連結性には「分離できない」という意味の連結と、「道で結べる」という意味の弧状連結があります。この2つは密接に関係しますが、一般には異なる概念です。
弧状連結の定義
位相空間 が弧状連結（path-connected）であるとは、任意の2点 に対して連続写像 で 、 を満たすものが存在することをいいます。この を から への道（path）と呼びます。
弧状連結は「任意の2点を連続的につなげる」という直感的な意味での連結性を捉えています。
弧状連結ならば連結
弧状連結な空間は連結です。
が弧状連結で連結でないと仮定すると、（ は空でない互いに素な開集合）と書けます。、 を取り、道 を考えます。 は連結なので、像 も連結です。しかし かつ 、 となり、 が連結であることに矛盾します。
連結だが弧状連結でない例
逆は成り立ちません。連結だが弧状連結でない空間の典型例として、位相幾何学者の正弦曲線（topologist's sine curve）があります。
この空間は の部分空間として連結です。グラフ部分の閉包が縦の線分を含むからです。しかし、グラフ上の点から への道は存在しません。 で曲線が激しく振動するため、連続な道で到達できないのです。
弧状連結成分
点 を含む最大の弧状連結部分集合を の弧状連結成分といいます。連結成分と異なり、弧状連結成分は一般に閉集合とは限りません。
位相幾何学者の正弦曲線では、グラフ部分と縦線分が別々の弧状連結成分を成しますが、空間全体は1つの連結成分です。
局所弧状連結空間
各点が弧状連結な近傍基を持つ空間を局所弧状連結といいます。局所弧状連結な空間では、連結性と弧状連結性が一致します。多様体や CW 複体はこの性質を持つため、連結と弧状連結を区別する必要がありません。
