二つの円の交点を求めるには、それぞれの円の方程式を連立方程式として解きます。一般的な円の方程式は次のように表されます。 \beg...

次の方程式を解け： \[ 4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0 \] この問題、指数関数と思いきや、ただの二次方程...

この記事は今（2025/6/10）考えたメモ。 状態が時間と法則に先行し、その状態にいる者たちがそれを法則と呼ぶ。例えば、ずっと...

二次方程式の解の公式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解は \[ x=\frac{-b\pm{\sqrt{b^{2}-4ac}...

論理が実行される時間 この考えは、ヒルベルトの零点定理を学んだ大学生のときに浮かびました。関数は式（論理）であり、関数と座標は同...

複雑な素粒子物理学が宇宙の根底にあり、少なくともミクロな世界を表現しています。数百年後、または数十年後、コンピューター内部で模擬...

次の式を底の変換公式という。 \[ \log_{a}{x} = \frac{ \log_{b}{x} }{ \log_{b}{a...

指数関数は多項式で表される関数（二次関数など）より早く発散します。下表は $y=2^x$ と $y=x^2$ の比較です。 $x...

高校数学Ⅱの指数関数・対数関数で習う指数法則と対数法則のまとめ。底の変換公式とその証明。

$3$ 乗の展開は係数が $1,\ 3,\ 3,\ 1$ です。 \begin{align*} (a+b)^3 &= a^3+3...

\[ a \sin\theta + b \cos\theta = \sqrt{ a^2 + b^2 } \sin( \theta...

角度 ° は度数法、ラジアン rad は弧度法による大きさで、180° を 1rad とします。ラジアンの単位は省略できます。

$y = x^2 \ (1 < x < 3)$ と $x$ 軸にはさまれた領域の面積は \[ S = \int_{1}^{3} ...

直線上の $2$ 点 $A(a)$ と $B(b)$ について、その $A$ と $B$ の中点、線分 $AB$ を $m : ...

タンジェントの加法定理の応用として2直線のなす角を求める問題があります。 直線 $y=ax+b$ と $x$ 軸のなす角を $\...

**切断の定義** 数の集合 $X$ の部分集合 $A,\ B$ について、 $X$ に属するすべての数が $A$ または $B...

Vieta's Formula から平方根の積が円周率に等しいことがわかる．

不等式の基本公式 \begin{gather*} a < b \to a+c < b+c \\ a < b \to a-c < ...

「ベクトルは座標とどう違うか？」と考える高校生は多いと思います。ベクトルは座標のように表示して計算するため、ベクトルを習いたての...

可換代数入門（Atiyah‐MacDonald 著）は共立出版から出ている環と加群の入門書で、Introduction To C...

可換環 A のイデアル m は、m より真に大きい自明でないイデアルが存在しないとき、極大イデアルという。

可換環 $A$ のイデアル $p$ は 1. $p \neq A$ 1. $xy \in p \rightarrow x \in...

ルート2=1.41421 35623（一夜一代に夢見頃）…ルート3=1.73205 08075（人並みにおごれや）…ルート5=2...