そもそも 2 つの円は交わるのか……中心間の距離が答えを握る

2 つの円が交わるかどうかは、連立方程式を解く前に決まっています。中心どうしの距離 $d$ と、半径の和 $R + r$ 、半径の差 $∣ R - r ∣$ を比べるだけ。

$∣ R - r ∣ < d < R + r ⟺ 2 点で交わる$

交わると分かってから交点を求めます。求め方も 2 次方程式を解く形ではなく、2 つの式を引き算して直線を出すところから始まる^[3]。

中心間の距離と半径を比べる

円 $C_{1}$ の中心を $O_{1}$ 、半径を $R$ 、円 $C_{2}$ の中心を $O_{2}$ 、半径を $r$ とします。 $d = O_{1} O_{2}$ と置きます。

$O_{1}$ から $O_{2}$ へ向かう直線の上で考えると分かりやすい。この直線と 2 円が切りとる区間が重なるかどうかが、そのまま位置関係になります。

$d$ が $110$ より大きいあいだ 2 円は離れています。 $110$ に届いた瞬間が外接で、そこから $42$ までのあいだが 2 点で交わる状態。 $42$ を割ると小さい円が大きい円の内側に入ります。

5 つの場合

境目の 2 つを含めると、起こりうる形は 5 通りです。共有点の個数は $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $1$ 、 $0$ と変わります。以下では $R \geq r$ として書きます。

条件	位置関係	共有点
$d > R + r$	離れている	0
$d = R + r$	外接する	1
$R - r < d < R + r$	2 点で交わる	2
$d = R - r$	内接する	1
$d < R - r$	内側にある	0

$d = 0$ で $R = r$ なら 2 円は一致します。表からは外れる特別な場合ですが、問題ではまず現れません。

外接と内接はどちらも「接する」と呼ばれます。問題文に接するとだけ書いてあるときは、両方を調べる必要がある^[5]。

例 1：位置関係を判定する

$x^{2} + y^{2} = 4$ と $(x - 5)^{2} + y^{2} = 9$ の位置関係を調べます。

中心は $(0, 0)$ と $(5, 0)$ なので $d = 5$ 、半径は $R = 2$ 、 $r = 3$ です。

$R + r = 5, ∣ R - r ∣ = 1$

$d = R + r$ なので外接します。共有点は 1 個で、それは線分 $O_{1} O_{2}$ を $2 : 3$ に内分する点、つまり $(2, 0)$ 。

例 2：接する条件から半径を決める

中心 $(0, 0)$ 、半径 $R$ の円と、中心 $(6, 8)$ 、半径 $3$ の円が接する $R$ を求めます。

$d = 36 + 64 = 10$ です。外接なら $R + 3 = 10$ 、内接なら $∣ R - 3∣ = 10$ 。

外接からは $R = 7$ 、内接からは $R = 13$ または $R = - 7$ です。半径は正なので $R = 7$ と $R = 13$ の 2 つが答えになります。

$R = 13$ のときは小さい円が大きい円の内側にあって内接します。接すると言われたら両方を調べる、という手順がここで効きます。

交点を求めるには 2 式を引く

2 円の方程式を連立するとき、そのまま代入すると 4 次の項が出て面倒です。先に引き算をします^[1]。

$x^{2} + y^{2} + a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0, x^{2} + y^{2} + a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$

引くと $x^{2}$ と $y^{2}$ が消えて、 $1$ 次式だけが残ります。

$(a_{1} - a_{2}) x + (b_{1} - b_{2}) y + (c_{1} - c_{2}) = 0$

この直線と、もとの円のどちらか一方を連立すれば交点が出ます。 $2$ 次方程式を 1 回解くだけで済む。

引き算で出る直線は根軸

引き算で現れた直線には名前があります。2 円に対する方べきの値が等しい点の集まりで、根軸と呼ばれます^[1]^[2]。

点 $P$ の円に対する方べきは $∣ PO ∣^{2} - r^{2}$ で定義されます。外部なら正、円周上なら $0$ 、内部なら負^[4]。

2 円が交わるとき

根軸は 2 つの交点を通る直線になる。共通弦を含む直線そのもの

2 円が接するとき

根軸は接点を通る共通接線になる。交点が 1 つに重なった形

根軸は中心を結ぶ直線に必ず垂直です。式の法線ベクトルが $(a_{1} - a_{2}, b_{1} - b_{2})$ で、これが中心の差に平行だから^[2]。

