積分してから微分すると元に戻る - 微分積分学の基本定理

定積分は長方形の和の極限として定義されます。定義をそのままなぞると、${\int }_0^1{x}^{2}dx$ ひとつ出すのにも和の極限を扱うことになる。

ところが原始関数を 1 つ見つけて両端で引き算すれば、同じ値が 2 行で出ます。この近道を微分積分学の基本定理が保証します^[1]。

微分と積分はたがいに逆の操作である、と一言でまとめられます。ただし逆になる向きは 2 つあり、必要な仮定も別物。以下では 2 つの主張を分けて述べ、証明を書き下し、仮定を外すとどこが壊れるかまで扱います。

面積を x の関数と見る

出発点は、積分の上端を動かすことです。$f$ を $[a,b]$ で連続とし、上端だけを変数にした関数を作ります。

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

$x$ が右へ進むほど、拾う面積が増えていく。$F$ は「$a$ から $x$ までに溜まった量」を表す関数になります。

積分変数を $t$ と書き分けたのは、上端の $x$ と混ざらないようにするためです。中身の $t$ は積分し終われば消えるので、$F$ は $x$ だけの関数になります。

第一基本定理

$f$ が $[a,b]$ で連続なら、$F$ は $[a,b]$ で微分可能で、導関数がもとの $f$ に戻ります^[1,2]。

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

積分してから微分すると元に戻る、という向きです。連続な関数は必ず原始関数を持つ、という存在の主張でもある。

高さが大きい場所ほど面積は速く溜まります。溜まる速さがそのときの高さに等しい。等式の中身はそれだけです。

証明：増分は細い短冊になる

$h>0$ とし、差をとります。積分の区間を分ければ、余分な部分が消えて短い区間だけが残る。

$$F(x+h)-F(x)={\int }_x^{x+h}f(t)dt$$

$f$ は連続なので、この短い区間で積分の平均値の定理が使えます。$x$ と $x+h$ のあいだのどこかに $c$ があって、短冊の面積が長方形 1 枚ぶんに等しくなる^[3]。

$$\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(t)dt=f(c)$$

$c$ は $x$ と $x+h$ に挟まれているので、$h\to 0$ とすれば $c\to x$ です。$f$ の連続性から $f(c)\to f(x)$ となり、差分商の極限が $f(x)$ になります。

$h<0$ でも同じ議論が通ります。区間の向きが逆になるぶん符号も逆になり、割り算で打ち消し合う。

第二基本定理

こちらは計算のための主張です。$f$ が $[a,b]$ でリーマン積分可能で、$F$ が $[a,b]$ で連続かつ $(a,b)$ で $F^{\prime }=f$ を満たすとします^[1]。

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

右辺を $[F(x){]}_a^b$ と略記します。ニュートン・ライプニッツの公式とも呼ばれる形です。

仮定が第一定理より弱い点に注意が要ります。$f$ には連続性を要求せず、積分可能でありさえすればよい。

$f$ が連続なら、第一定理から原始関数の存在まで込みで言えます。実際に手を動かす場面では、こちらの系の形で使うことがほとんどです。

証明：2 つの原始関数の差は定数

$f$ が連続な場合から見ます。$F(x)={\int }_a^{x}f$ と置くと第一定理から $F^{\prime }=f$、仮定から $G^{\prime }=f$ なので、差の導関数が消えます。

$$(F-G{)}^{\prime }=0$$

平均値の定理の系より、導関数が区間全体で $0$ なら関数は定数です。よって $F(x)=G(x)+C$ と書ける。

$F(a)=0$ から $C=-G(a)$ が決まります。$x=b$ を代入すれば主張の形になる。

$f$ が連続でない一般の場合は、分割の各小区間で平均値の定理を当てます。$F(b)-F(a)$ を隣り合う差の和に分け、各差を $F^{\prime }({\xi }_k)\Delta x_k$ に書き換えると、右辺がちょうど $f$ のリーマン和になる。

