線分を m:n に分ける点はどこにある？内分点と外分点の座標

線分 $AB$ を $m : n$ に分ける点の座標は、両端の座標を比の重みで混ぜた形になります。混ぜ方さえつかめば、中点も外分点も同じ 1 本の式から出てくる。

以下ではまず数直線の上で式を作り、それを平面と空間へ広げます。外分点は符号を 1 つ変えるだけで内分点の式に収まる、というところまで進みます。

中点は座標の平均

いちばん易しいのが中点です。 $A (x_{1}, y_{1})$ と $B (x_{2}, y_{2})$ の中点 $M$ は、それぞれの座標を足して $2$ で割ったものになります。

$M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

$x$ 座標は $x$ 座標だけで、 $y$ 座標は $y$ 座標だけで決まる。横と縦が混ざらないところが、座標で図形を扱う利点です。

中点は 2 点の平均そのもので、この見方は次元がいくつでも変わりません^[4]。

平均という見方は、あとで比が $1 : 1$ でなくなったときにそのまま生きます。重みが等しい平均が中点、重みを変えた平均が内分点。

数直線の上で比を測る

比の意味を確かめるために、まず 1 本の直線の上だけで考えます。点 $A$ の座標を $a$ 、点 $B$ の座標を $b$ とします。

$AP : PB = m : n$ ということは、 $AP$ が全体の $\frac{m}{m + n}$ にあたるという意味です。全体の長さは $b - a$ なので、 $A$ からその割合だけ進めば $P$ に着きます。

$p = a + \frac{m}{m + n} (b - a) = \frac{na + mb}{m + n}$

右の形に整理したとき、 $a$ に掛かるのが $n$ 、 $b$ に掛かるのが $m$ です。近いほうの端に大きい重みが乗る、と読み違えやすいところ。

内分点の式は重みつきの平均

$\frac{na + mb}{m + n}$ は $a$ と $b$ の重みつき平均です。重みの合計 $m + n$ で割っているので、 $m = n$ を入れれば中点に戻ります。

重みが入れ替わって見えるのは、比が長さの比だからです。 $P$ が $B$ に近いとき $AP$ は長く、つまり $m$ が大きい。 $P$ が $B$ 寄りになるには $b$ の重みが大きくなければならないので、 $m$ が $b$ に掛かります。

比の $m$ が $a$ ではなく $b$ に掛かる理由は、 $m$ が遠いほうの端までの距離ではなく、手前側の長さ $AP$ を表しているところにあります。

$AP$ が長いほど $P$ は $B$ に寄るので、 $b$ の重みが増える。

覚え方としては「たすきがけ」と呼ばれます。ただし呪文にすると外分で必ず外すので、割合の式 $a + \frac{m}{m + n} (b - a)$ のほうを覚えておくと安全です。

比を動かすと点はどこを通るか

$m$ と $n$ の比を連続的に変えると、 $P$ は線分の上を端から端まで動きます。 $t = \frac{m}{m + n}$ と置けば、 $t$ が $0$ から $1$ まで動くのと同じこと。

比がどれだけ極端になっても、 $P$ は $A$ と $B$ のあいだから出ません。 $t$ が $0$ と $1$ のあいだに収まるからです。

外へ出すには $t$ を $0$ より小さくするか $1$ より大きくする必要がある。そこで登場するのが外分です。

平面でも形は変わらない

平面では $x$ 座標と $y$ 座標を別々に同じ計算にかけます。線分を $m : n$ に内分する点 $P$ は次のとおりです^[1]。

$P (\frac{n x _{1} + m x _{2}}{m + n}, \frac{n y _{1} + m y _{2}}{m + n})$

$x$ と $y$ が独立に動くので、1 次元でわかったことがそのまま持ち上がります。証明も、横の成分と縦の成分に分けて数直線の議論を 2 回するだけ。

この形は重みつきの平均なので、力学の重心と同じ式です。フランス語圏の教科書では重心（barycentre）として先に導入し、内分と外分をその特別な場合として扱います^[2]。

例 1： $2 : 3$ に内分する点

$A (- 1, 4)$ 、 $B (9, - 6)$ とし、線分 $AB$ を $2 : 3$ に内分する点を求めます。

$m = 2$ 、 $n = 3$ なので、 $m + n = 5$ です。

$x = \frac{3 \cdot ( - 1 ) + 2 \cdot 9}{5} = \frac{15}{5} = 3, y = \frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot ( - 6 )}{5} = \frac{0}{5} = 0$

答えは $(3, 0)$ です。検算は割合で行います。 $x$ は $- 1$ から $9$ まで $10$ 進むうちの $\frac{2}{5}$ 、つまり $4$ 進んだ位置で $3$ になっている。

外分点は線分の外にできる

$AQ : QB = m : n$ を保ったまま、 $Q$ を線分の外にとったものが外分点です。線分の外では $A$ から見た向きと $B$ から見た向きが同じになるので、比に符号の違いが入ります。