点線が根軸、その中の太い部分が共通弦です。根軸は円の外まで伸びていて、交点のあいだだけが弦になっています。

例 3：交点を求める

$x^{2} + y^{2} = 25$ と $x^{2} + y^{2} - 12 x + 11 = 0$ の交点を求めます。

引き算すると $12 x - 36 = 0$ から $x = 3$ です。これが根軸で、 $y$ 軸に平行な直線になりました。

第 1 式に代入します。

$9 + y^{2} = 25 ⟹ y^{2} = 16 ⟹ y = \pm 4$

交点は $(3, 4)$ と $(3, - 4)$ です。第 2 式に入れても $9 + 16 - 36 + 11 = 0$ となり、両方の円の上にあると確かめられます。

例 4：共通弦の長さ

いまの 2 円の共通弦の長さを求めます。交点が分かっているので引き算だけで済みます。

$(3, 4)$ と $(3, - 4)$ の距離は $8$ です。交点を求めずに出すこともできます。

第 1 円の中心 $(0, 0)$ から根軸 $x = 3$ までの距離は $3$ で、半径は $5$ 。弦の半分は $25 - 9 = 4$ なので、全体は $8$ になります。

$弦の長さ = 2 R^{2} - h^{2}$

$h$ は中心から根軸までの距離です。交点の座標が汚いときは、こちらのほうが速い。

交わらないときも直線は出る

引き算はいつでもできるので、交わらない 2 円でも根軸は現れます。ただしその直線は 2 円のどちらとも交わりません^[2]。

方べきが等しい点の集まり、という定義のほうが素直です。交点を通ることは、交わる場合に限って言える追加の性質。

交わらない 2 円でも根軸は存在します。交点を通る直線としてだけ覚えていると、この場合に説明が付かなくなります。

2 円への方べきが等しい点の集まりで、中心を結ぶ線に垂直な直線。

一方が他方の内部にあるときも同じです。根軸は 2 円の外側に離れた位置に引かれます。

例 5：接するときの接点

$x^{2} + y^{2} = 9$ と $(x - 8)^{2} + y^{2} = 25$ の位置関係と、接するならその接点を求めます。

$d = 8$ 、 $R = 3$ 、 $r = 5$ で $R + r = 8$ です。外接します。

引き算で根軸を出します。第 2 式を展開すると $x^{2} + y^{2} - 16 x + 39 = 0$ で、第 1 式 $x^{2} + y^{2} - 9 = 0$ との差は $- 16 x + 48 = 0$ 、つまり $x = 3$ 。

$x = 3$ を第 1 式に入れると $y^{2} = 0$ から $y = 0$ です。接点は $(3, 0)$ で、 $1$ 点に重なりました。

判別式が $0$ になる形と同じで、根号の中が消えることが接することにあたります。

例 6：内接する 2 円

$x^{2} + y^{2} = 36$ と $(x - 3)^{2} + y^{2} = 9$ を調べます。

$d = 3$ 、 $R = 6$ 、 $r = 3$ で $∣ R - r ∣ = 3$ です。 $d = ∣ R - r ∣$ なので内接します。

根軸は $x^{2} + y^{2} - 36 = 0$ と $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ の差から $- 6 x + 36 = 0$ 、つまり $x = 6$ 。第 1 式に入れると $y = 0$ で、接点は $(6, 0)$ です。

小さい円が大きい円の内側から $1$ 点で触れています。外接と同じ計算で処理できました。

2 円が直交する条件

交点で 2 円の接線が直交するとき、2 円は直交すると言います。交点と 2 中心が直角三角形を作るので、条件は三平方の形になります。

$d^{2} = R^{2} + r^{2}$

交点における接線は、それぞれの半径に垂直です。接線どうしが直交することと、半径どうしが直交することが同じ^[5]。

例 7：直交する 2 円

$x^{2} + y^{2} = 4$ と $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ が直交するかを調べます。

