ティーツェの拡張定理 - 閉集合の上の関数を空間全体へ延ばす

閉集合 $F$ の上でしか決まっていない連続関数を、空間全体へ連続なまま延ばす。正規空間ならそれができます^[1]。

しかも延ばした先で値の範囲を広げなくてよい。もとの関数が $[-1,1]$ に収まっていれば、延長も $[-1,1]$ に収まります^[2]。

定理の主張

$X$ を正規空間、$F\subseteq X$ を閉集合とします。連続関数 $f:F\to [a,b]$ に対し、連続関数 $\tilde{f}:X\to [a,b]$ で $\tilde{f}{|}_F=f$ となるものが存在する^[1]。

$\tilde{f}{|}_F=f$ は、$F$ のどの点でも 2 つの関数の値が一致することを指します。

有界でない $f:F\to \mathbb{R}$ でも延長できます。値の上限と下限が保たれるという形で述べられることもある^[2]。

閉であることが効く

$F$ が閉でないと定理は崩れます。$X=\mathbb{R}$、$F=(0,1]$、$f(x)=\frac{1}{x}$ をとってみる。

$f$ は $F$ の上で連続ですが、$x\to 0$ で発散します。$0$ での値をどう決めても連続にはなりません。

$F$ が閉集合なら、$F$ の外は開集合。延長したい先が開いた領域になり、そこで値を作る余地が生まれます。

証明の骨組み

値域を $[-1,1]$ に正規化して考えます。$f:F\to [-1,1]$ が連続だとする^[1]。

$A=f^{-1}\left(\left[-1,-\frac{1}{3}\right]\right)$ と $B=f^{-1}\left(\left[\frac{1}{3},1\right]\right)$ をとります。どちらも $F$ の閉集合で、$F$ が閉なので $X$ でも閉。互いに素です。

ウリゾーンの補題から、$A$ で $-\frac{1}{3}$、$B$ で $\frac{1}{3}$ をとる連続関数 $g_1:X\to \left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]$ が作れます^[3]。

このとき $F$ の上で $|f-g_1|\le \frac{2}{3}$。値域が $\frac{2}{3}$ 倍に縮みました。

誤差が 3 分の 2 ずつ縮む

同じ操作を $f-g_1$ に当てます。$n$ 回繰り返すと誤差は ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ になる^[1]。

各段の $g_n$ は ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}\cdot \frac{1}{3}$ 以下の大きさです。だから級数 $\sum g_n$ は比較判定で一様収束する。

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}=1$$

和が $1$ にちょうど収まるので、$\tilde{f}=\sum g_n$ の値域は $[-1,1]$ を出ません^[2]。連続関数の一様極限は連続なので、$\tilde{f}$ も連続です。

$F$ の上では $|f-{\sum }_{n\le N}{g}_n|\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^N\to 0$ となり、$\tilde{f}{|}_F=f$ が出ます。

有界でない場合

$\mathbb{R}$ と開区間 $(-1,1)$ は同相です。$f:F\to \mathbb{R}$ をこの同相で $(-1,1)$ へ移し、有界版を当てる^[2]。

問題が 1 つ残ります。得られた延長 $h:X\to [-1,1]$ が、$F$ の外で $\pm 1$ をとるかもしれない。そのままでは $\mathbb{R}$ へ戻せません。

そこで $D=h^{-1}(\{-1,1\})$ をとります。これは $F$ と交わらない閉集合なので、ウリゾーンの補題で $F$ の上で $1$、$D$ の上で $0$ をとる関数 $u$ が作れる^[3]。

$u\cdot h$ に置きかえると値が $(-1,1)$ に収まり、$F$ の上では変わりません。同相で戻せば非有界版の完成です。

正規性の言いかえになる

拡張ができることは、正規性と同じ強さです^[2]。

$T_1$ 空間 $X$ で、どの閉集合 $F$ とどの連続関数 $f:F\to [0,1]$ に対しても延長がとれるなら、$X$ は正規になります。

互いに素な閉集合 $C,D$ をとり、$F=C\cup D$ の上で $C$ に $0$、$D$ に $1$ を割り当てる関数を考える。$F$ が閉で、この関数は連続。延長すればウリゾーン関数が手に入ります。

補題は特別な形の関数を 1 つ作るだけ、拡張定理は与えられた関数をそのまま延ばす。強さの差はそこにあります。

例：区間の上の関数を延ばす

$X=\mathbb{R}$、$F=[0,1]$、$f(x)=x^2$ をとります。$\mathbb{R}$ は距離空間なので正規です。

延長のいちばん簡単な形は、外側を定数で埋めること。$x<0$ で $0$、$x>1$ で $1$ と決めれば連続につながります。

延長は一意ではありません。$F$ の外での作り方に自由度があるので、いくらでも別の延長が作れる。定理が主張するのは存在だけです。

例：延ばせない状況

正規でない空間では失敗します。拡張ができることが正規性と同値なので、正規でなければ延ばせない組が必ず存在する^[2]。

正規性を落とすと、閉集合を分ける関数さえ作れません。ウリゾーンの補題が使えないと、証明の第一歩が踏み出せない。

応用のいきさき

多様体の上で 1 の分割を作るとき、局所的に定めた関数を大域へ運ぶ道具として使われます。

微分幾何ではホイットニーの拡張定理という強い版があり、微分可能性まで込めて延長します。位相のほうの拡張定理は、その原型にあたる^[1]。

歴史のうえでは、ブラウワーとルベーグがユークリッド空間で示し、ティーツェが距離空間へ、ウリゾーンが一般の位相空間へ広げました^[2]。

閉集合の上で決まっていれば、外側は正規性が引き受けてくれる。局所的な情報を大域へ持ち上げる型の議論が、この定理から始まります。

参考