逆関数の微分｜定義からの証明と逆三角関数の導関数

逆関数の導関数は、もとの関数の導関数の逆数になります。式としては一行ですが、成り立つ理由と成り立たなくなる場面を押さえておかないと、使える場面を見誤ります。

対数関数と逆三角関数の導関数は、どれもこの公式から出てきます。定義に戻って微分するより、もとの関数の側で計算するほうが早いからです。

逆関数の微分公式

$I$ を区間とし、$f:I\to \mathbb{R}$ を連続かつ狭義単調な関数とします。$f$ が $a\in I$ で微分可能で $f^{\prime }(a)\ne 0$ とし、$b=f(a)$ と置きます。

このとき逆関数 $f^{-1}$ は $b$ で微分可能で、導関数は次の形です。

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(a)}=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(b))}$$

仮定の置き方に注意します。$f$ の微分可能性は点 $a$ でだけ要求していて、導関数 $f^{\prime }$ が連続であることまでは求めていません。

連続性と狭義単調性のほうは区間全体で要ります。これは逆関数が存在して連続になるための条件で、微分の話に入る前の段階のものです。

ライプニッツ記法での形

$y=f(x)$ と書けば、公式は次の形になります。

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

分数のように扱えるので覚えやすい形です。ただし記法が評価点を隠しているぶん、危うさもあります。

左辺は $y=b$ での値、右辺の分母は $x=a$ での値です。同じ点を別の変数で指しているだけですが、記号の上では書き分けられていません。

計算するときは $\frac{dy}{dx}$ をまず $x$ の式で求め、そのあと $x=f^{-1}(y)$ を代入して $y$ の式に直します。この代入を忘れるのがよくある誤りです。

連鎖律による導出は証明になっていない

$g=f^{-1}$ と置き、$f(g(y))=y$ の両辺を $y$ で微分します。連鎖律から次が出ます。

$$f^{\prime }(g(y))g^{\prime }(y)=1$$

$f^{\prime }(g(y))\ne 0$ なら $g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(g(y))}$ です。式そのものは正しく、公式を思い出すには便利な計算になっています。

しかしこれは証明ではありません。連鎖律を使った時点で、$g$ が微分可能であることを仮定してしまっているからです。

証明したいのは、まさにその「$g$ が微分可能である」という部分です。使ってよいのは、微分可能だと分かったあとの導関数の値だけになります。

定義からの証明

$g=f^{-1}$ と置きます。調べるのは $y\to b$ としたときの差商の極限です。

$$\frac{g(y)-g(b)}{y-b}$$

$x=g(y)$ と置くと $y=f(x)$、$b=f(a)$ なので、差商はもとの関数の差商をひっくり返した形に書き換わります。

$$\frac{g(y)-g(b)}{y-b}=\frac{x-a}{f(x)-f(a)}$$

$f$ は狭義単調なので単射です。したがって $y\ne b$ なら $x\ne a$ となり、右辺の分母は 0 になりません。

$g$ は $b$ で連続なので、$y\to b$ のとき $x=g(y)\to a$ です。ここが証明の要で、連続性がないと極限の受け渡しができません。

$f$ は $a$ で微分可能で $f^{\prime }(a)\ne 0$ だから、$x\to a$ のとき右辺の分母側の差商は $f^{\prime }(a)$ に近づきます。極限が 0 でないので逆数が取れます。

