連結成分と弧状連結成分

位相空間を連結な部分に分解する方法として、連結成分と弧状連結成分があります。両者は似ていますが、性質に違いがあります。

連結成分の定義

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ の点 $x$ に対して、$x$ を含む連結部分集合全体の和集合を $x$ の連結成分（connected component）といい、$C(x)$ や $C_x$ と書きます。

連結成分は $x$ を含む最大の連結部分集合です。連結集合の和集合で共通部分が空でないものは連結なので、連結成分自身も連結となります。

連結成分の性質

連結成分について次の性質が成り立ちます。

連結成分が閉集合であることは重要です。連結集合の閉包は連結なので、連結成分 $C(x)$ の閉包 $\overline{C(x)}$ も $x$ を含む連結集合となり、最大性から $\overline{C(x)}=C(x)$ が従います。

弧状連結成分の定義

点 $x$ に対して、$x$ から道で結べる点全体の集合を $x$ の弧状連結成分（path component）といいます。道で結べるという関係は同値関係なので、空間は弧状連結成分に分割されます。

連結成分と弧状連結成分の関係

各弧状連結成分は対応する連結成分に含まれます。弧状連結ならば連結だからです。

弧状連結成分が閉でない例

位相幾何学者の正弦曲線において、曲線部分 $\{(x,\sin (1/x)):0<x\le 1\}$ は弧状連結成分ですが、閉集合ではありません。その閉包は縦線分 $\{0\}\times [-1,1]$ を含みます。

連結成分が開集合となる場合

空間が局所連結であれば、各連結成分は開かつ閉となります。この場合、空間が連結成分の直和（位相的な意味での直和）に分解されます。