置きかえて解く指数方程式の例題（4 の x 乗を含む二次方程式）

次の方程式を解きます。

$$4^x-5\cdot 2^x+4=0$$

$4^x=(2^2{)}^x=(2^x{)}^2$ と書けるため、$2^x$ をひとかたまりと見れば二次方程式になります。

置きかえる

$t=2^x$ と置きます。$2^x$ はどんな $x$ でも正なので、$t>0$ という条件が付く。

$$t^2-5t+4=0$$

因数分解すると $(t-1)(t-4)=0$ となり、$t=1$ と $t=4$。どちらも正なので、両方とも $x$ に戻せます。

もとの変数に戻す

$t=1$ のとき、$2^x=1=2^0$ だから $x=0$。

$t=4$ のとき、$2^x=4=2^2$ だから $x=2$。

答えは $x=0$ と $x=2$ です。ここでは $t$ の候補が両方とも正だったので、$t>0$ の条件で落ちる解はありません。$t=-4$ のような値が出る形だと、そこで 1 つ消えます。