$$\underset{y\to b}{\lim }\frac{g(y)-g(b)}{y-b}=\frac{1}{f^{\prime }(a)}$$

極限が存在することがここで示せました。つまり $g$ の微分可能性と導関数の値が、同じ計算から同時に出ています。

逆関数の連続性

前節で使った「$g$ が $b$ で連続」は、断りなく使ってよい事実ではありません。

区間 $I$ で連続かつ狭義単調な $f$ について、値域 $f(I)$ もまた区間になります。中間値の定理がこれを保証します。

逆関数 $g$ も狭義単調です。単調な関数が不連続になるとき、その点の左右の極限のあいだで値が飛び、値域に穴が空きます。

ところが $g$ の値域は区間 $I$ そのものです。穴を作れないので、$g$ は連続でなければなりません。

単調性がここまで効いています。$f$ を連続とだけ仮定しても、そもそも逆関数は存在しません。

グラフの対称性から見る

<svg viewBox="0 0 460 300" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<line x1="60" y1="250" x2="280" y2="30" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<line x1="50" y1="250" x2="300" y2="250" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="60" y1="260" x2="60" y2="20" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<polyline points="60,250 104,236 148,204 192,158 236,99 280,30" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"></polyline>
	<polyline points="60,250 74,206 106,162 152,118 211,74 280,30" fill="none" stroke="#d0562a" stroke-width="2"></polyline>
	<line x1="148" y1="210" x2="247" y2="92" stroke="#1b81e0" stroke-width="1"></line>
	<line x1="108" y1="155" x2="210" y2="70" stroke="#d0562a" stroke-width="1"></line>
	<circle cx="192" cy="158" r="3" fill="#1b81e0"></circle>
	<circle cx="152" cy="118" r="3" fill="#d0562a"></circle>
	<text x="310" y="60" font-size="11" fill="#1b81e0">f のグラフ</text>
	<text x="310" y="80" font-size="11" fill="#d0562a">逆関数のグラフ</text>
	<text x="310" y="100" font-size="11" fill="#9a9a9a">直線 y = x</text>
	<text x="310" y="132" font-size="11" fill="#1f1f1f">2 本の接線の</text>
	<text x="310" y="148" font-size="11" fill="#1f1f1f">傾きは逆数</text>
	<text x="60" y="284" font-size="11" fill="#9a9a9a">y = x に関して折り返すと、接線も接線に移る</text>
</svg>

$y=f(x)$ のグラフ上の点 $(a,b)$ は、逆関数のグラフでは $(b,a)$ に対応します。2 つのグラフは直線 $y=x$ に関して対称です。

この対称移動は接線を接線に移します。傾き $m$ の直線を $y=x$ で折り返すと傾きが $1/m$ になるので、公式は図の上ではこの一行に尽きます。

$m=0$ のときだけ折り返した先が垂直な直線になり、傾きを持ちません。$f^{\prime }(a)\ne 0$ という仮定が図に現れているのがここです。

具体例：対数関数

$f(x)=e^x$ とすると $f^{\prime }(x)=e^x$ で、これはどこでも 0 になりません。$f$ は狭義単調増加で、値域は $(0,\infty )$ です。

逆関数は $g(y)=\log y$ なので、公式にそのまま当てはめます。

$$(\log y{)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(g(y))}=\frac{1}{e^{\log y}}=\frac{1}{y}$$

変数名を $x$ に戻せば $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ です。

$e^{\log y}=y$ という書き換えが効いています。$f^{\prime }$ を $g$ の値で評価してから、もとの変数だけの式に直す。この手順はどの例でも変わりません。

具体例：$n$ 乗根

$n$ を 2 以上の自然数とし、$f(x)=x^n$ を $x>0$ で考えます。$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$ は正なので狭義単調増加です。

逆関数は $g(y)=y^{1/n}$ で、$f^{\prime }$ を $g(y)$ で評価します。

$$(y^{1/n}{)}^{\prime }=\frac{1}{n(y^{1/n}{)}^{n-1}}=\frac{1}{n{y}^{(n-1)/n}}=\frac{1}{n}{y}^{\frac{1}{n}-1}$$

べき関数の微分公式が、指数が $1/n$ のときも同じ形で成り立つと分かります。

$y=0$ は範囲から外してあります。$f^{\prime }(0)=0$ なので公式が使えず、実際 $n\ge 2$ では $g$ は $0$ で微分可能ではありません。

具体例：一般のべき関数

指数が任意の実数 $\alpha$ のときは、対数を経由します。$x>0$ で $x^{\alpha }=e^{\alpha \log x}$ と定めるのが定義です。

連鎖律と、前節で求めた $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ を続けて使います。

$$(x^{\alpha }{)}^{\prime }=e^{\alpha \log x}\cdot \frac{\alpha }{x}=x^{\alpha }\cdot \frac{\alpha }{x}=\alpha x^{\alpha -1}$$

逆関数の微分そのものではありませんが、$\log$ の導関数を通して間接的に使っています。$n$ 乗根の場合はこれの特別な場合です。

具体例：$\arcsin$

$f(x)=\sin x$ を $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$ に制限します。この範囲で $f^{\prime }(x)=\cos x>0$ なので狭義単調増加で、値域は $(-1,1)$ です。

$y=\arcsin x$ と置くと $x=\sin y$ なので、公式は次の形になります。

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\cos y}$$

右辺を $x$ の式に直します。${\cos }^{2}y=1-{\sin }^{2}y=1-x^2$ であり、制限した範囲では $\cos y>0$ なので正の平方根を取ります。

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

符号を決めているのは定義域です。制限する範囲を $\frac{\pi }{2}<x<\frac{3\pi }{2}$ などに取り替えれば $\cos y<0$ になり、符号は反転します。

