n}}{c _{n + 1}}$

比の公式は使いやすいものの、極限が存在しないと使えません。そうした級数では、後で見るようにコーシー・アダマールの根号の式が必要になります。

基本の三例

まず、三つの型を代表する級数を計算します。等比級数 $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ では $c_{n} = 1$ なので、比の公式から $R = 1$ です。 $∣ x ∣ < 1$ で収束し、その和は $\frac{1}{1 - x}$ になります。

指数関数の級数 $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n !}$ では、 $\frac{c _{n}}{c _{n + 1}} = \frac{( n + 1 )!}{n !} = n + 1 \to \infty$ なので $R = \infty$ 、すべての $x$ で収束して和は $e^{x}$ です。逆に $\sum_{n = 0}^{\infty} n! x^{n}$ では、 $\frac{c _{n}}{c _{n + 1}} = \frac{n !}{( n + 1 )!} = \frac{1}{n + 1} \to 0$ なので $R = 0$ 、 $x = 0$ でしか収束しません。係数の階乗が分母にあるか分子にあるかで、収束半径が両極端に振れるわけです。

係数に n の冪をつける

係数に $n$ の冪をかけても、収束半径は変わりにくいのが特徴です。 $\sum n x^{n}$ では $\frac{c _{n}}{c _{n + 1}} = \frac{n}{n + 1} \to 1$ なので $R = 1$ 、同じく $\sum \frac{x ^{n}}{n}$ や $\sum \frac{x ^{n}}{n ^{2}}$ も比が $1$ に収束するので $R = 1$ です。 $n$ の多項式をかけ割りしても、比や $n$ 乗根の極限が $1$ に落ち着くため、収束半径は $1$ のまま動きません。

いっぽう $n$ が指数に乗ると話が変わります。 $\sum \frac{x ^{n}}{n ^{n}}$ は $n ∣ c_{n} ∣ = \frac{1}{n} \to 0$ なので $R = \infty$ 、逆に $\sum n^{n} x^{n}$ は $n ∣ c_{n} ∣ = n \to \infty$ なので $R = 0$ です。ここでは比よりも、コーシー・アダマールの $n$ 乗根のほうが素直に計算できます。

底に定数をつける

冪の底に定数をかけると、収束半径はその定数で割られます。 $\sum \frac{x ^{n}}{2 ^{n}} = \sum (\frac{x}{2})^{n}$ は $\frac{x}{2}$ の等比級数なので、 $\frac{x}{2} < 1$ 、つまり $∣ x ∣ < 2$ で収束し $R = 2$ です。逆に $\sum 2^{n} x^{n}$ は $n ∣ c_{n} ∣ = 2$ から $R = \frac{1}{2}$ になります。

定数と $n$ の冪が混ざっても、 $n$ 乗根を取れば定数だけが残ります。 $\sum \frac{x ^{n}}{n 3 ^{n}}$ では $n ∣ c_{n} ∣ = \frac{1}{3 n n} \to \frac{1}{3}$ なので $R = 3$ です。 $n n \to 1$ が効いて $n$ の因子は収束半径に寄与せず、底の $3$ だけが $R$ を決めています。

中心が 0 でない例

中心が $0$ でなくても、扱いは変わりません。 $\sum \frac{( x - 2 ) ^{n}}{3 ^{n}}$ は中心 $2$ のべき級数で、 $\frac{x - 2}{3} < 1$ すなわち $∣ x - 2∣ < 3$ で収束し、収束半径は $R = 3$ 、収束区間は $- 1 < x < 5$ です。中心のまわりに半径 $3$ の区間が広がる、という図がそのまま当てはまります。

$\sum \frac{( x + 1 ) ^{n}}{n}$ なら中心は $- 1$ で、比が $\frac{n + 1}{n} \to 1$ から $R = 1$ 、収束区間は中心 $- 1$ のまわりの $- 2 < x < 0$ です。収束半径は係数だけで決まり、中心の位置は区間の平行移動として効くだけだ、とわかります。

飛び飛びの冪

冪が飛び飛びに現れる級数では、比の公式がそのままでは使えず、注意が要ります。 $\sum x^{2 n}$ は偶数乗だけの級数で、 $\sum (x^{2})^{n}$ とみれば $∣ x^{2} ∣ < 1$ 、つまり $∣ x ∣ < 1$ で収束し $R = 1$ です。 $\sum (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!}$ は $cos x$ の級数で、偶数乗だけですが $R = \infty$ 、すべての $x$ で収束します。

