微分積分学の基本定理

微分積分学の基本定理は、微分と積分が互いに逆の操作であることを示す定理です。この定理により、積分の計算が原始関数を求める問題に帰着します。

第一基本定理（積分の微分）

$f$ を $[a, b]$ で連続な関数とし、 $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ と定義します。このとき $F$ は $[a, b]$ で微分可能で

$F^{'} (x) = f (x)$

が成り立ちます。

つまり、連続関数を積分してから微分すると元の関数に戻ります。

$\frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t$

積分の平均値の定理より、ある $c$ が $x$ と $x + h$ の間に存在して

$\frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t = f (c)$

$h \to 0$ のとき $c \to x$ であり、 $f$ の連続性より $f (c) \to f (x)$ です。よって $F^{'} (x) = f (x)$ を得ます。

$f$ が $[a, b]$ で連続とし、 $G$ を $f$ の任意の原始関数（ $G^{'} = f$ ）とします。このとき

$\int_{a}^{b} f (x) d x = G (b) - G (a)$

右辺を $[G (x)]_{a}^{b}$ や $G (x)_{a}^{b}$ とも書きます。

$F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ とおくと、第一基本定理より $F^{'} = f = G^{'}$ です。よって $(F - G)^{'} = 0$ であり、平均値の定理の系より $F - G$ は定数です。

$F (a) = 0$ より $F (x) = G (x) - G (a)$ です。 $x = b$ とおくと

$\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) = G (b) - G (a)$

$\int_{0}^{1} x^{2} d x$ を計算します。 $x^{2}$ の原始関数は $\frac{x ^{3}}{3}$ なので

$\int_{0}^{1} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$

$\int_{0}^{π /2} cos x d x$ を計算します。 $cos x$ の原始関数は $sin x$ なので

$\int_{0}^{π /2} cos x d x = [sin x]_{0}^{π /2} = 1 - 0 = 1$

$f$ の原始関数全体を $f$ の不定積分といい、 $\int f (x) d x$ と書きます。原始関数は定数の差を除いて一意なので

$\int f (x) d x = F (x) + C$

と書きます（ $C$ は積分定数）。

基本定理により、定積分の計算は不定積分を求めることに帰着します。

第一基本定理は「積分してから微分すると元に戻る」： $\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$

第二基本定理は「原始関数が分かれば定積分が計算できる」： $\int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)$

この二つの定理により、微分と積分は互いに逆の操作であることが明確になります。