$m > n$ なら $B$ の外側、 $m < n$ なら $A$ の外側に出ます。どちら側かは比べるだけで決まる。

内分点

$P$ は $A$ と $B$ のあいだ。 $AP$ と $PB$ の向きが逆になる

外分点

$Q$ は線分の外。 $AQ$ と $QB$ の向きがそろう

向きがそろうか逆かという違いが、式では分母と分子の符号として現れます。

外分点の式を作る

割合の式に戻ります。 $AQ$ が全体の何倍かを $t$ とすると、 $Q$ の座標は $a + t (b - a)$ です。

外分では $AQ : QB = m : n$ で、 $QB$ が逆向きになる。したがって $t : (t - 1) = m : n$ となり、 $t = \frac{m}{m - n}$ が出ます。

$m$ が $n$ に近づくほど $t$ は大きくなり、 $Q$ は遠くへ逃げていきます。青い線が $AQ$ 、橙の線が $QB$ で、2 本の向きがそろっているのが外分の特徴。

座標に直すと次の形です。

$Q (\frac{- n x _{1} + m x _{2}}{m - n}, \frac{- n y _{1} + m y _{2}}{m - n})$

外分点は符号を変えた内分点

内分の式と外分の式を並べると、 $n$ を $- n$ にとり替えただけだとわかります。

分点	x 座標	条件
内分	(n x1 + m x2)/(m+n)	m, n は正
外分	(-n x1 + m x2)/(m-n)	m ≠ n

つまり外分点は「 $m : (- n)$ に内分する点」です。負の重みを許した重みつき平均、と言いかえてもいい^[2]。

ドイツ語圏では 3 点の分割比 $λ$ を $AT = λ TB$ で定義し、 $λ > 0$ が内分、 $λ < 0$ が外分にあたるとします^[3]。符号 1 つで両方を扱う点は同じです。

例 2： $3 : 1$ に外分する点

$A (2, 1)$ 、 $B (6, 5)$ とし、線分 $AB$ を $3 : 1$ に外分する点を求めます。

$m = 3$ 、 $n = 1$ なので $m - n = 2$ です。

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + 3 \cdot 6}{2} = \frac{16}{2} = 8, y = \frac{- 1 \cdot 1 + 3 \cdot 5}{2} = \frac{14}{2} = 7$

答えは $(8, 7)$ です。 $m > n$ だったので $B$ の外側に出ました。実際 $B (6, 5)$ より右上にあります。

例 3： $1 : 3$ に外分すると反対側へ出る

同じ 2 点で比だけ入れ替えます。 $m = 1$ 、 $n = 3$ なので $m - n = - 2$ です。

$x = \frac{- 3 \cdot 2 + 1 \cdot 6}{- 2} = \frac{0}{- 2} = 0, y = \frac{- 3 \cdot 1 + 1 \cdot 5}{- 2} = \frac{2}{- 2} = - 1$

答えは $(0, - 1)$ で、今度は $A$ の外側です。分母が負になったので符号の扱いを 2 回とも同じにする、という点だけ気をつければ計算は変わりません。

内分では比を入れ替えても線分の中に留まりました。外分では反対側へ飛ぶので、 $m$ と $n$ のどちらが大きいかを最初に見ておくと検算になる。

比が $1 : 1$ に近づくと外分点は消える

$m = n$ を外分の式に入れると分母が $0$ になります。これは計算の失敗ではなく、そういう点が存在しないという意味です。

$AQ : QB = 1 : 1$ で向きがそろう点は、 $A$ からも $B$ からも等距離で、しかも線分の外にある点。そんな点はとれません。

$m$ を $n$ に近づけると $Q$ は無限に遠ざかります。重みの和が $0$ になると重心が定まらない、という一般の事情と同じことです^[2]。

三角形の重心

3 点に等しい重みを置いた平均が重心です。頂点を $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 、 $C (x_{3}, y_{3})$ とします。

$G (\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}, \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3})$

この点が中線を $2 : 1$ に内分することは、内分点の式から確かめられます。辺 $BC$ の中点 $M$ をとり、線分 $AM$ を $2 : 1$ に内分すればよい^[1]。

太い青が $AG$ 、橙が $GM$ で、長さの比は $2 : 1$ です。3 本の中線がどれも同じ点を通ることも、同じ計算を 3 回すれば見えます。

例 4：重心の座標

$A (1, 7)$ 、 $B (- 3, 1)$ 、 $C (8, 4)$ の重心を求めます。

$x = \frac{1 + ( - 3 ) + 8}{3} = 2, y = \frac{7 + 1 + 4}{3} = 4$

重心は $(2, 4)$ です。中線から確かめると、 $BC$ の中点は $(\frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ で、 $A$ とこの点を $2 : 1$ に内分すると同じ $(2, 4)$ が出ます。

空間でも同じ式が使える

座標が 1 つ増えるだけで、式の形は変わりません。 $z$ 座標にも同じ重みつき平均を当てます。

$P (\frac{n x _{1} + m x _{2}}{m + n}, \frac{n y _{1} + m y _{2}}{m + n}, \frac{n z _{1} + m z _{2}}{m + n})$

