べき級数と収束半径

べき級数は多項式の自然な拡張であり、関数を無限次の多項式として表現する方法です。

べき級数の定義

$a$ を中心とするべき級数とは

$n = 0 \sum \infty c_{n} (x - a)^{n} = c_{0} + c_{1} (x - a) + c_{2} (x - a)^{2} + \dots$

の形の級数です。 $c_{n}$ を係数といいます。 $a = 0$ のときは $\sum c_{n} x^{n}$ となります。

べき級数の収束域は中心 $a$ のまわりの区間（または一点 ${a}$ 、または全実数）になります。

収束半径 $R$ は、 $∣ x - a ∣ < R$ で収束、 $∣ x - a ∣ > R$ で発散となる非負の実数（または $\infty$ ）です。 $∣ x - a ∣ = R$ での収束・発散は個別に調べる必要があります。

コーシー・アダマールの公式：

$\frac{1}{R} = n \to \infty lim sup n ∣ c_{n} ∣$

比の極限が存在する場合：

$R = n \to \infty lim \frac{c _{n}}{c _{n + 1}}$

$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ ： $c_{n} = 1$ より $R = 1$ 。 $∣ x ∣ < 1$ で収束し、和は $\frac{1}{1 - x}$ 。

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n !}$ ： $\frac{c _{n}}{c _{n + 1}} = n + 1 \to \infty$ より $R = \infty$ 。すべての $x$ で収束し、和は $e^{x}$ 。

$\sum_{n = 0}^{\infty} n! x^{n}$ ： $\frac{c _{n}}{c _{n + 1}} = \frac{1}{n + 1} \to 0$ より $R = 0$ 。 $x = 0$ でのみ収束。

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n}$ ： $R = 1$ 。 $x = 1$ で調和級数となり発散、 $x = - 1$ で交代級数となり収束。

収束半径の内部 $∣ x - a ∣ < R$ では、べき級数は何回でも微分・積分でき、項別に操作できます。

$(n = 0 \sum \infty c_{n} (x - a)^{n})^{'} = n = 1 \sum \infty n c_{n} (x - a)^{n - 1}$

$\int n = 0 \sum \infty c_{n} (x - a)^{n} d x = n = 0 \sum \infty \frac{c _{n}}{n + 1} (x - a)^{n + 1} + C$

微分や積分をしても収束半径は変わりません。

収束するべき級数で表せる関数を解析関数といいます。 $e^{x}$ , $sin x$ , $cos x$ , $lo g (1 + x)$ などは解析関数です。

解析関数は無限回微分可能で、テイラー展開と一致します。逆に、無限回微分可能でも解析関数とは限りません（ $e^{- 1/ x^{2}}$ の例）。

収束域の共通部分では、べき級数同士の和・積・商（分母が $0$ でない範囲）が計算できます。

$\sum a_{n} x^{n} + \sum b_{n} x^{n} = \sum (a_{n} + b_{n}) x^{n}$

$(\sum a_{n} x^{n}) (\sum b_{n} x^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}) x^{n}$

べき級数は複素数でも同様に定義でき、収束域は複素平面上の円板 $∣ z - a ∣ < R$ になります。複素解析ではべき級数が中心的な役割を果たします。