底の変換公式と証明（対数の底をそろえる式）
次の式を底の変換公式といいます。
左辺の底は 、右辺の底は 。 はこちらで選べるので、底のそろっていない対数を比べたいときに使えます。 と のように底が違うものでも、どちらも底 に直せば並べられる。
証明
使う対数法則は次の 2 つです。
1 つ目の両辺で底 の対数をとり、右辺に 2 つ目を当てます。
両辺を で割れば、変換公式の形が残ります。底の条件から なので、 が になることはありません。
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$\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}$ が底の変換公式です。導くのに使うのは $a^{\log_a x} = x$ と $\log_a x^n = n \log_a x$ の 2 つだけ。前者の両辺に $\log_b$ をとると $(\log_a x)(\log_b a) = \log_b x$ になり、$\log_b a$ で割れば公式の形が残ります。底がそろっていない対数を比べたり計算したりするときの土台。