連結成分は必ず閉じるのに、弧状連結成分は閉じない

点 $x$ を含む連結集合を全部合わせると、それ自身が連結です。この最大の連結集合を $x$ の連結成分と呼びます^[1]。

道で結べるかどうかで分けたものが弧状連結成分。似た作りですが、閉じているかどうかで差が出ます。連結成分は必ず閉、弧状連結成分はそうとは限りません。

連結成分は同値類として出てくる

$X$ 上に、$x\sim y$ を「$x$ と $y$ をともに含む連結部分集合がある」と定めます^[1]。

反射律と対称律は見てのとおり。推移律は、共通点をもつ連結集合の合併が連結だという命題から出ます。

この同値関係の類が連結成分です。同値類なので互いに素で、合わせると $X$ 全体になります^[1]。

各成分が連結であることは、$x_0$ を含む連結集合の合併として書けば分かる。どれも $x_0$ を共有するので、合併も連結です。

成分は必ず閉じる

連結成分 $C$ の閉包 $\overline{C}$ は連結です。連結集合の閉包が連結だという命題がそのまま効きます^[1]。

$\overline{C}$ は $C$ を含む連結集合なので、最大性から $\overline{C}\subseteq C$。両側から挟んで $\overline{C}=C$ となり、$C$ は閉集合です。

開集合になるとは限りません。成分が有限個なら、各成分の補集合が残りの成分の合併になるので開でもある^[1]。

無限個あるときは事情が変わります。次の図で見比べます。

有理数の空間では、成分は 1 点ずつで無限個あります。1 点集合は閉ですが開ではないので、成分が開になるとは限らないと分かる^[1]。

例：カントール集合

$[0,1]$ から真ん中の $\frac{1}{3}$ を抜き、残った 2 本からまた真ん中を抜く。この操作を無限に続けた残りがカントール集合です。

どんな 2 点をとっても、そのあいだに抜かれた区間があります。だから 2 点を含む連結集合は作れず、成分は 1 点ずつ。

連結成分がすべて 1 点である空間を完全不連結と呼びます^[1]。有理数の空間、カントール集合、ゾルゲンフライ直線がその例です^[1]。

カントール集合には孤立点がありません。完全不連結でありながら、どの点も他の点の集積点になっています。

弧状連結成分

$x$ から $y$ へ道があるとき $x\approx y$ と書きます。道とは、有界閉区間からの連続写像で両端が $x$ と $y$ になるもの^[1]。

道をつなげば推移律、向きを逆にすれば対称律、定数写像で反射律。同値関係になるので、$X$ が弧状連結成分に分かれます。

弧状連結なら連結なので、各弧状連結成分は 1 つの連結成分の中に収まります。逆に、1 つの連結成分がいくつもの弧状連結成分に割れることがある^[3]。

例：位相幾何学者の正弦曲線

$S=\left\{\left(x,\sin \frac{1}{x}\right):0<x\le 1\right\}$ をとります^[2]。

$S$ は区間 $(0,1]$ の連続像なので連結。その閉包は縦線分を付け足した形になります^[1]。この集合は、2 点のあいだの既約連続体の例として 1922 年の論文にも挙げられています^[2]。

$$\overline{S}=S\cup L,L=\{(0,y):-1\le y\le 1\}$$

$\overline{S}$ は連結です。連結集合の閉包が連結だという命題から出ます。

ところが弧状連結ではありません。$L$ の点から $S$ の点へ道を引こうとすると、$x$ が $0$ に近づくにつれて $y$ が $-1$ と $1$ のあいだを振動しつづけ、連続性が壊れます^[1]。

つまり $\overline{S}$ の連結成分は 1 つ、弧状連結成分は $S$ と $L$ の 2 つ^[1,3]。

さらに、$S$ は $\overline{S}$ の中で開ですが閉ではない。$L$ は閉ですが開ではありません^[1]。弧状連結成分について、開閉のどちらも一般には言えないという証拠になります。

局所連結だと成分が開になる

$X$ が局所連結であるとは、どの点のどの近傍も、連結な近傍を含むことをいいます^[1]。

このとき、開集合の連結成分はつねに開集合です^[1]。とくに $X$ 自身の成分が開かつ閉になり、空間が成分の直和に分かれます。

${\mathbb{R}}^n$ の開集合は局所連結。だから成分は開で、開集合はいつでも連結な開集合の非交和に書けます。

局所弧状連結ならさらに強く、弧状連結成分と連結成分が一致します^[1]。${\mathbb{R}}^n$ の開集合で「連結なら弧状連結」と言えるのは、この事実によるもの。

局所連結と連結は独立した条件です。片方だけを満たす空間が両方向にあります^[1]。

例：正弦曲線から有理点を抜く

$\overline{S}$ の縦線分 $L$ から、$y$ が有理数の点をすべて抜いてみます^[1]。

残った空間はまだ連結ですが、弧状連結成分の個数が非可算になる。$L$ の残りの各点が、それぞれ 1 つの弧状連結成分になります。

弧状連結成分の個数は、連結成分の個数といくらでもかけ離れます。連結成分 1 つの中に、非可算個の弧状連結成分が入る。

成分に分けるところまでは、どちらの関係も同じ手順で進みます。分かれたあとの姿が違うだけ。閉じているかどうかを問われたときに、どちらの成分の話かをとり違えないことが肝心です。

参考