逆関数定理と陰関数定理

逆関数定理と陰関数定理は、多変数の微分法における基本的な存在定理です。非線型方程式を局所的に解くことを保証します。

逆関数定理

$F : R^{n} \to R^{n}$ を $C^{1}$ 級写像とし、 $a$ でヤコビ行列 $D F (a)$ が正則（行列式が $0$ でない）とします。

このとき、 $a$ の近傍 $U$ と $F (a)$ の近傍 $V$ が存在して、 $F : U \to V$ は $C^{1}$ 級の逆写像 $F^{- 1} : V \to U$ をもちます。さらに

$D (F^{- 1}) (b) = (D F (F^{- 1} (b)))^{- 1}$

が成り立ちます。

$f : R \to R$ で $f^{'} (a) \neq = 0$ ならば、 $a$ の近傍で $f$ は逆関数をもちます。これは1変数の逆関数の微分の一般化です。

$F (x, y) = (u, v) = (x^{2} - y^{2}, 2 x y)$ （複素数の2乗に対応）を考えます。

$D F = (2 x 2 y - 2 y 2 x), det (D F) = 4 (x^{2} + y^{2})$

$(x, y) \neq = (0, 0)$ で $det \neq = 0$ なので、原点以外の各点の近傍で逆写像が存在します。

$F : R^{n + m} \to R^{m}$ を $C^{1}$ 級写像とし、 $F (a, b) = 0$ を満たす点で

$\frac{\partial F}{\partial y} (a, b)$

が正則とします。ここで $x \in R^{n}$ , $y \in R^{m}$ です。

このとき、 $a$ の近傍で定義された $C^{1}$ 級関数 $g : R^{n} \to R^{m}$ が存在して、 $g (a) = b$ かつ $F (x, g (x)) = 0$ を満たします。

方程式 $F (x, y) = 0$ から、 $y$ を $x$ の関数として局所的に解けることを保証しています。

$F (x, y) = x^{2} + y^{2} - 1 = 0$ を考えます。 $(0, 1)$ で $F_{y} = 2 y = 2 \neq = 0$ なので、この点の近傍で $y = g (x)$ と解けます。実際 $y = 1 - x^{2}$ です。

一方 $(1, 0)$ では $F_{y} = 0$ なので定理は適用できません。この点で円は $x$ 軸に接しており、 $y$ を $x$ の関数として表せません。

$F (x, y) = 0$ から決まる $y = g (x)$ の導関数は、 $F (x, g (x)) = 0$ を $x$ で微分して

$F_{x} + F_{y} \frac{d y}{d x} = 0 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = - \frac{F _{x}}{F _{y}}$

逆関数定理から陰関数定理を導くことができ、逆も可能です。両定理は本質的に同等です。

$F (x, y) = 0$ を解くことは、写像 $(x, y) \mapsto (x, F (x, y))$ の逆写像を求めることに帰着します。

これらの定理は、微分方程式の解の存在、多様体の局所的パラメータ付け、最適化問題のラグランジュの未定乗数法の正当化など、解析学の様々な場面で使われます。