積分してから微分すると元に戻る - 微分積分学の基本定理

定積分は長方形の和の極限として定義されます。定義をそのままなぞると、 $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ ひとつ出すのにも和の極限を扱うことになる。

ところが原始関数を 1 つ見つけて両端で引き算すれば、同じ値が 2 行で出ます。この近道を微分積分学の基本定理が保証します^[1]。

微分と積分はたがいに逆の操作である、と一言でまとめられます。ただし逆になる向きは 2 つあり、必要な仮定も別物。以下では 2 つの主張を分けて述べ、証明を書き下し、仮定を外すとどこが壊れるかまで扱います。

面積を x の関数と見る

出発点は、積分の上端を動かすことです。 $f$ を $[a, b]$ で連続とし、上端だけを変数にした関数を作ります。

$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$

$x$ が右へ進むほど、拾う面積が増えていく。 $F$ は「 $a$ から $x$ までに溜まった量」を表す関数になります。

積分変数を $t$ と書き分けたのは、上端の $x$ と混ざらないようにするためです。中身の $t$ は積分し終われば消えるので、 $F$ は $x$ だけの関数になります。

第一基本定理

$f$ が $[a, b]$ で連続なら、 $F$ は $[a, b]$ で微分可能で、導関数がもとの $f$ に戻ります^[1,2]。

$F^{'} (x) = f (x)$

積分してから微分すると元に戻る、という向きです。連続な関数は必ず原始関数を持つ、という存在の主張でもある。

高さが大きい場所ほど面積は速く溜まります。溜まる速さがそのときの高さに等しい。等式の中身はそれだけです。

証明：増分は細い短冊になる

$h > 0$ とし、差をとります。積分の区間を分ければ、余分な部分が消えて短い区間だけが残る。

$F (x + h) - F (x) = \int_{x}^{x + h} f (t) d t$

$f$ は連続なので、この短い区間で積分の平均値の定理が使えます。 $x$ と $x + h$ のあいだのどこかに $c$ があって、短冊の面積が長方形 1 枚ぶんに等しくなる^[3]。

$\frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t = f (c)$

$c$ は $x$ と $x + h$ に挟まれているので、 $h \to 0$ とすれば $c \to x$ です。 $f$ の連続性から $f (c) \to f (x)$ となり、差分商の極限が $f (x)$ になります。

$h < 0$ でも同じ議論が通ります。区間の向きが逆になるぶん符号も逆になり、割り算で打ち消し合う。

第二基本定理

こちらは計算のための主張です。 $f$ が $[a, b]$ でリーマン積分可能で、 $F$ が $[a, b]$ で連続かつ $(a, b)$ で $F^{'} = f$ を満たすとします^[1]。

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

右辺を $[F (x)]_{a}^{b}$ と略記します。ニュートン・ライプニッツの公式とも呼ばれる形です。

仮定が第一定理より弱い点に注意が要ります。 $f$ には連続性を要求せず、積分可能でありさえすればよい。

$f$ が連続なら、第一定理から原始関数の存在まで込みで言えます。実際に手を動かす場面では、こちらの系の形で使うことがほとんどです。

証明：2 つの原始関数の差は定数

$f$ が連続な場合から見ます。 $F (x) = \int_{a}^{x} f$ と置くと第一定理から $F^{'} = f$ 、仮定から $G^{'} = f$ なので、差の導関数が消えます。

$(F - G)^{'} = 0$

平均値の定理の系より、導関数が区間全体で $0$ なら関数は定数です。よって $F (x) = G (x) + C$ と書ける。

$F (a) = 0$ から $C = - G (a)$ が決まります。 $x = b$ を代入すれば主張の形になる。

$f$ が連続でない一般の場合は、分割の各小区間で平均値の定理を当てます。 $F (b) - F (a)$ を隣り合う差の和に分け、各差を $F^{'} (ξ_{k}) Δ x_{k}$ に書き換えると、右辺がちょうど $f$ のリーマン和になる。

分割を細かくすると、リーマン和は $f$ が積分可能という仮定から積分値へ収束します。左辺は分割によらず $F (b) - F (a)$ のままなので、両者が一致する。

例 1：多項式

原始関数を 1 つ見つけて両端で引くだけです。

$\int_{0}^{1} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$

定義に戻れば $\frac{1}{n ^{3}} \sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ の極限を計算することになります。和の公式を思い出す手間が、原始関数 1 つに置きかわりました。

例 2：三角関数

$\int_{0}^{π /2} cos x d x = [sin x]_{0}^{π /2} = 1$

原始関数の定数のとり方は答えに影響しません。 $sin x + 5$ を使っても、引き算で $5$ が消える。

例 3：符号が変わる場合

$\int_{0}^{2 π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{2 π} = - 1 + 1 = 0$

