弧状連結と連結の違い

連結性には「分離できない」という意味の連結と、「道で結べる」という意味の弧状連結があります。この2つは密接に関係しますが、一般には異なる概念です。

弧状連結の定義

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ が弧状連結（path-connected）であるとは、任意の2点 $x,y\in X$ に対して連続写像 $\gamma :[0,1]\to X$ で $\gamma (0)=x$、$\gamma (1)=y$ を満たすものが存在することをいいます。この $\gamma$ を $x$ から $y$ への道（path）と呼びます。

弧状連結は「任意の2点を連続的につなげる」という直感的な意味での連結性を捉えています。

弧状連結ならば連結

弧状連結な空間は連結です。

$X$ が弧状連結で連結でないと仮定すると、$X=U\cup V$（$U,V$ は空でない互いに素な開集合）と書けます。$x\in U$、$y\in V$ を取り、道 $\gamma :[0,1]\to X$ を考えます。$[0,1]$ は連結なので、像 $\gamma ([0,1])$ も連結です。しかし $\gamma ([0,1])\subseteq U\cup V$ かつ $\gamma ([0,1])\cap U\ne \varnothing$、$\gamma ([0,1])\cap V\ne \varnothing$ となり、$\gamma ([0,1])$ が連結であることに矛盾します。

連結だが弧状連結でない例

逆は成り立ちません。連結だが弧状連結でない空間の典型例として、位相幾何学者の正弦曲線（topologist’s sine curve）があります。

$$S=\left\{\left(x,\sin \frac{1}{x}\right):0<x\le 1\right\}\cup \{(0,y):-1\le y\le 1\}$$

この空間は ${\mathbb{R}}^2$ の部分空間として連結です。グラフ部分の閉包が縦の線分を含むからです。しかし、グラフ上の点から $(0,0)$ への道は存在しません。$x\to 0$ で曲線が激しく振動するため、連続な道で到達できないのです。

弧状連結成分

点 $x$ を含む最大の弧状連結部分集合を $x$ の弧状連結成分といいます。連結成分と異なり、弧状連結成分は一般に閉集合とは限りません。

位相幾何学者の正弦曲線では、グラフ部分と縦線分が別々の弧状連結成分を成しますが、空間全体は1つの連結成分です。

局所弧状連結空間

各点が弧状連結な近傍基を持つ空間を局所弧状連結といいます。局所弧状連結な空間では、連結性と弧状連結性が一致します。多様体や CW 複体はこの性質を持つため、連結と弧状連結を区別する必要がありません。