微分係数がプラスなら関数は増える、符号で増減を読む

$f (x) = x^{2}$ の $x = 2$ における微分係数は $4$ です。正の値なので、 $x = 2$ のあたりで $f$ は増えています。

$x = - 3$ では $f^{'} (- 3) = - 6$ 。負なので、そのあたりでは減っている。

微分係数の符号だけで、グラフが上がっているか下がっているかが分かります^[1]。

接線の傾きとして読む

微分係数は接線の傾きでした。傾きが正の直線は右上がり、負の直線は右下がりです。

曲線も、狭い範囲では接線とほとんど重なります。だから接線の向きが、そのあたりでの曲線の向きになる。

微分係数が正

接線が右上がり。 $x$ を少し増やすと $f (x)$ も増える

微分係数が負

接線が右下がり。 $x$ を少し増やすと $f (x)$ は減る

$0$ のときは接線が水平です。そこだけでは増えているとも減っているとも言えません。

帯が上を向いている区間ではグラフが上り、下を向いている区間では下ります。帯が横軸を横切る場所で向きが変わる。

単調増加という言葉

区間のあいだずっと値が増え続けるとき、その関数はその区間で単調増加といいます。減り続けるなら単調減少^[2]。

$a < b$ ならいつでも $f (a) < f (b)$ になる、というのが単調増加の中身です。

区間のすべての点で $f^{'} (x) > 0$ なら、その区間で単調増加になります。逆も向きを弱めた形で成り立つ。

例： $x^{2}$ を区間で分ける

$f (x) = x^{2}$ の導関数は $2 x$ です。符号は $x$ の符号でそのまま決まります。

$x > 0$ では $f^{'} (x) > 0$ なので単調増加。 $x < 0$ では $f^{'} (x) < 0$ なので単調減少です。

$x = 0$ で $f^{'} (0) = 0$ となり、ここが向きの変わり目。放物線の頂点にあたります。

区間 $[5, 8]$ をとれば、そこでは $f^{'} (5) = 10$ 、 $f^{'} (8) = 16$ とどちらも正なので単調増加です。

例：3 次関数で区間を分ける

$f (x) = x^{3} - 3 x$ の導関数は $3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)$ です。

$x < - 1$ では $(x + 1)$ も $(x - 1)$ も負なので積は正。単調増加になります。

$- 1 < x < 1$ では $(x + 1)$ が正で $(x - 1)$ が負なので積は負。単調減少です。

$1 < x$ では両方とも正で積も正。ふたたび単調増加になります。

区間	$f^{'} (x)$ の符号	増減
$x < - 1$	正	増える
$- 1 < x < 1$	負	減る
$1 < x$	正	増える

導関数を因数分解すると符号がすぐ読めます。だから増減を調べるときは、まず因数分解を試みる。

$f^{'} (x) = 0$ でも増え続けることがある

$f^{'} (x) > 0$ なら単調増加ですが、その逆は少しずれます。単調増加でも $f^{'} (x) = 0$ になる点がありうる^[3]。

$f (x) = x^{3}$ がその例です。導関数 $3 x^{2}$ は $x = 0$ で $0$ になります。

それでも $f$ は増え続けています。 $- 1 < 0 < 1$ に対して $- 1 < 0 < 1$ で、値の順序が保たれている。

$x = 0$ は 1 点だけです。1 点で傾きが $0$ になっても、その前後で正なら値は上がり続けます。

だから「単調増加ならば $f^{'} (x) \geq 0$ 」となり、等号を含む形になります。

$f^{'} (x) > 0$ が単調増加を導くのは正しいが、逆向きには等号が入る。

$x^{3}$ の原点のように、傾きが一瞬 $0$ になるだけの点があるため。

つねに増える条件を求める

導関数の符号を全体で正に保てるか、という問題がよく出ます。

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + 3 x$ がつねに単調増加になる $a$ の範囲を出します。

導関数は $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + 3$ 。これがすべての $x$ で $0$ 以上ならよい。

下に凸の 2 次関数なので、判別式が $0$ 以下であれば条件を満たします。

$D = (2 a)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 a^{2} - 36 \leq 0$

$a^{2} \leq 9$ から $- 3 \leq a \leq 3$ です。等号のとき $f^{'} (x)$ は 1 点で $0$ になりますが、増加は保たれます。

放物線が横軸の上にとどまるか、1 点で触れるか。そこまでが条件を満たす範囲です。

例：減る区間を持たない 3 次関数

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 9 x - 2$ を調べます。導関数は $3 x^{2} + 6 x + 9$ です。

判別式は $36 - 108 = - 72$ で負。横軸と交わらないので、導関数はつねに正になります。

このグラフには山も谷もありません。ずっと右上がりの 3 次関数です。

$3 x^{2} + 6 x + 9 = 3 (x + 1)^{2} + 6$ と平方完成しても、最小値が $6$ で正だと分かります。

導関数を求める

符号が変わる場所を探す

区間ごとに正か負かを決める

$f^{'} (x) = 0$ になる点を境にするのが基本ですが、境で符号が変わらないこともあります。次の問題がその形。

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$ の増減について、正しいのはどれですか。

すべての $x$ で増加する
$x < 2$ で減り、 $2 < x$ で増える
$x = 2$ の前後で増減が入れかわる

__RESULT__

導関数は $3 x^{2} - 12 x + 12 = 3 (x - 2)^{2}$ です。 $x = 2$ で $0$ になりますが、それ以外ではつねに正。符号が変わらないので、増加が途切れません。

符号が変わる場所を見つければ、区間の切れ目が決まります。あとは各区間で正か負かを言うだけです。

参考

4.5 Derivatives and the Shape of a Graph. Calculus Volume 1, OpenStax.

Chapitre 3 — Dérivation, étude de fonctions. MathSV, Université Claude Bernard Lyon 1.

Eric W. Weisstein. *Stationary Point*. MathWorld, A Wolfram Resource.

$x^2$ の $x = 2$ での微分係数は 4 で正、$x = -3$ では $-6$ で負。接線が右上がりか右下がりかが、そのままグラフの向きになります。$x^3 - 3x$ なら導関数を $3(x+1)(x-1)$ と因数分解して、3 つの区間で符号を読む。逆向きには等号が入り、$x^3$ は原点で傾きが $0$ でも増え続けます。$x^3 + ax^2 + 3x$ がつねに増加する条件を判別式から $-3 \leq a \leq 3$ と出す形、$3(x-2)^2$ のように境で符号が変わらない例まで並べました。