円と円の交点を求める：そもそも交わるかどうかの判定

二つの円の交点を求めるには、それぞれの円の方程式を連立方程式として解きます。一般的な円の方程式は次のように表されます。

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (x - c)^{2} + (y - d)^{2} = r^{2} = s^{2}$

ここで、第 1 の円の中心は $(a, b)$ 、半径は $r$ 、第 2 の円の中心は $(c, d)$ 、半径は $s$ です。

二つの円の交点を求めるには、二つの方程式を展開し、連立方程式として整理します。

$x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} - 2 b y + b^{2} x^{2} - 2 c x + c^{2} + y^{2} - 2 d y + d^{2} = r^{2} = s^{2}$

$2 (c - a) x + 2 (d - b) y = c^{2} - a^{2} + d^{2} - b^{2} + r^{2} - s^{2}$

…と言われてもピンとこないので、具体例で説明したほうがいいですね。

具体例

$x^{2} + y^{2} (x - 6)^{2} + y^{2} = 25 = 25$

最初を円 1、次を円 2 とします。

円 2 を展開。

$x^{2} - 12 x + 36 + y^{2} = 25$

すなわち

$x^{2} + y^{2} - 12 x + 36 = 25$

円 1 の方程式 $x^{2} + y^{2} = 25$ を代入します。

$25 - 12 x + 36 = 25$

これを解くと

$- 12 x + 36 = 0 \Rightarrow x = 3$

$x = 3$ を円 1 の方程式に代入。

$9 + y^{2} = 25 \Rightarrow y^{2} = 16 \Rightarrow y = \pm 4$

交点は $(3, 4)$ と $(3, - 4)$ です。

そもそも交わるかの判定

2 つの円の位置関係は、中心間の距離 $d$ と半径 $r_{1}, r_{2}$ の関係で決まります。

$d > r_{1} + r_{2}$ ：2 円は離れている（交点なし）
$d = r_{1} + r_{2}$ ：2 円は外接する（交点1個）
$∣ r_{1} - r_{2} ∣ < d < r_{1} + r_{2}$ ：2 円は交わる（交点 2 個）
$d = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ ：2 円は内接する（交点 1 個）
$d < ∣ r_{1} - r_{2} ∣$ ：一方の円が他方を含む（交点なし）