前半の正の面積と後半の負の面積が打ち消し合っています。基本定理は符号つきの面積を返すので、囲まれた図形の面積が欲しいときは $∣ sin x ∣$ に直してから積分します。

例 4：区間を分けて計算する

$\int_{0}^{2} ∣ x - 1∣ d x$ を出します。絶対値のままでは原始関数が書けないので、 $x = 1$ で切る。

$\int_{0}^{2} ∣ x - 1∣ d x = \int_{0}^{1} (1 - x) d x + \int_{1}^{2} (x - 1) d x$

それぞれ $\frac{1}{2}$ なので、合わせて $1$ です。 $∣ x - 1∣$ は連続なので第一定理も使え、面積関数は $x = 1$ でもなめらかにつながります。

例 5：上端が関数になっている場合

上端が $x$ そのものでなく $x^{2}$ のときは、合成関数の微分を重ねます。 $G (x) = \int_{0}^{x^{2}} sin t d t$ を微分します。

$F (u) = \int_{0}^{u} sin t d t$ と置けば $G (x) = F (x^{2})$ で、 $F^{'} = sin$ です。

$G^{'} (x) = F^{'} (x^{2}) \cdot 2 x = 2 x sin (x^{2})$

例 6：両端とも動く場合

一般に両端が動くときは、途中に定点を挟んで 2 つに割ります。

$\frac{d}{d x} \int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x)$

ライプニッツの積分則と呼ばれる形です^[2]。 $\int_{x}^{x^{2}} e^{- t^{2}} d t$ を微分すると $2 x e^{- x^{4}} - e^{- x^{2}}$ になる。

被積分関数の原始関数が初等関数で書けなくても、微分のほうは書けます。 $e^{- t^{2}}$ がその代表例です。

例 7：極限に使う

積分の形をした不定形も、基本定理で片づきます。

$x \to 0 lim \frac{1}{x ^{3}} \int_{0}^{x} t sin t d t$

分子分母とも $0$ に行くのでロピタルの定理を当てます。分子の微分は第一定理から $x sin x$ なので、式は $\frac{x sin x}{3 x ^{2}}$ になる。

$\frac{sin x}{x} \to 1$ から、極限は $\frac{1}{3}$ です。

例 8：定義に戻って確かめる

基本定理を使わずに $\int_{0}^{1} x d x$ を出し、答えを突き合わせます。区間を $n$ 等分し、右端で高さをとる。

$k = 1 \sum n \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n ^{2}} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n}$

$n \to \infty$ で $\frac{1}{2}$ になり、 $[\frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{1}$ と一致しました。1 次関数でこの手間なので、 $x^{2}$ 以上では和の公式が要ります。

仮定を外す：不連続点があると折れる

第一定理の仮定は $f$ の連続性でした。外すとどこが壊れるかを、階段状の関数で見ます。

$f (t) = {01 (t < 1) (t \geq 1)$

$f$ は不連続ですが積分はできます。面積関数は $x \leq 1$ で $0$ 、 $x > 1$ で $x - 1$ になる。

$F$ は連続で、 $x = 1$ 以外では $F^{'} = f$ が成り立ちます。ところが $x = 1$ では左右の傾きが $0$ と $1$ に分かれ、微分できません。

跳びの点だけが例外になる、という壊れ方です。飛び先が有限個なら $F$ は連続のまま折れ線になり、積分値には影響しません。

原始関数を持つのに積分できない関数

逆向きの壊れ方もあります。微分可能なのに、導関数がリーマン積分できない例です^[1]。

$F (x) = x^{2} sin \frac{1}{x ^{2}} (x \neq = 0), F (0) = 0$

原点でも $\frac{F ( h )}{h} = h sin \frac{1}{h ^{2}} \to 0$ なので微分可能で、 $F^{'} (0) = 0$ です。

ところが $x \neq = 0$ での導関数には $- \frac{2}{x} cos \frac{1}{x ^{2}}$ という項が現れます。原点に近づくと際限なく大きくなる。

リーマン積分は有界な関数にしか定義されません。 $F^{'}$ は $[0, 1]$ で有界でないので、 $\int_{0}^{1} F^{'}$ という式自体が書けない。

ヴォルテラの関数

導関数が有界でも足りません。ヴォルテラは、いたるところ微分可能で導関数が有界なのに、その導関数がリーマン積分できない関数を作りました^[4]。

作り方は $x^{2} sin \frac{1}{x}$ を種にして、正の測度を持つスミス・ヴォルテラ・カントール集合の補集合へ縮小コピーを詰めていくものです。

導関数はこの集合の各点で不連続になります。ルベーグの判定法により、不連続点の集合が正の測度を持てばリーマン積分はできない。

第二基本定理が $f$ の積分可能性を仮定に置いているのは、この種の例があるからです。原始関数の存在だけでは足りません。

積分できるのに原始関数を持たない関数

さきほどの階段関数がそれです。積分はできますが、原始関数はありません。

ダルブーの定理により、導関数は中間値の性質を持ちます。 $0$ と $1$ を値にとる導関数なら、あいだの $\frac{1}{2}$ も値にとらなければならない。

