開集合を全部書かずに位相を決める（基底と準基底）

$\mathbb{R}$ の開集合を全部書き出すのは無理です。ところが開区間だけを渡せば、残りは和集合で作れます^[1]。

この「渡すだけで足りる族」が基底。さらに少なく、有限交叉を許して渡すのが準基底です^[3]。

基底の定義

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の開集合の族 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{O}$ が基底であるとは、どの開集合も $\mathcal{B}$ の元の和として書けることをいいます^[3]。

同じことを点で言いかえると使いやすくなります。どの開集合 $U$ とどの $x\in U$ に対しても、$x\in B\subseteq U$ となる $B\in \mathcal{B}$ がある^[1]。

こちらの形なら、各点で 1 つずつ $B_x$ を選んで和をとれば $U={\bigcup }_{x\in U}{B}_x$ になります。

位相を先に決めなくてもよい

集合 $X$ の部分集合の族 $\mathcal{B}$ が、次の 2 条件を満たすとします^[1]。

このとき $\mathcal{B}$ の元の和として書ける集合の全体は、$X$ 上の位相になります^[1]。$\mathcal{B}$ から生成された位相と呼びます。

2 番目が有限交叉の条件を支えています。$B_1\cap B_2$ そのものが $\mathcal{B}$ に入っていなくても、中に基底の元が敷きつめられていればよい。

基底かどうかを見分ける

すでに位相が入っている空間で、開集合の族 $\mathcal{C}$ が基底かどうかを判定したいとします。

条件は 1 つ。どの開集合 $U$ とどの $x\in U$ にも、$x\in C\subseteq U$ となる $C\in \mathcal{C}$ がある^[1]。

言いかえると、$\mathcal{C}$ が各点で局所基になっていること。基底とは、すべての点で同時に局所基になっている族です^[3]。

例：実数直線の基底

開区間の全体 $\{(a,b):a<b\}$ は $\mathbb{R}$ の基底です。定義からすぐ出ます。

端点を有理数に限った $\{(p,q):p,q\in \mathbb{Q}\}$ も基底になります。どの実数のまわりにも、有理数を端点とする区間が入るからです。

こちらは可算集合。基底の濃度の最小値を空間の重さと呼び、$\mathbb{R}$ の重さは可算です^[3]。可算な基底を持つ空間を第二可算空間といいます。

準基底

族 $\mathcal{S}$ が準基底であるとは、$\mathcal{S}$ の元の有限交叉全体が基底になることをいいます^[3]。

条件が基底より軽くなります。全体を覆いさえすれば、交叉の条件は自動で満たされる。

つまり位相を指定するのに要る材料は、さらに少なくて済みます。

例：半直線から通常の位相を作る

$\mathbb{R}$ で、左向きの半直線 $(-\infty ,a)$ と右向きの半直線 $(b,\infty )$ を全部集めます。

有限交叉をとると $(b,a)=(-\infty ,a)\cap (b,\infty )$ が出ます。開区間が作れたので、生成される位相は通常の位相です。

半直線 2 種類という、ずいぶん少ない材料で足りている。これが準基底の使いどころです。

例：上極限位相

半直線の片側だけを閉じてみます。$(-\infty ,a]$ と $(b,\infty )$ を準基底にとる^[2]。

有限交叉は $(b,a]$ の形になります。左が開いて右が閉じた区間が基底になり、通常の位相とは違う位相が出てくる。

この位相では $\mathbb{Q}$ が稠密ですが、可算な基底は持てません。距離化もできない^[2]。準基底を少し変えるだけで、空間の性質が大きく変わります。

例：積位相の準基底

積空間 ${\prod }_{\alpha }{X}_{\alpha }$ では、射影の逆像 ${\pi }_{\alpha }^{-1}(U_{\alpha })$ の全体が準基底になります。

有限交叉をとると、有限個の座標だけを制限した集合が出ます。これが積位相の基底です。

準基底の言葉で定義しておくと、「有限個しか動かさない」という積位相の特徴が定義そのものに書きこまれる。無限個の積を扱うときの要になります。

位相の細かさを基底で比べる

$\mathcal{B}$ と ${\mathcal{B}}^{\prime }$ がそれぞれ位相 $\mathcal{O}$ と ${\mathcal{O}}^{\prime }$ の基底だとします。

${\mathcal{O}}^{\prime }$ が $\mathcal{O}$ より細かいことと、次が同値になります^[1]。どの $x$ とどの $B\in \mathcal{B}$ で $x\in B$ となるものに対しても、$x\in B^{\prime }\subseteq B$ となる $B^{\prime }\in {\mathcal{B}}^{\prime }$ がある。

基底どうしを見比べるだけで、位相の包含が判定できる。開集合を全部見る必要がありません。

例：離散位相と密着位相

離散位相では $\{\{x\}:x\in X\}$ が基底です。どの部分集合も一点集合の和として書けます。

密着位相では $\{X\}$ の 1 個だけ。開集合が $\varnothing$ と $X$ しかないので、これで足ります。

基底の大きさが、位相の細かさの目安になります。重さが小さいほど、少ない材料で位相が決まる^[3]。

位相を渡すのに、開集合を全部並べる必要はありません。基底なら和で、準基底なら交叉と和で、残りが自動的に決まります。

出典