逆関数の微分

逆関数の微分は、元の関数の微分と逆数の関係にあります。この関係を使って、対数関数や逆三角関数の導関数を求めることができます。

逆関数の微分公式

$f$ が微分可能で $f^{\prime }(a)\ne 0$ とし、$f$ の逆関数 $f^{-1}$ が存在するとします。$b=f(a)$ とおくと

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(a)}=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(b))}$$

が成り立ちます。

ライプニッツの記法では、$y=f(x)$ のとき $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ と書けます。

証明の概略

$g=f^{-1}$ とおきます。$f(g(y))=y$ の両辺を $y$ で微分すると、連鎖律より

$$f^{\prime }(g(y))\cdot g^{\prime }(y)=1$$

$f^{\prime }(g(y))\ne 0$ のとき $g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(g(y))}$ を得ます。

対数関数の微分

$f(x)=e^x$ の逆関数が $g(y)=\log y$ です。$f^{\prime }(x)=e^x$ より

$$(\log y{)}^{\prime }=\frac{1}{e^{\log y}}=\frac{1}{y}$$

すなわち $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ です。

逆三角関数の微分

$\arcsin x$ の導関数を求めます。$y=\arcsin x$ とおくと $x=\sin y$ で、$-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$ の範囲で考えます。

$$\frac{dx}{dy}=\cos y=\sqrt{1-{\sin }^{2}y}=\sqrt{1-x^2}$$

（$\cos y>0$ なので正の平方根をとる）より

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

同様にして $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ です。

$\arctan x$ については、$y=\arctan x$ のとき $x=\tan y$ で

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{{\cos }^{2}y}=1+{\tan }^{2}y=1+x^2$$

より $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$ です。

一般のべき関数

$f(x)=x^a$（$a$ は実数、$x>0$）の微分を逆関数の微分を使って導出できます。

$x^a=e^{a\log x}$ と書き、連鎖律より

$$(x^a{)}^{\prime }=e^{a\log x}\cdot \frac{a}{x}=x^a\cdot \frac{a}{x}=a{x}^{a-1}$$

逆関数が存在する条件

$f$ が狭義単調で連続ならば逆関数が存在します。$f^{\prime }>0$ または $f^{\prime }<0$ が区間全体で成り立てば、$f$ は狭義単調です。

このとき逆関数も連続かつ狭義単調であり、$f^{\prime }$ が連続で $0$ にならなければ逆関数も微分可能です。

注意点

$f^{\prime }(a)=0$ のとき、逆関数の微分公式は使えません。たとえば $f(x)=x^3$ は $x=0$ で $f^{\prime }(0)=0$ であり、逆関数 $g(y)=y^{1/3}$ は $y=0$ で微分可能ではありません。実際 $g^{\prime }(y)=\frac{1}{3}{y}^{-2/3}$ は $y\to 0$ で発散します。