階段関数は $0$ と $1$ しか値をとらないので、どんな関数の導関数にもなれません。跳ぶ関数は原始関数を持たない、と言いかえられます。

積分できることと原始関数を持つことは、どちらも他方を含みません。2 つの性質が独立だという事実が、定理を 2 つに分けて述べる理由になっています。

第一基本定理

$f$ に連続性が要る。結論は $F$ の微分可能性と $F^{'} = f$ 。原始関数の存在を保証する

第二基本定理

$f$ に積分可能性、 $F$ に連続性と $F^{'} = f$ が要る。結論は積分値が両端の差になること

より広い積分での言いかえ

リーマン積分の枠を出ると、仮定の形が変わります。ルベーグ積分では、 $f$ が可積分なら $F (x) = \int_{a}^{x} f$ はほとんどいたるところ微分可能で、そこで $F^{'} = f$ になる^[5]。

第二定理のほうは、 $F$ に絶対連続性を課す形になります。連続なだけでは足りず、カントール関数が反例です。

カントール関数は連続で単調、ほとんどいたるところ導関数が $0$ です。それでも $0$ から $1$ まで値が $1$ だけ増えるので、 $\int_{0}^{1} F^{'} = 0 \neq = F (1) - F (0)$ となる。

ヘンストック・クルツヴァイル積分まで広げると、余計な仮定なしで両方の主張が書けます。微分可能でありさえすれば導関数は積分可能になり、第二定理がそのまま成り立つ。

誰が最初に見つけたか

グレゴリーが初等的な形の主張と証明を最初に発表し、バローがより一般の形を示しました^[1]。

ニュートンが理論として仕上げ、ライプニッツが無限小の計算体系にまとめて、いまも使う記号を導入します。 $\int$ の記号もライプニッツによるものです。

面積を求める問題と接線を引く問題は、もともと別々に研究されていました。この 2 つが逆の操作だと分かった時点で、個別の工夫が 1 本の手続きに置きかわった。

$\frac{d}{d x} \int_{1}^{x^{3}} \frac{d t}{1 + t ^{4}}$ を求めるとどうなりますか。

$\frac{1}{1 + x ^{4}}$
$\frac{3 x ^{2}}{1 + x ^{12}}$
$\frac{3 x ^{2}}{1 + x ^{4}}$

__RESULT__

上端が $x^{3}$ なので、第一基本定理に合成関数の微分が重なります。被積分関数の $t$ に $x^{3}$ を入れて $\frac{1}{1 + x ^{12}}$ 、それに上端の微分 $3 x^{2}$ を掛けた形です。

よくある誤り

第一定理と第二定理を同じ主張だと思う。仮定も結論も別で、どちらも他方を含みません。

上端が

x^{2}

のとき

f (x^{2})

で終わりにする。上端の微分を掛ける必要があります。

不定積分と定積分を混同する。前者は関数の集まり、後者は数です。

\int_{a}^{b} f

を「囲まれた図形の面積」と読む。符号つきなので、負の部分は引かれます。

原始関数を持てば積分できると思う。

x^{2} sin \frac{1}{x ^{2}}

の導関数が反例です。

積分できれば原始関数を持つと思う。跳ぶ関数はダルブーの定理から反例になります。

積分定数を書き落とす。定積分では消えますが、不定積分では答えの一部です。

どちらの定理を使っているのかを毎回確かめる。仮定の違いを押さえておけば、反例が出てくる場面でも迷いません。

参考文献

^[1] が 2 つの定理の主張と仮定、歴史、反例の全体、^[2] がドイツ語での定式化と平均値の定理による証明、^[3] が積分の平均値の定理、^[4] がヴォルテラの関数、^[5] がルベーグ積分と絶対連続性への一般化です。

Fundamental theorem of calculus - Wikipedia

Fundamentalsatz der Analysis - Wikipedia

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung - Mathe für Nicht-Freaks

Volterra's function - Wikipedia

Théorème fondamental de l'analyse - Wikipédia

連続な関数を積分してから微分すると、もとの関数に戻ります。溜まる速さがそのときの高さに等しいため。証明は積分の平均値の定理 1 本で終わる。もう一方は計算のための主張で、原始関数を両端で引けば定積分が出ます。仮定は積分可能性だけで、連続性は要らない。上端が $x^2$ のときの微分、両端が動くライプニッツの積分則、区間を分ける計算など 8 例。跳ぶ関数を積分すると面積関数が折れる話、原始関数を持つのに積分できない例、導関数が有界でも積分できないヴォルテラの関数まで扱いました。