指数関数と思いきや、ただの二次方程式の解を求める問題

次の方程式を解け：

$4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$

この問題、指数関数と思いきや、ただの二次方程式！　一見難しいですが、解き方を覚えれば簡単に解けるようになります。

解法

$4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}$ であることを利用し、 $t = 2^{x}$ とおく。ただし、 $2^{x} > 0$ であるから、 $t > 0$ である。

元の方程式は次のように書き換えられる：

$t^{2} - 5 t + 4 = 0$

この二次方程式を因数分解すると：

$(t - 1) (t - 4) = 0$

したがって：

$t = 1, 4$

元の変数に戻す。

$t = 1$ のとき：

$2^{x} ∴ x = 1 = 2^{0} = 0$

$t = 4$ のとき：

$2^{x} ∴ x = 4 = 2^{2} = 2$

解答： $x = 0, 2$