底の変換公式（対数法則）

次の式を底の変換公式という。

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

これは二つの対数法則から証明される。

$$\begin{array}{c}{a}^{{\log }_{a}x}=x\\ {\log }_a{x}^n=n{\log }_{a}x\end{array}$$

証明

$$\begin{gathered} ({\log }_{a}x)({\log }_{b}a)={\log }_b{a}^{{\log }_{a}x} \\ ={\log }_{b}x \end{gathered}$$

となり、両辺を ${\log }_{b}a$ で割って

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

となる。