180 度が π になるところから始める度とラジアンの変換

$180^{\circ }=\pi$ です。この 1 行だけで、度とラジアンは往復できます。

度をラジアンに直すなら $\frac{\pi }{180}$ をかける。ラジアンを度に直すなら $\frac{180}{\pi }$ をかける。

$${\theta }_{\text{rad}}={\theta }_{\text{deg}}\times \frac{\pi }{180},{\theta }_{\text{deg}}={\theta }_{\text{rad}}\times \frac{180}{\pi }$$

かける数は互いに逆数。どちらをかけるか迷ったら、$180^{\circ }$ を入れて $\pi$ になるほうを選びます^[1]。

1 ラジアンは弧の長さが半径と同じになる角

ラジアンは、円の弧の長さで角を測る単位です。半径と同じ長さの弧を切りとる中心角が $1$ ラジアン^[1]。

半径 $r$ の円で、中心角 $\theta$ ラジアンが切りとる弧の長さは $s=r\theta$ になる。

一周では弧が円周そのもの、つまり $2\pi r$。$s=r\theta$ に入れると $\theta =2\pi$。

一周が $360^{\circ }$ でもあるので $360^{\circ }=2\pi$、両辺を半分にして $180^{\circ }=\pi$ になります。

$1$ ラジアンを度に直すと $\frac{180}{\pi }\fallingdotseq 57.3^{\circ }$。半端な数ですが、これは度のほうが人工的だからです。

例：度からラジアンへ

$60^{\circ }$ を直します。$\frac{\pi }{180}$ をかけるだけ。

$$\begin{array}{rl}60\times \frac{\pi }{180}& =\frac{60\pi }{180}\\ & =\frac{\pi }{3}\end{array}$$

$\frac{60}{180}$ を先に $\frac{1}{3}$ と約分すると、計算が軽くなる。

$135^{\circ }$ なら $\frac{135}{180}=\frac{3}{4}$ なので $\frac{3}{4}\pi$。

$210^{\circ }$ なら $\frac{210}{180}=\frac{7}{6}$ で $\frac{7}{6}\pi$。

コツはかけ算より約分にあります。$\frac{\theta }{180}$ を約分してから $\pi$ をつける、という順で計算する。

三角関数の値を求める前に、まず角をラジアンへ直しておく手順が標準です^[2]。

例：ラジアンから度へ

$\frac{5}{6}\pi$ を度に直します。$\frac{180}{\pi }$ をかける。

$$\begin{array}{rl}\frac{5}{6}\pi \times \frac{180}{\pi }& =\frac{5\times 180}{6}\\ & =150\end{array}$$

$\pi$ が約分で消えるところが肝心。答えは $150^{\circ }$。

$\pi$ を含まないラジアンでも同じ。$2$ ラジアンなら $2\times \frac{180}{\pi }\fallingdotseq 114.6^{\circ }$。

この場合は $\pi$ が消えないので、割りきれない値になる。$\pi$ がついた形のほうが例外的にきれい。

よく使う角の対応

$\frac{\pi }{6}$ 刻みと $\frac{\pi }{4}$ 刻みは、暗記より $\frac{\theta }{180}$ の約分で作るほうが確実です。

$180^{\circ }$ から先は、$\pi$ を足すか $2\pi$ から引くかで作れます。

$210^{\circ }$ は $180^{\circ }+30^{\circ }$ なので $\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{7}{6}\pi$。

$330^{\circ }$ は $360^{\circ }-30^{\circ }$ なので $2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11}{6}\pi$。

分母が $6$、$4$、$3$、$2$ のどれかになる角が、高校で扱う角のほとんどを占めます。

単位の rad は書かなくてよい

ラジアンには単位記号 rad がありますが、数学ではふつう省きます。

$\sin \frac{\pi }{6}$ と書けば、中身はラジアンだと分かる。度なら $\sin 30^{\circ }$ と度の記号をつける。

つまり記号のついていない角はラジアン、${}^{\circ }$ がついていれば度、という読み分けです。

省けるのは、ラジアンが長さの比だからです。弧の長さを半径で割った値なので、単位が打ち消し合う。

弧の長さと扇形の面積が軽くなる

度のままだと、弧の長さは $2\pi r\times \frac{\theta }{360}$ と書くしかありません。

ラジアンなら $s=r\theta$。かけ算 1 つで済みます^[1]。

扇形の面積も同じ。度では $\pi r^2\times \frac{\theta }{360}$ ですが、ラジアンでは次の形になります。

$$S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$$

半径 $6$、中心角 $\frac{\pi }{3}$ の扇形なら、弧は $6\times \frac{\pi }{3}=2\pi$、面積は $\frac{1}{2}\times 36\times \frac{\pi }{3}=6\pi$。

$360$ という数がどこにも現れない。これがラジアンを使う実利です。

電卓のモードを合わせる

関数電卓には DEG と RAD の切り替えがあります。ここがずれていると、答えが丸ごと狂う。

RAD のまま $\sin 30$ と打つと、$30$ ラジアンの正弦として $-0.988$ が返ります。$0.5$ ではありません。

$30$ ラジアンはおよそ $1719^{\circ }$。何周も回った先の角なので、値が合わないのは当然。

数学Ⅱ 以降の計算はラジアンが標準になります。表示が DEG のままになっていないかを最初に見る。

まちがえやすい点

かける分数を逆にする誤りが最も多い。$\frac{180}{\pi }$ と $\frac{\pi }{180}$ は逆数なので、答えが ${\pi }^2$ 倍ずれます。

$90^{\circ }$ を直すつもりで $90\times \frac{180}{\pi }$ と計算すると $\frac{16200}{\pi }$ になる。桁を見れば異常だと気づけます。

もう一つは、$\pi$ を $180$ に置き換えたあと $\pi$ を残してしまう形。$\frac{5}{6}\pi \to 150^{\circ }$ であって $150\pi$ ではない。

角度の記号にも気をつけます。$\frac{\pi }{3}$ に ${}^{\circ }$ をつけると、$60^{\circ }$ が $\frac{\pi }{3}$ 度という別物になる。

逆向きも確かめます。

$180^{\circ }=\pi$ を軸に、約分で往復する。

参考文献