二次方程式の解の公式と判別式（解の個数の判別）

二次方程式の解の公式 $a{x}^2+bx+c=0$ の解は

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

です。ルート内の $b^2-4ac$ を判別式といいます。

二次方程式の解の個数は二次方程式の係数から求められる。この時に用いる道具が判別式（通常 $D$ で表す）です。二次方程式 $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ の判別式 $D$ は $D=b^2-4ac$ となります。

判別式と解の個数の関係

二次方程式 $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ について

• $0<D$ → 二つの異なる実数解をもつ
• $D=0$ → 一つの重解をもつ
• $D<0$ → 二つの異なる虚数解をもつ

解が一つしかないとき、その解を重解といいます。なお $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ で $a\ne 0$ という条件があるのは、$a=0$ のとき方程式が二次方程式でなく一次方程式となってしまうためです。

問題

次の二次方程式の解の個数と種類を求めなさい。

$(1)$　$x^2+3x+1$

$(2)$　$2x^2-5x+2$

$(3)$　$-x^2+2x+9$

$(4)$　$4x^2+3x+5$

$(5)$　$9x^2-6x+1$

解答

$(1)$
$D=3^2-4\cdot 1\cdot 1=5>0$ より $2$ 個の実数解をもつ

$(2)$
$D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot 2=9>0$ より $2$ 個の実数解をもつ

$(3)$
$D=2^2-4\cdot (-1)\cdot 9=40>0$ より $2$ 個の実数解をもつ

$(4)$
$D=3^2-4\cdot 4\cdot 5=-72<0$ より $2$ 個の虚数解をもつ

$(5)$
$D=(-6{)}^2-4\cdot 9\cdot 1=0$ より $1$ 個の重解をもつ