平均値の定理

平均値の定理は微分法の基本定理であり、関数の大域的な振る舞いと局所的な微分係数を結びつけます。

ロルの定理

平均値の定理の特別な場合として、まずロルの定理を述べます。

$f$ が閉区間 $[a,b]$ で連続、開区間 $(a,b)$ で微分可能、かつ $f(a)=f(b)$ とする。このとき $f^{\prime }(c)=0$ となる $c\in (a,b)$ が存在する。

証明の概略：$f$ が定数なら $f^{\prime }\equiv 0$ で任意の $c$ がとれます。$f$ が定数でないとき、連続関数の最大値の定理より $f$ は $[a,b]$ で最大値または最小値を内点でとります。その点を $c$ とすると、極値の必要条件より $f^{\prime }(c)=0$ です。

平均値の定理（ラグランジュの平均値の定理）

$f$ が閉区間 $[a,b]$ で連続、開区間 $(a,b)$ で微分可能とする。このとき

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$$

となる $c\in (a,b)$ が存在する。

左辺は区間 $[a,b]$ での平均変化率、右辺は点 $c$ での瞬間変化率です。定理は「平均変化率と一致する瞬間変化率をもつ点が存在する」と主張しています。

幾何学的意味

曲線 $y=f(x)$ において、2点 $(a,f(a))$, $(b,f(b))$ を結ぶ割線と平行な接線が、区間内のどこかに存在します。

証明

$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ とおくと、$g(a)=f(a)$, $g(b)=f(a)$ となり $g(a)=g(b)$ です。ロルの定理より $g^{\prime }(c)=0$ となる $c\in (a,b)$ が存在します。

$$g^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$$

より結論を得ます。

コーシーの平均値の定理

より一般的な形として、コーシーの平均値の定理があります。

$f,g$ が $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能、かつ $g^{\prime }(x)\ne 0$（$x\in (a,b)$）とする。このとき

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}$$

となる $c\in (a,b)$ が存在する。

$g(x)=x$ とおくとラグランジュの平均値の定理が得られます。この定理はロピタルの定理の証明に使われます。

応用：導関数の符号と単調性

平均値の定理から、導関数の符号と関数の単調性の関係が導かれます。

$f$ が $(a,b)$ で微分可能とする。

$f^{\prime }(x)>0$（すべての $x\in (a,b)$）ならば $f$ は $(a,b)$ で狭義単調増加。

$f^{\prime }(x)<0$（すべての $x\in (a,b)$）ならば $f$ は $(a,b)$ で狭義単調減少。

証明：$a<x<y<b$ とすると、平均値の定理より $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f^{\prime }(c)$（$c\in (x,y)$）となる $c$ が存在します。$f^{\prime }(c)>0$ かつ $y-x>0$ より $f(y)>f(x)$ です。

応用：導関数が $0$ なら定数

$(a,b)$ で $f^{\prime }\equiv 0$ ならば $f$ は $(a,b)$ で定数です。

これは平均値の定理から直ちに従います。任意の $x,y\in (a,b)$ に対し $f(x)-f(y)=f^{\prime }(c)(x-y)=0$ だからです。