分割を細かくすると、リーマン和は $f$ が積分可能という仮定から積分値へ収束します。左辺は分割によらず $F(b)-F(a)$ のままなので、両者が一致する。

例 1：多項式

原始関数を 1 つ見つけて両端で引くだけです。

$${\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{3}$$

定義に戻れば $\frac{1}{n^3}{\sum }_{k=1}^n{k}^2$ の極限を計算することになります。和の公式を思い出す手間が、原始関数 1 つに置きかわりました。

例 2：三角関数

$${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=[\sin x{]}_0^{\pi /2}=1$$

原始関数の定数のとり方は答えに影響しません。$\sin x+5$ を使っても、引き算で $5$ が消える。

例 3：符号が変わる場合

$${\int }_0^{2\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{2\pi }=-1+1=0$$

前半の正の面積と後半の負の面積が打ち消し合っています。基本定理は符号つきの面積を返すので、囲まれた図形の面積が欲しいときは $|\sin x|$ に直してから積分します。

例 4：区間を分けて計算する

${\int }_0^2|x-1|dx$ を出します。絶対値のままでは原始関数が書けないので、$x=1$ で切る。

$${\int }_0^2|x-1|dx={\int }_0^1(1-x)dx+{\int }_1^2(x-1)dx$$

それぞれ $\frac{1}{2}$ なので、合わせて $1$ です。$|x-1|$ は連続なので第一定理も使え、面積関数は $x=1$ でもなめらかにつながります。

例 5：上端が関数になっている場合

上端が $x$ そのものでなく $x^2$ のときは、合成関数の微分を重ねます。$G(x)={\int }_0^{x^2}\sin tdt$ を微分します。

$F(u)={\int }_0^u\sin tdt$ と置けば $G(x)=F(x^2)$ で、$F^{\prime }=\sin$ です。

$$G^{\prime }(x)=F^{\prime }(x^2)\cdot 2x=2x\sin (x^2)$$

例 6：両端とも動く場合

一般に両端が動くときは、途中に定点を挟んで 2 つに割ります。

$$\frac{d}{dx}{\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x)$$

ライプニッツの積分則と呼ばれる形です^[2]。${\int }_x^{x^2}{e}^{-t^2}dt$ を微分すると $2x{e}^{-x^4}-e^{-x^2}$ になる。

被積分関数の原始関数が初等関数で書けなくても、微分のほうは書けます。$e^{-t^2}$ がその代表例です。

例 7：極限に使う

積分の形をした不定形も、基本定理で片づきます。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^3}{\int }_0^{x}t\sin tdt$$

分子分母とも $0$ に行くのでロピタルの定理を当てます。分子の微分は第一定理から $x\sin x$ なので、式は $\frac{x\sin x}{3x^2}$ になる。

$\frac{\sin x}{x}\to 1$ から、極限は $\frac{1}{3}$ です。

例 8：定義に戻って確かめる

基本定理を使わずに ${\int }_0^{1}xdx$ を出し、答えを突き合わせます。区間を $n$ 等分し、右端で高さをとる。

$$\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$$

$n\to \infty$ で $\frac{1}{2}$ になり、${\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^1$ と一致しました。1 次関数でこの手間なので、$x^2$ 以上では和の公式が要ります。

仮定を外す：不連続点があると折れる

第一定理の仮定は $f$ の連続性でした。外すとどこが壊れるかを、階段状の関数で見ます。

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}0& (t<1)\\ 1& (t\ge 1)\end{array}$$

$f$ は不連続ですが積分はできます。面積関数は $x\le 1$ で $0$、$x>1$ で $x-1$ になる。

$F$ は連続で、$x=1$ 以外では $F^{\prime }=f$ が成り立ちます。ところが $x=1$ では左右の傾きが $0$ と $1$ に分かれ、微分できません。

