位相空間を定義するとき、開集合系をすべて直接指定するのは煩雑です。基底や準基底を用いると、少ない情報から位相を効率的に生成できます。
基底の定義
位相空間 に対し、 の部分集合 が基底（base）であるとは、任意の開集合 が の元の和集合として表せることをいいます。すなわち、任意の と任意の に対して、 を満たす が存在します。
基底から位相を生成する条件
集合 上の集合族 が位相の基底となるための必要十分条件は次の2つです。
の元の和集合が 全体を覆う
任意の と任意の に対して、 を満たす が存在する
この条件を満たすとき、 の元の任意の和集合全体が位相となります。
基底の例
上の通常の位相において、開区間全体 は基底です。また、有理数を端点とする開区間 も同じ位相の基底となります。後者は可算集合であり、 が第二可算空間であることを示しています。
においては、開球体全体や開直方体全体が基底となります。
準基底の定義
集合族 が準基底（subbase）であるとは、 の元の有限交叉全体が基底となることをいいます。より直接的には、 の元の有限交叉の任意の和集合として得られる集合全体が位相を成します。
準基底は基底よりもさらに少ない情報で位相を指定できる点で便利です。
準基底の例
上で、左開半直線 と右開半直線 の和集合は準基底です。これらの有限交叉として開区間 が得られ、通常の位相が生成されます。
積位相も準基底を用いて定義されます。積空間 において、射影 （ は の開集合）の全体が準基底となります。
