位相空間を連結な部分に分解する方法として、連結成分と弧状連結成分があります。両者は似ていますが、性質に違いがあります。
連結成分の定義
位相空間 の点 に対して、 を含む連結部分集合全体の和集合を の連結成分（connected component）といい、 や と書きます。
連結成分は を含む最大の連結部分集合です。連結集合の和集合で共通部分が空でないものは連結なので、連結成分自身も連結となります。
連結成分の性質
連結成分について次の性質が成り立ちます。
各連結成分は閉集合である
異なる連結成分は互いに素である
は連結成分の直和（非交和）に分解される
が連結であることと、連結成分が 全体のみであることは同値
連結成分が閉集合であることは重要です。連結集合の閉包は連結なので、連結成分 の閉包 も を含む連結集合となり、最大性から が従います。
弧状連結成分の定義
点 に対して、 から道で結べる点全体の集合を の弧状連結成分（path component）といいます。道で結べるという関係は同値関係なので、空間は弧状連結成分に分割されます。
連結成分と弧状連結成分の関係
各弧状連結成分は対応する連結成分に含まれます。弧状連結ならば連結だからです。
連結成分
常に閉集合。連結集合の閉包が連結であることから従う。空間は連結成分の非交和に分解される。
弧状連結成分
一般に閉集合とは限らない。開集合でもないことがある。連結成分の中にさらに細かく分かれて存在しうる。
弧状連結成分が閉でない例
位相幾何学者の正弦曲線において、曲線部分 は弧状連結成分ですが、閉集合ではありません。その閉包は縦線分 を含みます。
連結成分が開集合となる場合
空間が局所連結であれば、各連結成分は開かつ閉となります。この場合、空間が連結成分の直和（位相的な意味での直和）に分解されます。