跳びの点だけが例外になる、という壊れ方です。飛び先が有限個なら $F$ は連続のまま折れ線になり、積分値には影響しません。

原始関数を持つのに積分できない関数

逆向きの壊れ方もあります。微分可能なのに、導関数がリーマン積分できない例です^[1]。

$$F(x)=x^2\sin \frac{1}{x^2}(x\ne 0),F(0)=0$$

原点でも $\frac{F(h)}{h}=h\sin \frac{1}{h^2}\to 0$ なので微分可能で、$F^{\prime }(0)=0$ です。

ところが $x\ne 0$ での導関数には $-\frac{2}{x}\cos \frac{1}{x^2}$ という項が現れます。原点に近づくと際限なく大きくなる。

リーマン積分は有界な関数にしか定義されません。$F^{\prime }$ は $[0,1]$ で有界でないので、${\int }_0^1{F}^{\prime }$ という式自体が書けない。

ヴォルテラの関数

導関数が有界でも足りません。ヴォルテラは、いたるところ微分可能で導関数が有界なのに、その導関数がリーマン積分できない関数を作りました^[4]。

作り方は $x^2\sin \frac{1}{x}$ を種にして、正の測度を持つスミス・ヴォルテラ・カントール集合の補集合へ縮小コピーを詰めていくものです。

導関数はこの集合の各点で不連続になります。ルベーグの判定法により、不連続点の集合が正の測度を持てばリーマン積分はできない。

第二基本定理が $f$ の積分可能性を仮定に置いているのは、この種の例があるからです。原始関数の存在だけでは足りません。

積分できるのに原始関数を持たない関数

さきほどの階段関数がそれです。積分はできますが、原始関数はありません。

ダルブーの定理により、導関数は中間値の性質を持ちます。$0$ と $1$ を値にとる導関数なら、あいだの $\frac{1}{2}$ も値にとらなければならない。

階段関数は $0$ と $1$ しか値をとらないので、どんな関数の導関数にもなれません。跳ぶ関数は原始関数を持たない、と言いかえられます。

積分できることと原始関数を持つことは、どちらも他方を含みません。2 つの性質が独立だという事実が、定理を 2 つに分けて述べる理由になっています。

より広い積分での言いかえ

リーマン積分の枠を出ると、仮定の形が変わります。ルベーグ積分では、$f$ が可積分なら $F(x)={\int }_a^{x}f$ はほとんどいたるところ微分可能で、そこで $F^{\prime }=f$ になる^[5]。

第二定理のほうは、$F$ に絶対連続性を課す形になります。連続なだけでは足りず、カントール関数が反例です。

カントール関数は連続で単調、ほとんどいたるところ導関数が $0$ です。それでも $0$ から $1$ まで値が $1$ だけ増えるので、${\int }_0^1{F}^{\prime }=0\ne F(1)-F(0)$ となる。

ヘンストック・クルツヴァイル積分まで広げると、余計な仮定なしで両方の主張が書けます。微分可能でありさえすれば導関数は積分可能になり、第二定理がそのまま成り立つ。

誰が最初に見つけたか

グレゴリーが初等的な形の主張と証明を最初に発表し、バローがより一般の形を示しました^[1]。

ニュートンが理論として仕上げ、ライプニッツが無限小の計算体系にまとめて、いまも使う記号を導入します。$\int$ の記号もライプニッツによるものです。

面積を求める問題と接線を引く問題は、もともと別々に研究されていました。この 2 つが逆の操作だと分かった時点で、個別の工夫が 1 本の手続きに置きかわった。

よくある誤り

どちらの定理を使っているのかを毎回確かめる。仮定の違いを押さえておけば、反例が出てくる場面でも迷いません。

参考文献

^[1] が 2 つの定理の主張と仮定、歴史、反例の全体、^[2] がドイツ語での定式化と平均値の定理による証明、^[3] が積分の平均値の定理、^[4] がヴォルテラの関数、^[5] がルベーグ積分と絶対連続性への一般化です。