近傍と近傍系の定義

位相空間における「点の周り」を捉える概念が近傍です。開集合を使わずに位相を特徴づける方法として、近傍系による公理化があります。

近傍の定義

位相空間 $(X, O)$ において、点 $x \in X$ の近傍（neighborhood）とは、 $x$ を内点として含む集合のことです。すなわち、集合 $N \subseteq X$ が $x$ の近傍であるとは、ある開集合 $U$ が存在して $x \in U \subseteq N$ を満たすことをいいます。

近傍自体は開集合である必要はありません。重要なのは、 $x$ を含む開集合を内部に持つことです。 $x$ を含む開集合はすべて $x$ の近傍であり、これを開近傍と呼びます。

近傍の例

$R$ において、閉区間 $[0, 1]$ は点 $0.5$ の近傍です。開区間 $(0.3, 0.7)$ が $0.5$ を含み、 $[0, 1]$ に含まれるからです。一方、 $[0, 1]$ は点 $0$ の近傍ではありません。 $0$ を含むどんな開区間も負の数を含み、 $[0, 1]$ に収まらないからです。

近傍系の定義

点 $x$ の近傍全体の集合を $x$ の近傍系（neighborhood system）と呼び、 $N (x)$ や $U (x)$ と書きます。近傍系は次の性質を満たします。

x \in N

が任意の

N \in N (x)

で成り立つ

N \in N (x)

かつ

N \subseteq M

ならば

M \in N (x)

N_{1}, N_{2} \in N (x)

ならば

N_{1} \cap N_{2} \in N (x)

任意の

N \in N (x)

に対して、ある

M \in N (x)

が存在し、

M

の各点

y

で

N \in N (y)

となる

4番目の条件は、近傍の「内部」が再び近傍を与えることを保証しています。

近傍系による位相の特徴づけ

集合 $X$ の各点 $x$ に上記の4条件を満たす集合族 $N (x)$ が与えられたとき、「すべての点で近傍となる集合」を開集合と定義すると位相が定まります。逆に、位相から定まる近傍系はこれらの条件を満たします。

このように、開集合と近傍系は位相空間を同等に記述する2つの方法です。

近傍基の定義

点 $x$ の近傍系 $N (x)$ の部分集合 $B (x)$ が近傍基（neighborhood base）であるとは、任意の $N \in N (x)$ に対して $B \subseteq N$ を満たす $B \in B (x)$ が存在することをいいます。

距離空間では、点 $x$ を中心とする開球体 $B (x, 1/ n)$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）が可算な近傍基を成します。第一可算空間とは、各点が可算な近傍基を持つ空間のことです。