Tietzeの拡張定理

Tietzeの拡張定理は、正規空間の閉部分集合上で定義された連続関数を空間全体に拡張できることを主張します。Urysohnの補題を発展させた結果です。

定理の主張

$(X,\mathcal{O})$ を正規空間、$F\subseteq X$ を閉集合とする。$F$ 上の連続関数 $f:F\to [a,b]$ に対して、連続関数 $\tilde{f}:X\to [a,b]$ で $\tilde{f}{|}_F=f$ を満たすものが存在する。

ここで $\tilde{f}{|}_F=f$ は、$F$ 上で $\tilde{f}$ と $f$ が一致すること、すなわち任意の $x\in F$ に対して $\tilde{f}(x)=f(x)$ が成り立つことを意味します。

有界でない場合への拡張

$f:F\to \mathbb{R}$ が有界でない連続関数の場合も、$\tilde{f}:X\to \mathbb{R}$ への拡張が存在します。

$\mathbb{R}$ と開区間 $(-1,1)$ は同相なので、まず $f$ を有界関数に変換し、Tietzeの定理を適用してから元に戻すことで示せます。

証明の概略

証明はUrysohnの補題を繰り返し用いて、$f$ に収束する連続関数列 $\{{\tilde{f}}_n\}$ を $X$ 上で構成します。

まず $f$ の値域を3等分し、$f^{-1}([a,(2a+b)/3])$ と $f^{-1}([(a+2b)/3,b])$ という互いに素な閉集合をUrysohn関数で分離します。この関数を $g_1$ とすると、$|f-g_1{|}_F|\le (b-a)\cdot 2/3$ となります。

この操作を繰り返すと誤差が $(2/3{)}^n$ のオーダーで減少し、極限として拡張 $\tilde{f}$ が得られます。

Tietzeの拡張定理の応用

Tietzeの定理は解析学や微分トポロジーで広く用いられます。

また、Tietzeの定理は正規空間を特徴づけます。T1空間 $X$ において、任意の閉集合 $F$ と連続関数 $f:F\to [0,1]$ が $X$ 全体へ拡張可能であることと、$X$ が正規であることは同値です。