指数関数と思いきや、ただの二次方程式の解を求める問題

次の方程式を解け：

$$4^x-5\cdot 2^x+4=0$$

この問題、指数関数と思いきや、ただの二次方程式！　一見難しいですが、解き方を覚えれば簡単に解けるようになります。

解法

$4^x=(2^2{)}^x=(2^x{)}^2$ であることを利用し、$t=2^x$ とおく。ただし、$2^x>0$ であるから、$t>0$ である。

元の方程式は次のように書き換えられる：

$$t^2-5t+4=0$$

この二次方程式を因数分解すると：

$$(t-1)(t-4)=0$$

したがって：

$$t=1,4$$

元の変数に戻す。

$t=1$ のとき：

$$\begin{array}{rl}{2}^x& =1=2^0\\ & \\ \therefore x& =0\end{array}$$

$t=4$ のとき：

$$\begin{array}{rl}{2}^x& =4=2^2\\ & \\ \therefore x& =2\end{array}$$

解答：$x=0,2$