$d^{2} = 9 + 4 = 13$ 、 $R^{2} + r^{2} = 4 + 9 = 13$ です。一致したので直交します。

念のため交わっているかも見ておきます。 $d = 13 \approx 3.6$ で、 $R + r = 5$ 、 $∣ R - r ∣ = 1$ 。範囲の中に収まっているので 2 点で交わっています。

共通接線の本数

位置関係が決まると、2 円に共通の接線が何本引けるかも決まります。離れているときがいちばん多い。

離れている。外側の 2 本と内側の 2 本で 4 本です。

外接する。内側の 2 本が 1 本に重なり 3 本になります。

2 点で交わる。内側の接線が引けず 2 本です。

内接する。外側の 2 本が 1 本に重なり 1 本になります。

内側にある。1 本も引けません。

共有点の個数が $0$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $1$ 、 $0$ と山を描くのに対し、接線の本数は $4$ から $0$ へ単調に減ります。位置関係を答えるとき、この 2 つの数を両方言えると確かです。

実線が外側の共通接線、点線が内側の共通接線です。内側の 2 本は 2 円のあいだを通り、中心を結ぶ線分と交わります。

3 つ以上の円と根心

円が 3 つあるとき、3 組の根軸は 1 点で交わります。この点を根心と呼び、3 円すべてに対する方べきが等しい^[1]。

証明は短い。円 1 と円 2 の根軸、円 2 と円 3 の根軸の交点を $P$ とすると、 $P$ の方べきは 3 つとも等しくなります。したがって円 1 と円 3 の根軸にも $P$ が乗ります。

3 直線が 1 点で交わることを、計算なしで言える珍しい例です。

$x^{2} + y^{2} = 16$ と $(x - a)^{2} + y^{2} = 4$ が 2 点で交わる $a$ の範囲はどれですか。

$0 < a < 6$
$2 < ∣ a ∣ < 6$
$∣ a ∣ > 6$
$2 < a < 4$

__RESULT__

$d = ∣ a ∣$ 、 $R = 4$ 、 $r = 2$ です。2 点で交わる条件は $∣ R - r ∣ < d < R + r$ なので $2 < ∣ a ∣ < 6$ になります。 $a$ が負のときも成り立つので、絶対値のまま書く必要があります。

中心が $x$ 軸上を左右に動くので、負の側にも同じ範囲が現れます。 $d$ は距離なので、はじめから絶対値で置いておくととりこぼしません。

よくある誤り

交わる条件を

d < R + r

だけで書く。小さいほうの条件

∣ R - r ∣ < d

も要ります。

半径の差を

R - r

のまま使う。どちらが大きいか分からないので絶対値を付けます。

接するを外接だけと考える。内接も接する場合に含まれます。

連立でいきなり代入する。先に引き算をして根軸を出すほうが速い。

根軸を交点を通る直線とだけ覚える。交わらない 2 円にも根軸はあります。

共通弦の長さを半径の差から出す。中心から根軸までの距離を使います。

直交の条件を

d = R + r

と書く。正しくは

d^{2} = R^{2} + r^{2}

です。

共有点の個数と共通接線の本数を混同する。

2

点で交わるとき接線は 2 本です。

$d$ と $R + r$ と $∣ R - r ∣$ の 3 つを最初に書き出す。この習慣だけで、位置関係の問題はほとんど片づきます。

参考文献

Radical axis

Potenzgerade

Circle-Circle Intersection, Wolfram MathWorld

Power of a point

Kreis (Geometrie)

2 円が交わるかどうかは連立方程式を解く前に決まっています。中心間の距離 $d$ を、半径の和と差ではさむだけ。交点を求めるときも代入から入らず、2 つの式を引いて $x^2$ と $y^2$ を消し、残った 1 次式を使います。この直線が根軸で、交わらない 2 円にも引ける。位置関係の 5 通り、共通弦の長さ、直交する条件、共通接線の本数と根心まで、動く図で追えます。