底の変換公式と証明（対数の底をそろえる式）

次の式を底の変換公式といいます。

$lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a}$

左辺の底は $a$ 、右辺の底は $b$ 。 $b$ はこちらで選べるので、底のそろっていない対数を比べたいときに使えます。 $lo g_{2} 3$ と $lo g_{3} 5$ のように底が違うものでも、どちらも底 $10$ に直せば並べられる。

証明

使う対数法則は次の 2 つです。

$a^{l o g_{a} x} lo g_{a} x^{n} = x = n lo g_{a} x$

1 つ目の両辺で底 $b$ の対数をとり、右辺に 2 つ目を当てます。

$lo g_{b} x = lo g_{b} a^{l o g_{a} x} = (lo g_{a} x) (lo g_{b} a)$

両辺を $lo g_{b} a$ で割れば、変換公式の形が残ります。底の条件から $a \neq = 1$ なので、 $lo g_{b} a$ が $0$ になることはありません。

$\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$ が底の変換公式です。導くのに使うのは $a^{\log_a x} = x$ と $\log_a x^n = n \log_a x$ の 2 つだけ。前者の両辺に $\log_b$ をとると $(\log_a x)(\log_b a) = \log_b x$ になり、$\log_b a$ で割れば公式の形が残ります。底がそろっていない対数を比べたり計算したりするときの土台。