もっと極端に飛ぶ例もあります。二項係数を係数にもつ $\sum (n 2 n) x^{n}$ は、 $\frac{c _{n + 1}}{c _{n}} = \frac{( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 )}{( n + 1 ) ^{2}} \to 4$ から $R = \frac{1}{4}$ です。冪の指数が平方数のときだけ $1$ になる $\sum x^{n^{2}}$ は、 $0$ でない係数の $n$ 乗根が $1$ に近づくので $R = 1$ になります。こうした欠けのある級数では、 $n$ 乗根を使うコーシー・アダマールが安全です。

limsup が必要な例

比の極限が存在しないのに、コーシー・アダマールなら収束半径が求まる、という級数を挙げておきます。係数が二つの値を交互に取る次の級数を考えます。

$n = 0 \sum \infty (2 + (- 1)^{n})^{n} x^{n}$

係数は $c_{n} = (2 + (- 1)^{n})^{n}$ で、 $n$ が偶数なら $3^{n}$ 、奇数なら $1^{n} = 1$ と、大きさが激しく振動します。このため比 $\frac{c _{n}}{c _{n + 1}}$ は $0$ と無限大のあいだを行き来し、極限をもちません。比の公式は使えないのです。

ところが $n$ 乗根なら落ち着きます。 $n ∣ c_{n} ∣ = 2 + (- 1)^{n}$ は $1$ と $3$ を交互に取り、その上極限は $lim sup n ∣ c_{n} ∣ = 3$ です。したがって $R = \frac{1}{3}$ と確定します。コーシー・アダマールが「 $lim$ 」ではなく「 $lim sup$ 」で書かれているのは、まさにこういう振動する係数に対応するためです。

端点での収束・発散

収束半径の内側では収束、外側では発散とわかっても、ちょうど端 $∣ x - a ∣ = R$ での様子は級数ごとに違います。 $R = 1$ の三つの級数で、端点 $x = \pm 1$ を調べてみます。

$\sum \frac{x ^{n}}{n}$ は、 $x = 1$ で調和級数 $\sum \frac{1}{n}$ となって発散し、 $x = - 1$ で交代級数 $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ となって収束します。 $\sum \frac{x ^{n}}{n ^{2}}$ は、 $p = 2 > 1$ の $p$ 級数なので $x = 1$ でも $x = - 1$ でも収束します。逆に $\sum \frac{x ^{n}}{n}$ は、 $x = 1$ で $p = \frac{1}{2} < 1$ の $p$ 級数となって発散し、 $x = - 1$ では交代級数となって収束します。同じ収束半径 $1$ でも、端点での顔つきはこれほど違うわけです。

アーベルの定理

端点でべき級数が収束するとき、その和が端点まで連続につながることを保証するのが、アーベルの定理です。べき級数 $\sum c_{n} x^{n}$ が $x = R$ で収束するなら、 $x$ を $R$ に左から近づけた極限と、 $x = R$ での級数の和が一致します。これにより、開区間で成り立つ等式を端点までもち込めます。

たとえば $lo g (1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} x^{n}$ は $∣ x ∣ < 1$ で成り立ちますが、 $x = 1$ でも右辺の交代級数は収束します。アーベルの定理から両辺の $x \to 1$ の極限を取ってよく、次の有名な和が得られます。

$n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots = lo g 2$

同じように $arctan x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1} x^{2 n + 1}$ の $x = 1$ から、ライプニッツの級数 $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1} = \frac{π}{4}$ が従います。収束半径の内側で導いた展開が、端点の値の計算にそのまま使えるのです。

項別微分・積分

収束半径の内側 $∣ x - a ∣ < R$ では、べき級数は多項式とまったく同じように、項ごとに微分・積分できます。

$(n = 0 \sum \infty c_{n} (x - a)^{n})^{'} = n = 1 \sum \infty n c_{n} (x - a)^{n - 1}$

$\int n = 0 \sum \infty c_{n} (x - a)^{n} d x = n = 0 \sum \infty \frac{c _{n}}{n + 1} (x - a)^{n + 1} + C$

しかも、微分しても積分しても収束半径 $R$ は変わりません。たとえば等比級数 $\frac{1}{1 - x} = \sum x^{n}$ を項別に微分すると、次の展開がただちに得られます。

$\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} = n = 1 \sum \infty n x^{n - 1} = n = 0 \sum \infty (n + 1) x^{n}$

