Vieta's Formula から円周率を「逆」定義する：円周率を平方根の積で表す

解と係数の関係を Vieta’s Formula というが，同じ名前の公式 Vieta’s Formula に円周率の定義がある．

Vieta’s Formula

$$\pi =2\times \frac{2}{\sqrt{2}}\times \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\times \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\times \cdots$$

これは

$$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\times \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\times \cdots$$

とも書ける．

Vieta’s Formula の証明

$$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$$

で

$$\sin \frac{x}{2}=2\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{4}$$

だから

$$\sin x=4\sin \frac{x}{4}\cos \frac{x}{4}\cos \frac{x}{2}$$

である．これをくりかえすと

$$\sin x=2^n\sin \frac{x}{2^n}\prod _{k=1}^n\cos \frac{x}{2^k}$$

となる．$x$ に $\frac{\pi }{2}$ を代入すると

$$1=\sin \frac{\pi }{2}=2^n\sin \frac{\pi }{2^{n+1}}\prod _{k=1}^n\cos \frac{\pi }{2^{k+1}}$$

$$1=2^n\times \left(\frac{2}{\pi }\right)\times \left(\frac{\pi }{2}\right)\sin \frac{\pi }{2^{n+1}}\prod _{k=1}^n\cos \frac{\pi }{2^{k+1}}$$

$$1=\frac{\pi }{2}\times \left(\frac{2^{n+1}}{\pi }\right)\sin \frac{\pi }{2^{n+1}}\prod _{k=1}^n\cos \frac{\pi }{2^{k+1}}$$

$$1=\frac{\pi }{2}\frac{\sin \frac{\pi }{2^{n+1}}}{\frac{2^{n+1}}{\pi }}\prod _{k=1}^n\cos \frac{\pi }{2^{k+1}}$$

ところで

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

だから

$$1=\frac{\pi }{2}\prod _{k=1}^{\infty }\cos \frac{\pi }{2^{k+1}}$$

$$\frac{2}{\pi }=\prod _{k=1}^{\infty }\cos \frac{\pi }{2^{k+1}}$$

となる．半角の公式から

$$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\cos \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$$

だから Vieta’s Formula が証明される．