稠密集合と疎集合

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ において、部分集合がどれだけ「広がっているか」を表す概念として稠密集合と疎集合があります。

稠密集合の定義

部分集合 $A\subseteq X$ が稠密（dense）であるとは、$A$ の閉包が $X$ 全体に一致すること、すなわち $\overline{A}=X$ が成り立つことをいいます。

同値な条件として、$X$ の任意の空でない開集合 $U$ に対して $A\cap U\ne \varnothing$ が成り立つ、というものがあります。直感的には、$A$ は $X$ のどの領域にも「染み出している」状態です。

稠密集合の例

有理数全体 $\mathbb{Q}$ は実数 $\mathbb{R}$（通常の位相）において稠密です。任意の実数 $x$ と任意の $\epsilon >0$ に対して、開区間 $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$ には必ず有理数が含まれるからです。

同様に、無理数全体 $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ も $\mathbb{R}$ において稠密です。これは有理数と無理数がともに実数直線上で「隙間なく分布している」ことを示しています。

疎集合の定義

部分集合 $A\subseteq X$ が疎（nowhere dense）であるとは、$A$ の閉包の内部が空であること、すなわち $\mathrm{int}(\overline{A})=\varnothing$ が成り立つことをいいます。

疎集合は稠密集合の対極にある概念で、どの開集合の中にも「広がり」を持たない集合です。

疎集合の例

整数全体 $\mathbb{Z}$ は $\mathbb{R}$ において疎です。$\mathbb{Z}$ は閉集合なので $\overline{\mathbb{Z}}=\mathbb{Z}$ であり、$\mathbb{Z}$ は開区間を含まないため $\mathrm{int}(\mathbb{Z})=\varnothing$ となります。

Cantor 集合も $\mathbb{R}$ における疎集合の典型例です。Cantor 集合は閉集合ですが、その内部は空です。

稠密と疎の関係

集合 $A$ が疎であることと、補集合 $X\setminus \overline{A}$ が稠密であることは同値です。疎集合の閉包は「薄い」ため、その外側が空間全体に広がるからです。

また、稠密集合の補集合は内部を持ちません。$\overline{A}=X$ ならば $X\setminus A$ は空でない開集合を含むことができないからです。