収束の一様性

項別に微分・積分してよい根拠が、一様収束です。収束半径 $R$ の内側であっても、開区間 $(a - R, a + R)$ の全体で一様収束するとは限りませんが、 $r < R$ を満たす閉区間 $[a - r, a + r]$ の上では、つねに一様収束します。理由はワイエルシュトラスの $M$ 判定法で、 $∣ x - a ∣ \leq r$ では $∣ c_{n} (x - a)^{n} ∣ \leq ∣ c_{n} ∣ r^{n}$ と押さえられ、 $\sum ∣ c_{n} ∣ r^{n}$ が収束するからです。

一様収束のもとでは、無限和と微分・積分の順序を入れ替えてよいことが保証されます。だからこそ前節の項別微分・項別積分が正当化されるのです。収束半径の内側ぎりぎりまでではなく、内側の各閉区間で一様収束する、という言い回しが、この理論の要になります。

微積分で新しい級数を作る

項別の微積分を使うと、既知の級数から新しい展開を次々に作れます。等比級数の変数を $- x^{2}$ に取り替えると、次の級数が出ます。

$\frac{1}{1 + x ^{2}} = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} x^{2 n} (∣ x ∣ < 1)$

この両辺を $0$ から $x$ まで積分すると、左辺は $arctan x$ になり、逆正接関数の展開が得られます。

$arctan x = n = 0 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1} x^{2 n + 1} = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \dots$

同じように $\frac{1}{1 - x} = \sum x^{n}$ を積分すれば $- lo g (1 - x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n}$ が得られます。微分方程式を解いたり積分を直接計算したりする代わりに、級数を項別にいじるだけで関数の展開が手に入るわけです。

代表的な関数の展開

よく使う関数のべき級数展開を、収束半径とあわせて並べておきます。

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n !}

（

R = \infty

）

sin x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n + 1 )!} x^{2 n + 1}

（

R = \infty

）

cos x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{( 2 n )!} x^{2 n}

（

R = \infty

）

lo g (1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} x^{n}

（

R = 1

）

arctan x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1} x^{2 n + 1}

（

R = 1

）

(1 + x)^{α} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n α) x^{n}

（

R = 1

）

指数・三角関数は収束半径が無限大で全実数で成り立ち、対数・逆正接・二項級数は $R = 1$ で単位区間に限られます。この違いは、後で見るように、複素平面上での特異点の有無に由来します。

二項級数の詳しい計算

最後の二項級数を、もう少し詳しく見ます。指数 $α$ が正の整数でないとき、 $(1 + x)^{α}$ の展開は無限級数になり、その係数は一般化された二項係数です。

$(n α) = \frac{α ( α - 1 ) ( α - 2 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !}$

分子は $α$ から始めて $1$ ずつ減らしながら $n$ 個かける形です。収束半径は $\frac{c _{n}}{c _{n + 1}} = \frac{n + 1}{α - n} \to 1$ から $R = 1$ です。具体的に $α = \frac{1}{2}$ を入れると、平方根の展開になります。

$1 + x = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{16} x^{3} - \dots$

$α = - 1$ なら $(n - 1) = (- 1)^{n}$ となり、 $(1 + x)^{- 1} = \sum (- 1)^{n} x^{n}$ という等比級数に戻ります。 $α = - \frac{1}{2}$ では $\frac{1}{1 + x} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{( 2 n )!}{4 ^{n} ( n ! ) ^{2}} x^{n}$ となり、中心二項係数がふたたび顔を出します。整数の二項定理が、指数を実数へ広げてもそのまま生き続けているのが見どころです。

べき級数の演算

収束域が重なる範囲では、べき級数どうしを多項式のように足したり掛けたりできます。和は係数ごとの足し算です。

$\sum a_{n} x^{n} + \sum b_{n} x^{n} = n = 0 \sum \infty (a_{n} + b_{n}) x^{n}$

積は、各次数に寄与する項をすべて集めたコーシー積になります。

$(\sum a_{n} x^{n}) (\sum b_{n} x^{n}) = n = 0 \sum \infty (k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k}) x^{n}$

例として $e^{x} = \sum \frac{x ^{n}}{n !}$ を二乗してみます。コーシー積の係数は $\sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k !} \cdot \frac{1}{( n - k )!} = \frac{1}{n !} \sum_{k = 0}^{n} (k n) = \frac{2 ^{n}}{n !}$ となり、次のようにまとまります。