具体例：$\arccos$

$f(x)=\cos x$ を $0<x<\pi$ に制限します。$f^{\prime }(x)=-\sin x<0$ なので、こちらは狭義単調減少です。

$y=\arccos x$ のとき $x=\cos y$ で、この範囲では $\sin y>0$ です。

$$(\arccos x{)}^{\prime }=\frac{1}{-\sin y}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$ が成り立つので、2 つの導関数を足すと 0 にならなければなりません。計算結果はこれと合っています。

狭義単調減少の場合も公式はそのまま使えます。$f^{\prime }$ が負であることが、導関数の符号にそのまま出ているだけです。

具体例：$\arctan$

$f(x)=\tan x$ を $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$ に制限します。$f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$ で、値域は $\mathbb{R}$ 全体になります。

$y=\arctan x$ のとき $x=\tan y$ なので、次のように計算できます。

$$(\arctan x{)}^{\prime }={\cos }^{2}y=\frac{1}{1+{\tan }^{2}y}=\frac{1}{1+x^2}$$

平方根が出てこないのがこの例の特徴です。$1+{\tan }^{2}y=\frac{1}{{\cos }^{2}y}$ という関係だけで $x$ の式に直せます。

導関数が $\mathbb{R}$ 全体で正かつ有界なのも読み取れます。$\tan$ の側が端で発散するぶん、逆関数の傾きは 0 に近づく一方です。

具体例：$\sinh$ の逆関数

$f(x)=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ とします。$f^{\prime }(x)=\cosh x\ge 1$ なので、$\mathbb{R}$ 全体で狭義単調増加です。

$y=\mathrm{arcsinh}x$ のとき $x=\sinh y$ で、${\cosh }^{2}y-{\sinh }^{2}y=1$ と $\cosh y>0$ から次が出ます。

$$(\mathrm{arcsinh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\cosh y}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$

この逆関数は閉じた式で書けます。$x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$ を $e^y$ について解くと $e^y=x+\sqrt{x^2+1}$ となるので、$\mathrm{arcsinh}x=\log (x+\sqrt{x^2+1})$ です。

こちらを直接微分しても同じ答えになります。

$$\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$

2 通りの計算が一致しました。逆関数の側の式が書けない場合でも導関数だけは取り出せる、というのが公式の値打ちです。

端点で公式が使えなくなる

$\arcsin$ は $[-1,1]$ で定義できますが、微分可能なのは開区間 $(-1,1)$ だけです。

$x=\pm 1$ に対応するのは $y=\pm \frac{\pi }{2}$ で、そこでは $\cos y=0$ になります。$f^{\prime }(a)=0$ にあたるので、仮定が破れています。

実際 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ は $x\to \pm 1$ で発散します。グラフでは接線が垂直に立ってしまい、傾きという言葉が意味を持ちません。

$\arctan$ に同じ現象がないのは、$\tan$ の導関数が定義域全体で正のままだからです。値域が $\mathbb{R}$ 全体に広がる代わりに、端点そのものが現れません。

$f^{\prime }(a)=0$ のとき何が起きるか

$f(x)=x^3$ は $\mathbb{R}$ 全体で狭義単調増加なので、逆関数 $g(y)=y^{1/3}$ が存在します。

ところが $f^{\prime }(0)=0$ です。$b=0$ での $g$ の差商を直接計算してみます。

$$\frac{g(y)-g(0)}{y-0}=\frac{y^{1/3}}{y}=y^{-2/3}$$

$y\to 0$ でこれは $+\infty$ に発散するので、$g$ は $0$ で微分可能ではありません。

<svg viewBox="0 0 460 210" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<line x1="50" y1="105" x2="190" y2="105" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="120" y1="35" x2="120" y2="175" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<polyline points="55,170 68,138 81,119 94,109 107,106 120,105 133,104 146,101 159,91 172,72 185,40" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="2"></polyline>
	<line x1="95" y1="105" x2="145" y2="105" stroke="#d0562a" stroke-width="2"></line>
	<line x1="260" y1="105" x2="400" y2="105" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
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	<polyline points="265,170 297,157 316,144 326,131 329,118 330,105 331,92 334,79 344,66 363,53 395,40" fill="none" stroke="#d0562a" stroke-width="2"></polyline>
	<line x1="330" y1="80" x2="330" y2="130" stroke="#d0562a" stroke-width="2"></line>
	<text x="50" y="26" font-size="11" fill="#1f1f1f">傾き 0 の接線は、折り返すと垂直になる</text>
	<text x="50" y="196" font-size="11" fill="#9a9a9a">3 乗のグラフ。原点で接線は水平</text>
	<text x="260" y="196" font-size="11" fill="#9a9a9a">3 乗根のグラフ。原点で接線は垂直</text>
</svg>