成分ごとに独立に計算する、という考え方はどの次元でも通ります。 $4$ 次元以上でも書き方は同じで、成分を並べる本数が増えるだけ。

内分点

$\frac{n x _{1} + m x _{2}}{m + n}$ の形。分母は $m + n$ で、必ず正になります。

外分点

$\frac{- n x _{1} + m x _{2}}{m - n}$ の形。分母は $m - n$ で、符号が変わりうる。

中点

$m = n$ の内分点。 $\frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ に落ちます。

重心

3 点の平均。 $\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}$ で、中線を $2 : 1$ に内分した点と一致する。

例 5：空間の内分点と中点

$A (2, - 1, 5)$ 、 $B (8, 5, - 1)$ について、 $1 : 2$ の内分点と中点を求めます。

内分点は $m = 1$ 、 $n = 2$ で $m + n = 3$ です。

$(\frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot 8}{3}, \frac{2 \cdot ( - 1 ) + 1 \cdot 5}{3}, \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot ( - 1 )}{3}) = (4, 1, 3)$

中点は座標を足して $2$ で割るだけなので $(5, 2, 2)$ です。内分点のほうが $A$ 寄りにあり、 $1 : 2$ という比と合っています。

例 6：分点から端の点を逆算する

$A (3, - 2)$ と、線分 $AB$ を $3 : 2$ に内分する点 $P (6, 4)$ が与えられたとき、 $B$ を求めます。

内分点の式に当てはめて $x$ について解きます。

$6 = \frac{2 \cdot 3 + 3 x _{2}}{5} ⟹ 30 = 6 + 3 x_{2} ⟹ x_{2} = 8$

$y$ も同じ手順で $4 = \frac{2 \cdot ( - 2 ) + 3 y _{2}}{5}$ から $y_{2} = 8$ です。 $B (8, 8)$ が答えになります。

割合で確かめると、 $x$ は $3$ から $8$ まで $5$ 進むうちの $\frac{3}{5}$ で $3$ 進み、 $6$ に届いている。逆算でも割合の式が検算に使えます。

例 7：3 点が一直線に並ぶか調べる

$A (1, 2)$ 、 $B (4, 8)$ 、 $C (6, 12)$ が一直線に並ぶかどうかを、分点の考え方で見ます。

$B$ が $AC$ を $m : n$ に内分するとしたら、 $x$ について $4 = \frac{n + 6 m}{m + n}$ です。整理すると $3 n = 2 m$ となり、 $m : n = 3 : 2$ が候補になります。

同じ比を $y$ に当てて確かめます。

$\frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 12}{5} = \frac{40}{5} = 8$

$B$ の $y$ 座標と一致したので、3 点は一直線上にあります。 $x$ から出した比が $y$ でも成り立つかどうか、この一致が判定そのものです。

$A (- 2, 3)$ 、 $B (4, - 3)$ とします。線分 $AB$ を $2 : 1$ に外分する点はどれですか。

$(2, - 1)$
$(10, - 9)$
$(- 8, 9)$
$(1, 0)$

__RESULT__

$m = 2$ 、 $n = 1$ なので分母は $m - n = 1$ です。 $x = \frac{- 1 \cdot ( - 2 ) + 2 \cdot 4}{1} = 10$ 、 $y = \frac{- 1 \cdot 3 + 2 \cdot ( - 3 )}{1} = - 9$ となります。 $m > n$ なので $B$ の外側に出る点で、そこも合っています。

外分では分母が $1$ や $- 1$ になることが多く、値が大きく飛びます。答えが線分の近くに出たら、どこかで符号を落としている。

よくある誤り

比の

m

を

x_{1}

に掛けてしまう。

m

は

AP

の長さなので、掛ける相手は

x_{2}

です。

外分で分母を

m + n

のままにする。外分の分母は

m - n

になります。

外分の分子で符号を片方だけ変える。

- n x_{1}

と

m x_{2}

の両方をそろえて扱います。

m = n

の外分点を無理に求める。分母が

0

になり、その点は存在しません。

外分で

m

と

n

の大小を見ない。

m > n

なら

B

側、

m < n

なら

A

側に出ます。

重心を中線の中点ととり違える。重心は中線を

2 : 1

に内分した点です。

空間で

z

だけ別の式にする。3 つの座標にまったく同じ計算を当てます。

比を長さと混同する。

2 : 3

は長さではなく割合なので、座標の差に

\frac{2}{5}

を掛けます。

どれも割合の式 $a + \frac{m}{m + n} (b - a)$ に戻れば見分けられます。公式を 2 本覚えるより、1 本と符号を覚えるほうが間違えにくい。

参考文献

線分 AB を m:n に分ける点の座標は、両端を比の重みで混ぜた平均になります。数直線で割合の式を作り、そのまま平面と空間へ広げる。外分点は n を -n にとり替えただけの同じ式で、m と n が等しいと分母が 0 になり、その点は存在しません。中点、三角形の重心、3 点が一直線に並ぶかの判定まで、動く図と計算例で確かめられる構成。