$e^{x} \cdot e^{x} = n = 0 \sum \infty \frac{2 ^{n}}{n !} x^{n} = e^{2 x}$

指数法則 $e^{x} e^{x} = e^{2 x}$ が、級数の掛け算からも再現されるわけです。

級数で和を求める

関数の展開を逆に使うと、数の級数の和を求められます。項別微分で作った $\frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} = \sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n}$ に $x = \frac{1}{2}$ を代入すると、 $\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) (\frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{( 1/2 ) ^{2}} = 4$ です。ここから定数項の和 $\sum (\frac{1}{2})^{n} = 2$ を引くと、次の値が切り出せます。

$n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n}} = 4 - 2 = 2$

対数の展開 $- lo g (1 - x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n}$ に $x = \frac{1}{2}$ を入れれば、 $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n 2 ^{n}} = - lo g \frac{1}{2} = lo g 2$ も同様に求まります。関数のべき級数は、こうして無限和の値を閉じた形で取り出す道具にもなります。

解析関数

収束するべき級数で表せる関数を、解析関数といいます。 $e^{x}$ 、 $sin x$ 、 $cos x$ 、 $lo g (1 + x)$ など、これまで扱った関数はすべて解析関数です。解析関数は無限回微分でき、その関数自身のテイラー展開とちょうど一致します。ところが、無限回微分できることと解析的であることは、同じではありません。

解析関数

各点のまわりでべき級数に展開でき、その級数がもとの関数に収束します。テイラー展開が関数を復元します。

無限回微分可能な関数

何回でも微分はできますが、テイラー展開が関数に収束するとは限りません。 $e^{- 1/ x^{2}}$ が代表例です。

反例の $f (x) = e^{- 1/ x^{2}}$ （ $x = 0$ では $f (0) = 0$ ）は、原点で何回でも微分できて、すべての導関数が $0$ になります。したがって原点でのテイラー展開はすべての係数が $0$ 、つまり恒等的に $0$ の級数ですが、 $f$ 自身は $0$ でないので両者は一致しません。無限回微分可能なのに解析的でない、という微妙な例です。

理解の確認

$\sum_{n = 0}^{\infty} n! x^{n}$ の収束半径はいくつでしょうか。

$R = \infty$ 。すべての $x$ で収束する
$R = 1$ 。多くのべき級数と同じく単位区間で収束する
$R = 0$ 。 $x = 0$ でしか収束しない

__RESULT__

比の公式で $\frac{c _{n}}{c _{n + 1}} = \frac{n !}{( n + 1 )!} = \frac{1}{n + 1} \to 0$ なので、収束半径は $R = 0$ です。係数 $n!$ の増え方が速すぎて、 $x \neq = 0$ ではどんなに小さな $x$ でも項が発散してしまい、中心の一点でしか収束しません。階乗が分子にある級数の特徴です。

複素数への拡張と特異点までの距離

べき級数は、変数を複素数にしてもそのまま定義でき、収束する範囲は複素平面上の円板 $∣ z - a ∣ < R$ になります。実数の区間だったものが複素数では文字どおり半径 $R$ の円板になり、収束半径という名前の由来もここにあります。

この複素の視点は、実数のままでは不思議に見えた事実を説明します。 $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ は実数直線上ではどこでもなめらかで、特異な点は見当たりません。それなのに $0$ を中心とする展開の収束半径は $R = 1$ にとどまります。理由は複素平面を見ればわかります。 $\frac{1}{1 + z ^{2}}$ は $z = \pm i$ で分母が $0$ になって発散する、すなわち特異点をもつのです。この特異点は原点から距離 $1$ にあり、収束半径はちょうどその距離に一致します。一般に、収束半径は中心からもっとも近い特異点までの距離に等しく、 $e^{x}$ が全平面で特異点をもたないから $R = \infty$ 、 $\frac{1}{1 - x}$ が $x = 1$ に特異点をもつから $R = 1$ 、というように、円板の大きさは特異点の位置で決まります。実数の収束半径の秘密は、複素平面に上がって初めて見えてくるのです。

べき級数の収束半径を、コーシー・アダマールと比の公式から豊富な計算例で解説します。基本の等比・指数・階乗級数、係数や底を変えた例、端点の収束判定、アーベルの定理、項別微分・積分、二項級数、代表的な関数の展開、収束半径と特異点までの距離まで、20 以上の計算例で学べます。