逆関数が存在しなくなるのではなく、存在はするが微分可能でなくなる、というのがこの場合です。狭義単調性と微分可能性は別の条件だと分かります。

$f^{\prime }(a)\ne 0$ は必要条件でもある

仮定 $f^{\prime }(a)\ne 0$ は、証明の都合で置いた技術的な条件ではありません。外せない条件です。

$f$ が $a$ で微分可能、$g=f^{-1}$ が $b=f(a)$ で微分可能だとします。$g(f(x))=x$ に連鎖律を使えば $g^{\prime }(b)f^{\prime }(a)=1$ が出ます。

積が 1 なのだから、$f^{\prime }(a)\ne 0$ でなければなりません。裏を返せば、$f^{\prime }(a)=0$ のとき $g$ が $b$ で微分可能になることはありえません。

ここで連鎖律を使ってよい理由もはっきりしています。$g$ の微分可能性を仮定したうえで話しているので、循環にはなっていません。

逆関数が存在する条件

微分の話の前に、逆関数そのものが存在しなければ始まりません。区間で連続かつ狭義単調であれば、逆関数は存在して連続になります。

導関数から狭義単調性を出すときは平均値の定理を使います。区間全体で $f^{\prime }>0$ なら、$x<x^{\prime }$ に対して $f(x^{\prime })-f(x)=f^{\prime }(c)(x^{\prime }-x)>0$ となるからです。

導関数が消える点があっても狭義単調でありうる、というのがこの差です。逆関数の存在だけを問題にするなら、$f^{\prime }(a)=0$ でも困りません。

導関数の連続性がないと局所的な逆関数も作れない

区間全体ではなく、$a$ の近くだけで逆関数を作りたい場合を考えます。$f^{\prime }(a)\ne 0$ という条件だけでは足りません。

次の関数を見ます。$x\ne 0$ では $f(x)=x+2x^2\sin \frac{1}{x}$、そして $f(0)=0$ と定めます。

$0$ での差商は $\frac{f(h)-f(0)}{h}=1+2h\sin \frac{1}{h}$ で、第 2 項は $|2h|$ で押さえられます。したがって $f^{\prime }(0)=1$ です。

$x\ne 0$ では積の微分と連鎖律から次のようになります。

$$f^{\prime }(x)=1+4x\sin \frac{1}{x}-2\cos \frac{1}{x}$$

$x=\frac{1}{2n\pi }$ では $\sin \frac{1}{x}=0$ かつ $\cos \frac{1}{x}=1$ なので $f^{\prime }(x)=-1$ です。$x=\frac{1}{(2n+1)\pi }$ では $\cos \frac{1}{x}=-1$ となり $f^{\prime }(x)=3$ になります。

0 のどんな近くにも $f^{\prime }<0$ の点と $f^{\prime }>0$ の点があります。したがって $f$ は 0 のどの近傍でも単調にならず、単射でないので局所的な逆関数も作れません。

$f^{\prime }$ が $a$ で連続なら話は変わります。$f^{\prime }(a)\ne 0$ から近くで $f^{\prime }$ の符号が一定になり、そこで狭義単調になるからです。

局所的に逆関数を作る場面でだけ、$f^{\prime }$ の連続性が必要になります。条件がどこで効くのかを分けて覚えておくと混乱しません。

逆関数の 2 階導関数

$g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(g(y))}$ をもう一度微分します。商の微分と連鎖律を続けて使うだけです。

$$g^{\prime \prime }(y)=-\frac{f^{\prime \prime }(g(y))g^{\prime }(y)}{(f^{\prime }(g(y)){)}^2}=-\frac{f^{\prime \prime }(a)}{(f^{\prime }(a){)}^3}$$

$g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(a)}$ を代入したので、分母の次数が 3 に上がりました。1 階のときのような素直な逆数にはなりません。

$f(x)=x^2$ を $x>0$ で取って確かめます。$f^{\prime }=2x$、$f^{\prime \prime }=2$ なので、公式は $-\frac{2}{(2x{)}^3}=-\frac{1}{4x^3}$ を与えます。

一方 $g(y)=\sqrt{y}$ を直接 2 回微分すると $g^{\prime \prime }(y)=-\frac{1}{4}{y}^{-3/2}$ です。$x=\sqrt{y}$ を代入すれば両者は一致します。

符号が反転するところも読み取れます。増加する凸関数の逆関数は凹になり、$y=x$ に関する折り返しと辻褄が合っています。

参考文献